2024-2025学年人教版数学八年级上册 第13章 轴对称 教案
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年人教版数学八年级上册 第13章 轴对称 教案 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 3.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-01 17:59:24 | ||
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文档简介
第十三章 轴对称
单元教学设计
◎课标要求
1. 通过让学生进行实例赏析，了解轴对称，对称轴以及轴对称图形的概念，体验轴对称在现实生活中的运用，掌握轴对称的性质。
2. 了解“线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等”。
3. 了解等腰三角形和等边三角形的概念，掌握等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法。
4. 掌握“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”。
5. 在直观感知、操作确认的基础上，进一步学会说理，掌握一定的演绎推理能力，体会教学在现实生活中的广泛应用，认识到数学无处不在，提高学生的学习兴趣和热情。
◎知识框图
◎教材教法
【教材分析】
本章教材注重所学内容与现实生活的联系，强化观察、操作等探索过程。在教学内容的呈现上力求生动有趣，贴近现实生活。对知识的陈述，不仅注重结果，而且尽量给学生提供一定的探索空间和手段，让学生自己去发现结论，在探索的过程中培养学生的各种能力。本章主要内容是围绕等腰三角形展开的，它是继角和线段后接触到的第三个轴对称图形，这部分内容引入了较多的动手操作和直观感知；通过观察、归纳等方法去探索和发现等腰三角形的性质和判定方法。与此同时，采用适当的方式，进行数学说理，让学生进一步体验数学证明的必要性，学会说理，将合情推理和演绎推理两者更好地有机结合。
【教法建议】
在本章的教学中需要创设情境，引导学生在活动中通过观察、实验、归纳等方法去探索发现。动手活动的目的是要促进学生高层次思维能力的发展。因此要注意引导学生活动中的思考和探索，不能让学生的动手活动仅停留在手工操作的层面上。另外，要加强演绎思维能力的培养，要求学生能独立地使用严格的推理格式进行推理，要注意控制问题的难度。在练习题的设计上要尽量选择生动活泼、贴近现实生活的习题，以激发学生的学习兴趣。
◎学情学法
【学情分析】
学生已经认识了一些基本图形特征，学生学习这些知识，一方面可以加深对已学过的图形特征的认识，另一方面可以认识自然界和日常生活中具有轴对称性质的一些事物，并为以后进一步学习数学打下基础。八年级学生抽象思维趋于成熟，形象直观思维能力较强，具有一定的独立思考、实践操作、合作交流、归纳概括能力，能进行简单的推理论证。因此，在本节课的教学中，可让学生从已有的生活经验出发，参与知识的产生过程，在实践操作、自主探索、思考讨论、合作交流等数学活动中，理解和掌握数学知识和技能。
【学情建议】
在本章的学习中，要逐步体会轴对称的应用，另外由特殊到一般思想、分类讨论思想、数形结合思想及方程思想都应引起广发的重视和应用。在本章中需要注意的是：“轴对称图形”和“轴对称”是两个不同的概念，要注意它们的区别和联系。要理解“等边对等角”和“等角对等边”是不一样的结论，要体会它们的互逆关系，要明确“等边对等角”和“等角对等边”都是指同一个三角形中边角之间的对应关系。对于等腰三角形“三线合一”这一性质，要引起重视，它的应用也很广泛。
◎课时安排
13.1轴对称 3课时
13.2画轴对称图形 2课时
13.3等腰三角形 4课时
13.4课题学习 最短路径 1课时
总计 10课时
第十三章 轴对称
13.1 轴对称
13.1.1 轴对称
教学设计
课题 13.1.1 轴对称 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)理解轴对称图形的概念，理解两个图形关于某直线对称的概念．2．(2022新课标)通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分．3．掌握线段的垂直平分线的概念．4．通过自己动手画、作、测量、计算和推理证明，体会轴对称的性质．5．通过对轴对称图形和两个图形成轴对称的学习，让学生体会数学在实际生活中的应用，激发学生学习的热情. 核心素养 几何直观 空间观念
推理能力 应用意识
教学重点 1．在生活实例中认识轴对称图形．2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．
教学难点 通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
出示图片，学生欣赏交流。
问题1：你觉得这些图形美不美，你觉得美在什么地方？
问题2：你知道这些图形有哪些共同之处？
指名学生发言，其他学生补充。
教师总结：我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．
轴对称是对称中重要的一种，让我们一起走进轴对称世界，探索它的秘密吧！
二、探究新知
探究点1 轴对称图形
如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？
学生在观察、交流的基础上描述窗花的特征．
归纳：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
探究点2 两个图形关于某条直线对称
1.观察下面图片，思考：图中的每对图形有什么共同的特点？
2．两个图形成轴对称的定义．
观察下图：把△A′B′C′沿直线l对折后能与△ABC重合，则称△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，简称“轴对称”，点A与点A′对应，点B与点B′对应，点C与点C′对应，称为对称点，直线l叫做对称轴．
3.举例：你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗？
4.出示一些带有对称轴的平面图形，学生观察找对称轴.
