2024-2025学年江苏省宿迁市沭阳如东中学高二上学期开学阶段测试数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省宿迁市沭阳如东中学高二上学期开学阶段测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过两点的直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“直线：与直线：平行”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.点到直线的距离大于，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4.古希腊数学家欧几里得在几何原本中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线当时，轨迹为椭圆当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线，则方程表示的圆锥曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
5.已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知直线与直线相交于点，点是圆上的动点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知椭圆和双曲线有相同的左、右焦点，，若，在第一象限内的交点为，且满足，设，分别是，的离心率，则，的关系是 ．
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
B. 若三条直线，，不能构成三角形，则实数的取值集合为
C. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或
D. 过，两点的直线方程为
10.法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆，已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是( )
A. 圆的方程为
B. 四边形面积的最小值为
C. 的最小值为
D. 当点为时，直线的方程为
11.年月日时分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的有( )
A. 椭圆的长轴长为
B. 线段长度的取值范围是
C. 面积的最小值是
D. 的周长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的倍，且经过点，则直线的方程为 ．
13.已知在平面直角坐标系中，点，，点满足则当三点不共线时，面积的最大值为 ．
14.设，是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，记的外接圆和内切圆半径分别是，，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是，，且它的对角线的交点是，求这个平行四边形其他两边所在直线的方程．
16.本小题分
已知双曲线的两个焦点分别为，，且过点．
求双曲线的虚轴长；
求与双曲线有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程．
17.本小题分
已知点，圆：．
若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值；
求过点的圆的切线方程．
18.本小题分
如图，已知椭圆的离心率为，与轴正半轴交于点过原点不与轴垂直的动直线与交于，两点．

求椭圆的标准方程；
设直线、的斜率分别为、，证明：为定值，并求出该定值；
以点为圆心，为半径的圆与直线、分别交于异于点的点和点，求与面积之比的取值范围．
19.本小题分
历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯公元前年年，大约年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．
已知图乙中，椭圆的中心在坐标原点，焦点为，由发出的光线经椭圆两次反射后回到经过的路程为．
点是椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点处的切线为在上的射影满足，利用椭圆的光学性质求椭圆的方程；
在：的条件下，设椭圆上顶点为，点为轴上不同于椭圆顶点的点，且，直线分别与椭圆交于点异于点，，垂足为，求的最小值．
参考答案
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15.解：联立方程组解得，
所以平行四边形的顶点，
设，由题意，点是线段的中点，
所以，解得，
所以
由已知，直线的斜率．
因为直线，所以，直线的方程为，
由已知，直线的斜率．
因为直线，所以，直线的方程为，
因此，其他两边所在直线的方程是，．
16.解：由题意，易知，，且 ，
在中，，
由双曲线的定义可知，，，即 ，
双曲线的两个焦点分别为，， ，
又，，
故双曲线的虚轴长为；
由知双曲线的方程为 ，
设与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程为，
将点的坐标代入上述方程，得，
故所求双曲线的标准方程为．
17.解：根据题意，圆：，圆心为，半径，
若弦的长为，则圆心到直线的距离，
又由圆心为，直线，
则有，解得；
根据题意，分种情况讨论：
当切线斜率不存在时，其方程为，与圆相切，符合条件，
当切线斜率存在时，设其方程为，
圆心到它的距离，解得，切线方程为，
所以过点的圆的切线方程为或．
18.解：由题意得，且，由，解得，
椭圆的标准方程为；
由于，关于原点对称，故可设，，且；
，
即为定值；
设直线的方程为，直线的方程为，
由知；由题意圆的方程为；
联立直线与圆的方程，得，解得点横坐标；
联立直线与椭圆的方程，得，解得点横坐标，
则；同理，
由于，
所以与面积之比，
将代入上式，并化简得，
令，则由，有，故，
综上，与面积之比的取值范围为．
19.解：由题知，延长，交于点，
在中，，
则且为中点，
在中，，则，
，即椭圆方程为．
由对称性可知直线的斜率不为，所以可设直线，
联立直线与
则，
，
所以，令，得点横坐标，
同理可得点横坐标，
故，
将代入上式整理得：，
将代入得，
若，则直线，恒过不合题意；
若，则，恒过，
因为直线恒过，且与始终有两个交点，
又，垂足为，
所以点轨迹是以为直径的半圆不含点，在直线下方部分，
圆心，半径为，所以，当且仅当点在线段上时，
所以的最小值为．

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