2024-2025学年重庆市南开中学高一（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆市南开中学高一（上）开学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个四边形的四边长依次为，，，，且，则这个四边形一定为( )
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
2.若能用完全平方公式因式分解，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
3.把分解因式的结果是( )
A. B.
C. D.
4.的结果在哪两个连续整数之间( )
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
5.将抛物线通过某种方式平移后得到抛物线，则下列平移方式正确的是( )
A. 向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度
B. 向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度
C. 向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度
D. 向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度
6.若实数，且，满足，，则代数式的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D. 或
8.若关于的不等式组无解，且一次函数的图象不经过第一象限，则符合条件的所有整数的和是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共9分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.我们定义一种新函数，形如的函数叫做“鹊桥”函数小丽同学画出了“鹊桥”函数的图象如图所示，并写出下列四个结论，其中正确的结论是( )
A. 图象与轴的交点为
B. 图象具有对称性，对称轴是直线
C. 当或时，函数值随值的增大而增大
D. 当时，函数的最大值是
10.已知不等式，则下列说法正确的是( )
A. 若，则不等式的解集为
B. 若不等式的解集为，则
C. 若不等式的解集为，则
D. 若不等式的解集为，
11.已知抛物线，当时，；当时，下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 已知点，在抛物线上，当时，
D. 若方程的两实数根为，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.多项式的最小值为______．
13.记的内角，，的对边分别为，，，已知，，则的面积为______．
14.对于每个，函数是，这两个函数的较小值，则函数的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
求实数的取值范围；
若方程的两个实数根，，满足，求的值．
16.本小题分
已知函数．
当时，函数值随的增大而增大求的取值范围；
若，求时，函数值的取值范围．
17.本小题分
已知二次函数的图象经过点，
求该抛物线的对称轴；
若点和点均在该抛物线上，当时请你比较，的大小；
若，且当时，有最小值，求的值．
18.本小题分
已知，求的值，小明是这样分析与解答的：
，
，
，即，
，
．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
若，求的值；
求的值；
比较与的大小，并说明理由．
19.本小题分
已知某二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点．
求该二次函数的解析式，
若当时，该二次函数的最大值与最小值的差是，求的值；
已知点，，若该函数图象与线段只有一个公共点，求的取值范围．
答案解析
1.
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14.
15.解：方程，
整理得，
由该方程有两个实数根，，
得，解得，
所以实数的取值范围是
由，是方程的两个实数根，
得，
而，
则，由知，，
于是，
又，解得，
所以的值为．
16.解：根据题意，，
因为当时，函数值随的增大而增大，
根据反比例函数性质可知，即，
所以的取值范围是；
因为，所以，
因为当时，函数值随的增大而增大，
所以当时，有最小值；当时，有最大值，
所以当，时，函数值的取值范围是
17.解：由二次函数的图象过点，得，解得，
所以该抛物线的对称轴为直线，即．
由得抛物线的解析式为，
依题意，，，
则，而，
当时，有，因此；
当时，有，因此，
所以当时，；当时，．
由，得抛物线的解析式为，
当时，则当时，有最小值，即，解得；
当时，即当时，有最小值，即，解得，
所以的值为或．
18.解：，
，
，即，，
．
．
，理由如下：
，，
，，
，
，
又，
，
．
19.解：由二次函数图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为，
图象经过点，，解得．
该二次函数的解析式为．
当时，最小值为，最大值为，
由可得，此时方程无实数解；
当时，的最小值为，
若，则的最大值为，此时，不合题意；
若，则的最大值为，此时，，解得或，因，故．
综上，当时，二次函数的最大值与最小值的差是．
如图，函数的图象大致如下，
由题意，知点是直线上的动点，
在抛物线上，由可得，此时点的坐标为，
因，由图可知：
当时，点在点上方，此时函数的图象与线段只有一个公共点，符合题意；
又当时，图中点，也满足函数的图象与线段只有一个公共点．
综上所述，的取值范围为．
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