教师强调：圆有无数条对称轴.
5．讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称的关系．
名称 轴对称图形 轴对称
区别 图形个数 一个图形 两个图形
对称轴 一条或多条或无数条 只有一条
对称点 在这个图形上 分别在这两个图形上
图形的特殊性 一个具有特殊形状的图形 两个具有特殊位置关系的图形
联系 1.都能沿着某条直线折叠后相互重合.2.把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称.
师生活动：学生认真观察展示的图片，合作交流，描述轴对称图形与轴对称的区别，教师指导学生从不同方面区别轴对称图形与轴对称.
探究点3 轴对称的性质
观察图片，线段 AA′与直线 MN 有怎样的位置关系？你能说明理由吗？
引导学生说出如下关系：AP＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90°.
类似地，点B与点B′，点C与点C′是否也有同样的关系？你能用语言归纳上述发现的规律吗？
从而引出“垂直平分线”的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
这里强调：“中点”“垂直”“直线”.
如图，若 AO=BO，l⊥AB， 则直线l是线段AB的垂直平分线.
如图，若直线l是线段AB的垂直平分线，则AO=BO，l⊥AB.
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.如图，l垂直平分AA'，l垂直平分BB'.
结合学生发表的观点，教师总结并板书：
1.对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.
2.经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
3.轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
4.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
三、典例精析
例1 下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有( B )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解析：根据轴对称图形的概念可得(1)(2)(4)都不是轴对称图形，只有(3)是轴对称图形．故选B.
方法总结：要确定一个图形是否是轴对称图形要根据定义进行判断，关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【变式训练】北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是(D)
A B C D
例2（教材第60页练习T2）下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点．
答案：图（1）（3）中的两个图案是轴对称的，图（2）不是．其对称轴及对称点如图．
【变式训练】下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是(B)
A B C D
例3 如图，已知△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠B＝110°，∠A′＝25°，则∠C的度数为(B)
A.25° B．45° C.70° D．110°
【变式训练】1.如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( B )
A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
解析：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积等于正方形ABCD面积的一半，∵正方形ABCD的边长为4cm，∴S阴影＝×42＝8(cm)2.故选B.
方法总结：正方形是轴对称图形，根据图形判断出阴影部分的面积等于正方形面积的一半是解题的关键．
2.如图，点P关于OA，OB的对称点分别为C，D，连接CD，交OA于点M，交OB于点N，若CD＝18 cm，则△PMN的周长为18__cm.
教师指导： (1)成轴对称的两个图形沿对称轴折叠能够互相重合，所以它们一定是全等的，但全等的两个图形不一定成轴对称；(2)成轴对称的两个图形能够重合，所以它们的周长、面积也相等．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p32练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.轴对称图形：对称轴.
2.成轴对称的两个图形.
