2024-2025学年安徽省淮北市部分学校高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省淮北市部分学校高二（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，则该平面图形的高为( )
A.
B.
C.
D.
2.一平面截某几何体得一三棱台，则该几何体可能是( )
A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 四棱锥 D. 圆锥
3.( )
A. B. C. D.
4.已知，为单位向量，且丄，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知是边长为的等边三角形，点，分别是，上的点，满足，连接，交于点，求( )
A. B. C. D.
7.如图，四边形中，，若，且，则面积的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
8.若向量，，且，则等于( )
A. B. C. D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中为假命题的是( )
A. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C. 有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
D. 正四棱柱是平行六面体
10.的内角，，的对边分别为，，，且，，，则下列命题成立的是( )
A. ：：：：
B. ：：：：
C. 最大内角是最小内角的倍
D. 为直角三角形
11.设向量，若，则的取值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数为虚数单位为纯虚数，则实数 ______．
13.若，则 ______用表示
14.赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，他为周髀算经一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”以弦为边长得到的正方形由个全等的直角三角形再加上中间一个小正方形组成类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，
求的最小正周期和单调减区间；
若在上恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数
求的最小正周期和最大值，并写出取得最大值时的集合；
将的函数图象向左平移个单位后得到的函数是偶函数，求的最小值．
17.本小题分
已知中，角，，的对边分别为，，，．
是边上的中线，，且，求的长度．
若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
18.本小题分
如图，为空间四边形，点，分别是，的中点，点，分别在，上，且，．
求证：，，，四点共面；
求证：，必相交且交点在直线上．
19.本小题分
已知函数的定义域为，现有两种对变换的操作：变换：；变换：，其中为大于的常数．
设，，为做变换后的结果，解方程：；
设，为做变换后的结果，解不等式：；
设在上单调递增，先做变换后得到，再做变换后得到；先做变换后得到，再做变换后得到若恒成立，证明：函数在上单调递增．
参考答案
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15.解：
，
故最小正周期，
由，得，
所以函数的最小正周期为，单调减区间为．
，则，则，
则，即在上的值域为
因为在上恒成立，所以，
解得．
所以实数的取值范围为．
16.解：，
所以函数的最小正周期为，
当且仅当，时，取得最大值为，
此时的集合为．
，
因为是偶函数，
所以，，即，，
所以的最小值为．
17.解：因为，由正弦定理得：，
在中，，
可得，即，
由，
所以，
解得；
因为为的中点，，且，
则，
两边平方可得，
即，
可得，
由余弦定理可得；
为锐角三角形，且，
，
由正弦定理可得，
可得，
因为，可得，
可得，
所以，
所以
所以面积的取值范围为
18.证明：连接，因为，分别是，的中点，，，
所以，，
所以，所以，，，四点共面．
易知，又，所以，
结合的结论可知，四边形是梯形，
因此直线，不平行，
设它们交点为，平面，同理，所以平面，
又平面平面，
因此，即，必相交且交点在直线上．

19.解：，，为做变换后的结果，，
，
解得．
，为做变换后的结果，，
，
当时，恒成立；
当时，，
解得，舍或，
综上，不等式：的解集为．
证明：先做变换后得到，再做变换后得到，
，，
先做变换后得到，再做变换后得到，
，，
，在上单调递增，
，
，，
函数在上单调递增．
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