2024-2025学年山西省晋中市榆次一中高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年山西省晋中市榆次一中高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则( )
A. B. C. D.
2.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
3.的内角，，的对边分别为，，，且，，若边的中线等于，则的面积为( )
A. B. C. D.
4.河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意冠部以及冠部下方均可视为正四棱台已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为：，高为，体积为，则该“方斗”的侧面积为( )
A.
B.
C.
D.
5.设为正方形的中心，在，，，，中任取点，则取到的点共线的概率为( )
A. B. C. D.
6.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取，两点，从，两点分别测得树尖的仰角为、，且，两点之间的距离为，则树的高度为( )
A. B. C. D.
7.已知个数据：，，，，，，，，，，则这组数据第百分位数是( )
A. B. C. D.
8.已知向量，，设函数，则下列关于函数的性质的描述正确的是( )
A. 关于直线对称 B. 关于点对称
C. 周期为 D. 在上是增函数
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点和，点在轴上，且为直角，求点的坐标( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，是的三等分点，则( )
A.
B. 若，则在上的投影向量为
C. 若，则
D. 若
11.如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，，分别为，的中点，则( )
A. 平面
B. 四棱锥的外接球的表面积为
C. 与平面所成角的正弦值为
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.经过，两点的直线的方向向量为，则实数的值为______．
13.过两点，的直线的倾斜角为，则 ______．
14.如图，若斜边长为的等腰直角与重合是水平
放置的的直观图，则的面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
利用空间向量知识完成本题．
如图，在长方体中，，线段上是否存在点，使得平行于平面？
如图，在平行六面体中，，求证直线垂直于平面．
如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．
求点到直线的距离；
求直线到平面的距离．
16.本小题分
判断下列各对直线是否平行或垂直：
经过，两点的直线，与经过且斜率为的直线；
经过，两点的直线，与经过点且斜率为的直线．
试确定的值，使过，两点的直线与过，两点的直线：
Ⅰ平行；
Ⅱ垂直．
17.本小题分
在中，角、、所对的边分别为、、，且．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，求的最大值．
18.本小题分
甲乙二人有张扑克牌分别是红桃，红桃，红桃，方片玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
写出甲乙抽到牌的所有情况．
若甲抽到红桃，则乙抽出的牌面数字比大的概率是多少？
甲乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？
19.本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
证明：；
若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
参考答案
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15.解：以直线，，分别为、、轴，建立空间直角坐标系，
由已知条件得，，，，，
线段上取中点，
设平面的法向量为，
由，，
则，令，则，，
故，
因为，
所以，
故，
又平面，
故线段上中点，使得平行于平面；
证明：设，，，则为空间的一个基底，且，，，
因为，，
所以，，
在平面上，取、为基向量，
则，
，
所以是平面的法向量，
所以直线垂直于平面；
以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，，，
取，，
，
则点到直线的距离为；
因为，
所以，而平面，平面，
所以平面，
所以点到平面的距离即为直线到平面的距离，
设平面的法向量为，
则，
即，即，
取，则，，
故，又，
所以点到平面的距离为．
16.解：因为直线经过，两点，
所以，
所以直线的方程为：，即；
因为直线经过且斜率为，
所以直线方程为：，即，
可得两条直线的斜率相等，在轴上的截距不相等，
所以直线与直线平行；
因为直线经过，两点，所以，
因为直线的斜率为，
所以，
则直线与直线垂直；
因为直线过，，
所以；
当直线与直线平行时；则，解得：，
此时，可得时，两条直线平行，且不重合，符合条件；
当直线与直线垂直时则，解得：．
17.解：Ⅰ
；
Ⅱ根据余弦定理可知：
，
又，即，
当且仅当时，，
故的最大值是．
18.解：方片用表示，则甲乙抽到牌的所有情况为：
，，，，，，
，，，，，，
共种不同的情况；
甲抽到，乙抽到的只能是，，，
因此乙抽出的牌面数字比大的概率是；
甲抽到的牌的数字比乙大，有，，，
，共种情况，
甲胜的概率为，乙胜的概率为，
，此游戏不公平．
19.解：证明：因为，为的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以；
方法一：
取的中点，因为为正三角形，所以，
过作与交于点，则，
所以，，两两垂直，
以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，
设，则，
因为平面，故平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
又，
所以由，得，
令，则，，故，
因为二面角的大小为，
所以，
解得，所以，
又，所以，
故．
方法二：
过作，交于点，过作于点，连结，
由题意可知，，又平面
所以平面，又平面，
所以，又，，、平面，
所以平面，又平面，
所以，
则为二面角的平面角，即，
又，
所以，则，
故，
所以，
因为，
则，
所以，则，
所以，则，
所以．
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