3.垂直平分线.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳轴对称图形和成轴对称的两个图形的关系，线段的垂直平分线。
六、作业布置
《课时训练》p39—p40练习题
七、教学反思
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
教学设计
课题 13.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)理解线段垂直平分线的概念．2．(2022新课标)探索并证明线段垂直平分线的性质定理．能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题.3．会用集合的观点解释线段的垂直平分线．4.通过经历线段的垂直平分线的性质与判定的证明过程，体验逻辑推理的数学方法. 核心素养 几何直观 空间观念
推理能力 模型观念
教学重点 线段的垂直平分线的性质与判定.
教学难点 线段的垂直平分线的性质与判定的运用.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处,乙在点B处,把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AB的中点外还有别的地方吗 下面我们一起来学习今天的内容—线段的垂直平分线.
二、探究新知
探究点1 线段的垂直平分线的性质与判定
教师出示教材第 61页探究，让学生测量，思考有什么发现．
如图，直线l垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点 P1，P2，P3，…到点A与点B的距离，你有什么发现？
A=B;A=B;A=B …
由此你能得到什么规律？
性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
符号语言：∵ CA =CB，l⊥AB，∴ PA =PB．
教师讲解题意并在黑板上绘出图形：
上述问题用数学语言可以这样表示：
如图，设直线 l 是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线l上任意一点，连接 PA，PB，我们要证明的是PA＝PB.
证明思路：图中有两个直角三角形△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得 PA＝PB.
师生活动：教师要求学生自己写已知，求证，自己证明．学生证明完后教师板书证明过程供学生对照．
证明：∵l⊥AB，
∴ ∠PCA=∠PCB=90°
在△APC与△BPC中:
PC=PC，∠PCA=∠PCB
AC=BC
∴△PCA≌△PCB(SAS)
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
线段垂直平分线的判定可用来证明两线的位置关系（垂直平分）．
思考：反过来，如果 PA＝PB，那么点P是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？
逆命题：如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．
写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行完成．
证明：∵ PA=PB,PC=PC(公共边）
∴Rt△ACP ≌Rt△BCP
∴AC=BC
∴PC是线段AB的垂直平分线
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
教师把线段的垂直平分线的性质、判定与角平分线的性质、判定进行比较．
教师总结：在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；
反过来，与与A，B的距离都相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A，B距离相等的所有点的集合.
探究点2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
已知：如图，直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
(2)以点C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E.
(3)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.
(4)作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线．
师生活动：引导学生写出已知、求作，并思考作法，指导学生完成作图，说出这样做的理由．
拓展:尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．
学生仿照上述作图进行解答，可以进行小组合作，然后展示作图过程或痕迹，师生共同订正．
三、典例精析
例1 （教材第62页练习T2）如图，AB=AC,MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
解：直线AM是线段BC的垂直平分线，理由如下：
∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∵MB=MC，
∴点M在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AM是线段BC的垂直平分线．
【变式训练】1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，求BC的长.
解：∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.
∵AC＝AD＋DC＝20cm，
∴BC＝35－20＝15cm.
方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
2.（教材第65页习题T6）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，试求的周长．
解：∵是的垂直平分线，，
∴，，
又∵的周长为，
∴，
∴，
即的周长为．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p34练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.线段垂直平分线的性质.
2.线段垂直平分线的判定.
3.三角形三边的垂直平分线交于一点．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳线段垂直平分线的性质和判定。
六、作业布置
《课时训练》p41—p42练习题
七、教学反思
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第2课时 线段垂直平分线的作法与应用
教学设计
课题 13.1.2 第2课时 线段垂直平分线的作法与应用 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．2．能用尺规作轴对称图形及成轴对称的两个图形的对称轴．3．通过自己动手画、作、测量、计算和推理证明，进一步感知线段垂直平分线的性质，进一步激发学生学习数学，应用数学知识创造美好生活的热情和愿望. 核心素养 几何直观 空间观念
模型观念 应用意识
教学重点 利用尺规作图的方法作出对称轴或确定符合条件的点.依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴．
教学难点 尺规作图的规范性与合理性.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边建一个公共汽车站.使的两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
二、探究新知
探究点1 线段的垂直平分线的作法
如图，在平面内有任意两点A，B，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
用折叠的方法得到图中A，B两点的对称轴吗？动手试一下．
你能大致画出图中A，B两点的对称轴吗？画出来．
你能准确画出图中A，B两点的对称轴吗？
师生活动：通过问题串引导学生思考，强调“准确”画出对称轴，学生进行讨论，不同于以往所画对称轴的大致位置，所以必须要用尺规作图的方法．
分析：连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A，B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.
