2024-2025学年山东省菏泽市成武县伯乐高级中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省菏泽市成武县伯乐高级中学高二（上）开学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量，，，则( )
A. B. C. D.
2.在中，，则( )
A. B. C. D.
3.设，则的虚部是( )
A. B. C. D.
4.交通锥，又称锥形交通路标，如图，常用于进行工程、发生事故时提醒行人或车辆，以保证安全某数学课外兴趣小组对一个去掉底座的圆锥形交通锥筒进行研究，发现将其放倒在地面上，如图，使交通锥筒在地面上绕其顶点滚动，当其首次转回原位置时，交通锥筒恰好滚动了周若交通锥筒近似看成无底的圆锥，将地面近似看成平面，该圆锥的母线长为，则该圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知三条不同的直线，，和两个不同的平面，，下列四个命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.某射击运动员射击次的成绩如下表：
第次 第次 第次 第次 第次
环 环 环 环 环
下列结论正确的是( )
A. 该射击运动员次射击的平均环数为 B. 该射击运动员次射击的平均环数为
C. 该射击运动员次射击的环数的方差为 D. 该射击运动员次射击的环数的方差为
7.抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
8.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点该点为所在棱的中点若某“十字贯穿体”由两个底面边长为，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是( )
A. 一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直
B. 该“十字贯穿体”的表面积是
C. 该“十字贯穿体”的体积是
D. 一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点出发，沿表面到达顶点的最短路线长为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，角，，的对边分别为，，，则由下列条件能得到为钝角三角形的是( )
A. ，， B. ，，
C. ， D. ，
10.有一组样本数据，，，，由这组数据得到的新样本数据，，，，其中其中，，，，为非零常数，则( )
A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本方差相同
C. 两组样本数据的样本中位数相同 D. 两组样本数据的样本极差相同
11.如图，在正方体中，，分别是，的中点，为线段上的动点不含端点，则下列结论中正确的是( )
A. 平面
B. 存在点使得
C. 存在点使得异面直线与所成的角为
D. 三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一组数据如下：，，，，，，，，该组数据的分位数是______．
13.在三棱锥中，，，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为______．
14.甲、乙两队进行答题比赛，每队名选手，规定两队的每名选手都完成一次答题为一轮比赛，每名选手答对一题得分，答错一题得分已知甲队中每名选手答对题的概率都为，乙队中名选手答对题的概率分别为在第一轮比赛中，甲队得分，乙队得分，则在这一轮中，满足且的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：．
若直线经过点，且与圆相切，求直线的方程；
若圆：与圆相切，求实数的值．
16.本小题分
如图，平面，，，，，为中点．
求证：平面；
求点到平面的距离．
17.本小题分
中，角，，的对边分别为，，，若．
求；
若且的面积为，求边长．
18.本小题分
某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑考核，满分分参加考核的学生有人，考核得分的频率分布直方图如图所示．
由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第百分位数；
为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练现采用分层抽样的方法样本量按比例分配，从得分在内的学生中抽取人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率；
现已知直方图中考核得分在内的平均数为，方差为，在内的平均数为，方差为，求得分在内的平均数和方差．
19.本小题分
定义：如果在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，那么称为，两点间的曼哈顿距离．
已知，两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离不大于，那么的取值范围是多少？
已知，两个点的坐标为，，如果它们之间的曼哈顿距离恒大于，那么的取值范围是多少？
若点在函数图象上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由．
参考答案
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15.解：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，与圆相切，符合题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
则，解得，所以直线的方程为．
综上，直线的方程为或．
圆的方程可化为．
若圆与圆外切，则，解得；
若圆与圆内切，则，解得，
综上，或．
16.解：取的中点，连接、，因为为中点，
所以且，又，，，
即且，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，所以平面．
因为，，所以，
所以，
又平面，所以，
因为，，所以，
由平面，，平面，所以，，
又，，
所以，
所以，
设点到平面的距离为，则，
解得．
17.解：中，，
，
由正弦定理得：，
即，
又，
，又，
，
；
若，且的面积为，
由正弦定理得：，即；
设中边上的高为，则，
又，
，
，解得．
18.解：由题意得：，
解得，
设第百分位数为，
则，
解得，
即第百分位数为；
由题意知，抽出的位同学中，得分在的有人，设为、，
在的有人，设为、、，
则样本空间为，，，，、，，，，，，，
设事件“两人分别来自和”，
则，，，，，，，
因此，
所以两人得分分别来自和的概率为；
考核得分在内的人数为人，在内的人数为人，
所以得分在内的平均数为，
方差为．
19.解：因为，，故，
由曼哈顿距离不大于，得，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
综上，的取值范围是．
因为，，
故，
由题意可得恒成立，
因为，
当且仅当时等号成立，即的最小值为，
所以，则或，解得或．
故的取值范围是．
点在函数图象上且，点的坐标为，
故
当时，，函数在上单调递增，
故，
当且仅当时取等号．
当时，．
令，由于，故，．
当时，，
函数在上单调递减，故，
当且仅当时取等号．
综上可知，的最小值为．
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