2024—2025学年北京市新高三入学定位考试
本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知复数满足，则
（A） （B）
（C） （D）
（3）已知抛物线，则抛物线的焦点到其准线的距离为
（A） （B）
（C）3 （D）
（4）在的展开式中，常数项为
（A） （B）
（C） （D）
（5）已知等比数列满足，，则的公比为
（A）或 （B）或
（C）或 （D）或
（6）已知函数. 若时，取得最大值，则的值可能是
（A） （B）
（C） （D）
（7）如图，在四棱锥中，平面，底面是边长为的正方形，，则点到直线的距离为
（A） （B）
（C） （D）
（8）若圆的圆心到轴、轴的距离相等，则
（A） （B）
（C） （D）
（9）已知单位向量，则“”是“任意都有”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（10）设集合． 对于集合的子集，若任取中两个不同元素，有，且中有且只有一个为，则称是一个“好子集”．下列结论正确的是
（A）一个“好子集”中最多有个元素 （B）一个“好子集”中最多有个元素
（C）一个“好子集”中最多有个元素 （D）一个“好子集”中最多有个元素
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）函数的定义域为________．
（12）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为，则_______； _______．
（13）已知双曲线（其中）的右焦点为，则________，的离心率为________．
（14）函数是奇函数，且对任意成立，则满足条件的一组值可以是________， ________．
（15）在棱长为的正方体中，点分别为棱的中点. 点为正方体表面上的动点，满足. 给出下列四个结论：
①线段长度的最大值为；
②存在点，使得；
③存在点，使得；
④△EPF是等腰三角形.
其中，所有正确结论的序号是________．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
如图，在直三棱柱中， 为直角，侧面为正方形， ，分别为，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
（17）（本小题13分）
已知为锐角三角形，且，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）再从条件 ①、条件 ②、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知， 求的周长．
条件①：；
条件②：；
条件 ③：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题13分）
某甜品店为了解某款甜品的销售情况，进而改变制作工艺，根据以往的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如右图所示. 假设每天的销售量相互独立，用频率估计概率.
（Ⅰ）估计某一天此款甜品销售量不超过个的概率；
（Ⅱ）用表示在未来3天里，此款甜品日销售量多于个的天数，求随机变量的分布列和数学期望；
（Ⅲ）该店改变了制作工艺以后，抽取了连续30天的销售记录，发现这其中有20天的销售量都大于70个，问：根据抽查结果，能否认为改变工艺后，此款甜品的销售情况发生了变化，说明理由.
（19）（本小题15分）
已知椭圆的右顶点为，上顶点为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）椭圆的左焦点为 点为椭圆上不同于顶点的一点，直线与轴的交点分别为，若，求点的横坐标.
（20）（本小题15分）
已知函数，直线是曲线在点处的切线．
（Ⅰ）当时，求直线的倾斜角；
（Ⅱ）求证：除切点之外，曲线在直线的上方；
（Ⅲ）若函数在上单调递增，求的取值范围.
（21）（本小题15分）
已知数列满足，其中.
（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）求证：不是单调递增数列；
（Ⅲ）是否存在，使得 ，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）2024年定位考试
数学参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）C （2）D （3）B （4）A （5）D
（6）B （7）D （8）C （9）C （10）A
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）
（13） （14）（答案不唯一）
（15）① ③ ④
说明：12, 13, 14题都是第一个空3分，第二个2分；
15题 对一个给1分，对两个给3分，全对给5分，如果有错的，则给0分。
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共14分）
解：（Ⅰ）连接，在中，
因为分别为，的中点，
所以 ……….2分
又平面，平面
所以平面． ……….4分
（Ⅱ）因为直三棱柱
所以平面，
所以， ……….5分
又为直角，
所以， ……….6分
又
所以平面， ……….7分
所以，
由（Ⅰ），
所以. ……….8分
（Ⅲ）建立空间直角坐标系， ……….9分
则，，，．
因此，．
设平面的法向量为，则
即 ……….11分
令，于是． ……….12分
设直线与平面所成角为．
所以． ……….14分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）由正弦定理 ， ……….3分
所以． ……….4分
代入得
所以. ……….5分
（Ⅱ）选择条件①：． ……….6分
因为， 所以. ……….8分
因为为锐角，所以 ……….9分
由余弦定理， ……….11分
代入得到
所以.
解得，（舍）. ……….12分
所以的周长为. ……….13分
选择条件②：. ……….6分
因为，所以, ……….7分
所以，以下同选择①.
选择条件 ③：． ……….6分
因为， 所以. ……….8分
因为为锐角，所以 ……….9分
由余弦定理， ……….11分
代入得到
所以, ……….12分
所以的周长为. ……….13分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）设事件为“某一天此款甜品销售量不超过个”， ……….1分
所以． ……….4分
（Ⅱ）. ……….5分
，
，
，
，
所以的分布列为
……….9分所以 ……….11分
（Ⅲ）可以认为此款甜品的销售情况发生了变化.
因为以前此款甜品的日销售量大于70个的频率为，
现在30天中有20天销售量大于70个，其频率远大于改进前,
所以可以认为此款甜品的销售情况发生了变化． ……….13分
(也可认为无法确定有无变化，30天中有20天销售量大于70个是随机事件，按之前频率估计计算30天中有20天销售量大于70个的概率比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化)
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）由题设，
所以的方程为． ……….5分
（Ⅱ）法一：
设，所以 ……….6分
所以， ……….7分
直线的方程为． ……….8分
令，得 ……….9分
又， ……….10分
直线的方程为． ……….11分
令，得 ， ……….12分
所以．
所以 ， ……….14分
所以，
所以，
所以，. ……….15分
法二：
由题意直线斜率存在，且不为0，设直线的方程为．
……….6分
令，得 ……….7分
由 得． ……….8分
易得．设 ，则， ……….9分
，所以 ……….10分
直线的方程为． ……….11分
令，得 ， ……….12分
所以． ……….13分
所以，. ……….14分
所以，. ……….15分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）当时，，
所以 ． ……….2分
所以． ……….3分
所以直线的倾斜角为. ……….4分
（Ⅱ）因为． ……….5分
所以， ……….6分
所以直线的方程为， ……….7分
令. ……….8分
法一：
当时，，
所以.
当时，，
所以， ……….9分
所以对且成立，
即除切点之外，曲线在直线的上方. ……….10分
法二：
因为，
所以时，．
时，，，
与的变化情况如下表：
↘ ↗
……….9分
所以，函数在处取得最小值，
所以对且成立，
即除切点之外，曲线在直线的上方. ……….10分
（Ⅲ）因为函数在上单调递增，
所以对成立 ……….11分
令， ……….12分
所以， ……….13分
所以对成立， 所以在上单调递增， ……….14分
所以只需， 所以.
所以的取值范围为 . ……….15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ），，，,. ……….4分
（Ⅱ）假设数列单调递增，
因为， 所以，
所以
所以
所以，
所以，矛盾.
所以假设不成立，
所以数列 不是单调递增数列. ……….9分
（Ⅲ）若，
因为，，
所以
因为，又，所以， ……….11分
所以，，
所以，
因为，所以
所以，即
因为，且
所以
所以
所以
即，所以，
又所以，
此时 ，矛盾
所以不存在，使得 . ……….15分