总结：线段的垂直平分线的画法．
作法：(1)连接AB；
(2)分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，分别交于C，D两点；
(3)作直线CD.
直线CD即为所求作的直线．
归纳：同样于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
探究点2 做平面图形的对称轴
如图，正五角星是一个轴对称图形，请作出它的一条对称轴．
分析：连接正五角星的一组对称点，作所连线段的垂直平分线，即得它的一条对称轴．
师生共同得到以下作法：
如图①，点A和点A′是正五角星的一组对称点．连接AA′，作线段AA′的垂直平分线l.直线l就是这个正五角星的一条对称轴．
进一步思考一下问题：(1)在图①中，如果把A，B两点看作对称点，你能作出这个正五角星的一条对称轴吗？
提示：(1)如图②，连接AB，作线段AB的垂直平分线m，直线m就是这个正五角星的一条对称轴．
(2)图①中的正五角星一共有几条对称轴？你能把它们都作出来吗？
答：一共有五条对称轴，如图③所示．
三、典例精析
例1 如图，△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
解：作法略，如图，MN即是所求作的直线．
方法总结：作线段垂直平分线是根据线段垂直平分线的判定，而作对称轴是根据轴对称的性质作对称轴．
【变式训练】1.已知线段AB，求作其垂直平分线．
解：作法略．
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．
2.．如图，△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请画出它们的对称轴．(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图所示．
例2 如图，已知点A、点B以及直线l.
(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；
(2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.
解：(1)如图所示：
(2) ∵在△AMP和△BNP中，
∴△AMP≌△PNB(SSS)，
∴∠MAP＝∠NPB.
方法总结：解决此类问题首先要正确作出图形，然后运用相关的知识解决其他问题．
【变式训练】1. 如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)
解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交AB于E.
∵EO是线段AB的垂直平分线，∴点O到A，B的距离相等，∴这个公共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长．
方法总结：对于作图题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
2．如图，一个三角形状的水池，现要在水池内安装一个喷水头，且喷水头到池边的距离都要相等，请用尺规找出喷水池的位置点P.
解：①以A为圆心，以任意长为半径画圆分别交AC，AB于M，N两点，再分别以M，N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于G点，作射线AG，则AG即为∠A的平分线；②同理，以B为圆心，以任意长为半径画圆分别交AB，BC于H，I两点，再分别以H，I为圆心，以大于HI为半径画圆，两圆相交于点F，作射线BF，BF交射线AG于点P，则P点即为所求点．
方法总结：角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p36练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．线段垂直平分线的作法．
2．作轴对称图形的对称轴的方法．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳线段垂直平分线的3种作图（①将图形折叠②用尺规作图③用刻度尺先找一对对称点连线的中点，然后做垂线）。
六、作业布置
《课时训练》p43—p44练习题
七、教学反思
13.2 画轴对称图形
第1课时 画轴对称图形
教学设计
课题 13.2 第1课时 画轴对称图形 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形．2．(2022新课标)认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形．3．理解图形轴对称变换的性质．4.通过探索画一般的轴对称图形的过程，使学生能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形.培养审美情趣，培养数学思维. 核心素养 几何直观 空间观念
推理能力 应用意识
教学重点 利用轴对称作图.
教学难点 利用对称变换设计图案.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
在一张半透明的纸的左边画一只左脚印，再把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印．这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，请你再画一个图形做一做，看看能否得到同样的结论．
认真观察：左脚印和右脚印有什么关系？图中的线段PP′与直线l是什么关系？
解：对称轴是折痕所在的直线，即直线l，直线l垂直平分线段PP′.
操作：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠、描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？
学生活动：学生先观察图片、动手操作，再独立思考，然后进行交流．
教师组织活动，引导学生归纳：
(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样．
(2)新图形上的每一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.
二、探究新知
探究点 画轴对称图形
思考1：如何画一个点的对称图形？
画出点A关于直线l的对称点A′，
画法：(1)过点A作对称轴的垂线，垂足为 B；
(2)延长AB至A′，使得 BA′＝AB.点 A′就是点A关于直线的对称点.
思考2：如图1，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形吗？
学生活动：讨论，然后根据讨论的结果独立作图，最后交流想法．根据轴对称的性质，只需要作出点A，B，C关于直线l的对称点再连接即可.
教师活动：在学生交流的过程中，引导学生探索作对称点的方法．
如图2，作点A关于直线l的对称点的方法是：
(1)过点A作直线l的垂线，垂足为O；
(2)连接AO并延长到点A′，使A′O＝AO，则点A′就是点A关于直线l的对称点．
归纳：几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形．
对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中一些关键殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
三、典例精析
例1 如图，点D在直线l上，作出四边形ABCD关于直线l的对称的四边形．
解：如图，四边形A′B′C′D即为所求．
【变式训练】1.画出△ABC关于直线l的对称图形．
解析：分别作出点A、B、C关于直线l的对称点，然后连接各点即可．
解：如图所示：
方法总结：我们在画一个图形关于某条直线对称的图形时，先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可得到．
例2 如图是由三个相同的小正方形组成的图形，请你用四种方法在图中补画一个相同的小正方形，使补画后的四个小正方形所组成图形为轴对称图形．
解：如图所示．
【变式训练】1.在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.
解：如图所示：
方法总结：作一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键是作出图形上一些点关于这条直线的对称点，然后再根据已知图形将这些点连接起来．
2．如图，一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入1号球袋．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p38练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.对称点的作法、对称线段的作法及对称图形的作法．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳对称点的作法、对称线段的作法和对称图形的作法。
六、作业布置
《课时训练》p45—p46练习题
七、教学反思
13.2 画轴对称图形
第2课时 用坐标表示轴对称
教学设计
课题 13.2 第2课时 用坐标表示轴对称 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系．2．能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴或y轴的对称图形．3．在找点、描点的过程中，让学生体验数形结合的思想，体验学习数学的乐趣. 核心素养 几何直观 空间观念
模型观念 应用意识
教学重点 1．在直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的坐标变换规律．2．利用坐标变换规律在平面直角坐标系中作一个图形的轴对称图形.
教学难点 平面直角坐标系中，关于直线x＝m(或直线y＝n)对称的点的坐标变换规律.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
十一黄金周，北京吸引了许多游客．一天，小红在天安门广场玩，一位外国友人向小红问西直门的位置，可小红只知道东直门的位置，不过，小红想了想，就准确的告诉了他．你知道为什么吗？
结合老北京的地图向学生介绍：老北京城关于中轴线成轴对称设计，东直门、西直门就关于中轴线对称．如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴，就可以在这个平面图上建立直角坐标系，各个景点的地理位置就可以用坐标表示出来．
提问：这些景点关于坐标轴的对称点你可以找出来吗？这些对称点的坐标与已知点的坐标有什么关系呢？
二、探究新知
探究点1 用坐标表示轴对称
问题1：已知点A和一条直线MN，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗
问题2：在平面直角坐标系内描出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，你能发现坐标之间有什么规律吗？
已知点 A(2，－3) B(－1，2) C(－6，－5) D(0.5，1) E(4，0)
关于x轴对称的点
关于y轴对称的点
学生活动：学生动手画图，观察各个对称点与原来的点之间的坐标的关系，经过讨论得出规律：
点(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，－y)；
点(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(－x，y).
教师活动：组织学生进行探索、观察、猜测，然后进行归纳总结.
问题2 请你说出点P(x，y)关于x轴对称的点P1的坐标，再说出点P1关于y轴对称的点P2的坐标，观察点P经过两次轴对称所得的点P2的坐标有什么规律.
学生运用规律求出点P1，P2的坐标，然后观察、归纳坐标规律.
归纳：一个点关于横轴、纵轴两次轴对称得到的对称点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
三、典例精析
例1 （教材第70页练习T1）分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标：．
解：由，
关于x轴对称的点的坐标分别为；
关于y轴对称的点的坐标分别为
方法总结：关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
【变式训练】1.已知点A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b).
(1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
(2)若点A，B关于y轴对称，求(4a＋b)2 022的值.
解：(1)∵点A，B关于x轴对称，
∴解得
(2)∵点A，B关于y轴对称，
∴解得
∴(4a＋b)2 022＝(－4＋3)2 022＝1.
例2 (教材第70页例2)如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形.
解：图略.
【变式训练】1.在平面直角坐标系中，已知点A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，－1)，请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形．
解：如图所示，△DEF是△ABC关于y轴对称的图形．
方法总结：在坐标系中作出关于坐标轴的对称点，然后顺次连接，此类问题一般比较简单．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p40练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的特征．
2．直角坐标系中关于某条直线对称的点的特征．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的特征及关于某条直线对称的点的特征。
六、作业布置
《课时训练》p47—p48练习题
7、教学反思
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
教学设计
课题 13.3.1 第1课时 等腰三角形的性质 授课人
素养目标 教学目标 1.(2022新课标)理解等腰三角形的概念．2.(2022新课标)探索并证明等腰三角形的性质定理．3.(2022新课标)探索等腰三角形的轴对称性质．4.通过实践、观察、证明等腰三角形的性质的过程，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的信心. 核心素养 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
教学重点 理解并掌握等腰三角形的性质．
教学难点 经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、课堂导入
我们知道有两边相等的三角形叫等腰三角形,请同学们按下面的要求操作,如图，把一张长方形纸沿图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开铺平，得到的三角形是什么特殊三角形？它具有哪些性质？这就是本节课我们要研究的内容．
师生活动：教师演示折纸、剪纸的过程，学生观察所得三角形的形状，教师板书课题．
二、探究新知
探究点1 等腰三角形的性质
把导入中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：
等腰△ABC是不是轴对称图形？对称轴是什么？
等腰△ABC除两腰相等外，它的角有什么性质？
用语言描述等腰三角形的这条性质并给予证明.
已知：△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.
证明：如图，△ABC中，AB＝AC，作底边BC上的中线AD.
△BAD≌△CAD（SSS）
∠B＝∠C.
几何语言：∵ AC=AB（ 已知）∴ ∠B=∠C （等边对等角）
学生活动：学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质.
归纳：性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；
等腰△ABC中，AD有几种角色？各是什么？用语言描述等腰三角形的这条性质并给予证明.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).
由△BAD≌△CAD，还可得出∠BAD=∠CAD,∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.
用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.底边上的高平分顶角并且平分底边.这也就证明了性质2.
等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合，等腰三是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.
师生活动：学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性．
三、典例精析
例1 (教材第76页例1)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD.求△ABC各角的度数.
解∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角)
设∠A=,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=，
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=.
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.
解得x=36°.
∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.
【变式训练】1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，DA＝DC，求∠B的度数.
解：设∠B＝x°.
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x°.
∵DA＝DC，∴∠C＝∠DAC＝x°.
∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2x°.
∵AB＝BD，∴∠ADB＝∠BAD＝2x°.
在△ABD中，∠B＝x°，∠ADB＝∠BAD＝2x°，
∴x°＋2x°＋2x°＝180°，
解得x°＝36°.∴∠B＝36°.
2.如图：△ABC中，AB＝AC，点E为线段BA延长线上一点，AD平分∠EAC.求证：AD∥BC.
证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠EAC.
∵∠EAC是△ABC的外角，
∴∠EAC＝∠B＋∠C.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∴∠B＝∠EAC.
∴∠EAD＝∠B
例2 如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.
证明：如图，过点A作AP⊥BC于点P.
∵AB＝AC，∴BP＝PC.
∵AD＝AE，∴DP＝PE.
∴BP－DP＝PC－PE.
∴BD＝CE.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p42练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.等边对等角；
2.等腰三角形的三线合一；
3.等腰三角形常用辅助线作法(作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线).
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳等腰三角形的性质。
六、作业布置
《课时训练》p49—p50练习题
七、教学反思
13.3.1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
教学设计
课题 13.3.1 第2课时 等腰三角形的判定 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)探索并掌握等腰三角形的判定定理．2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．3．了解等腰三角形的尺规作图．4．(2022新课标)能用尺规作图：已知底边及底边上的高线作等腰三角形．5. 通过推理证明等腰三角形的判定方法的过程，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力. 核心素养 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
教学重点 掌握等腰三角形的判定定理及其推论．
教学难点 掌握等腰三角形判定定理的运用．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、课堂导入
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
学生思考，回答后教师提问：在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
学生猜想它们所对的边相等．即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
应该如何证明呢，让我们今天一起来学习这节课，相信学完这节课你也就会证明了.
二、探究新知
探究点 等腰三角形的判定
教师引导学生根据图形，写出已知、求证，并引导学生作出辅助线．
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C.
求证：AB =AC．
学生相互探讨
①作高AD可以吗？
②作角平分线AD呢？
③作中线AD呢？
学生口头证明后，选择一种方法写出证明过程．
证明：过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
在△ABD与△ACD中，
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∴AB=AC.
归纳：通过论证，在△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC是真命题，即归纳等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即“等角对等边”．
几何语言：在△ABC中，∵∠B=∠C， ( 已知 )
∴ AC=AB. ( 等角对等边 )
∴△ABC为等腰三角形.
三、典例精析
例1 (教材第78页例2)求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
分析：引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明．
已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD∥BC.
求证：AB＝AC.
证明：∵AD是△ABC的外角∠CAE的平分线(已知)，
∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．
∵AD∥BC(已知)，
∴∠1＝∠B(两直线平行，同位角相等)，∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)．
∴∠B＝∠C(等量代换)．
∴AB＝AC(等角对等边)．
即△ABC是等腰三角形.
【变式训练】1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB边上的高，
∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰三角形．
方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
例2 (教材第78页例3)已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．
解：1.作线段AB=a.
2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB 于点D.
3.在MN上取一点C，使DC=h.
4.连接AC，BC，则△ABC即为所求
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p44练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
等腰三角形的判定方法：
(1)根据定义判定；
(2)两个角相等的三角形是等腰三角形．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳等腰三角形的判定。
六、作业布置
《课时训练》p51—p52练习题
七、教学反思
13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
教学设计
课题 13.3.2 第1课时 等边三角形的性质与判定 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质定理和判定定理．2．(2022新课标)探索等边三角形的轴对称性质．3．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．4．通过探索等边三角形的性质与判定的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力.会用数学的思维思考现实世界. 核心素养 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
教学重点 掌握等边三角形的定义、性质和判定，明确其与等腰三角形的区别和联系．
教学难点 能应用等边三角形的知识进行简单的计算和证明．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、问题导入
在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形，三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形．那怎样判定一个三角形是等边三角形呢？
观察与讨论：如图，把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
学生回答：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它是一种特殊的等腰三角形．
那等边三角形还有其他的性质吗？怎样判定一个三角形是等边三角形呢？今天我们来研究等边三角形的性质与判定.
二、探究新知
探究点1 等边三角形的性质
师生活动： 1．请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想。
2．你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的
等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°。
上面的条件和结论如何叙述
已知：△ABC是等边三角形。
求证：∠A=∠B=∠C
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，BC=AB
∴∠A=∠B，∠A=∠C
∴∠A=∠B=∠C
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A=60°
∴∠A=∠B=∠C=60°
文字表述：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°
几何语言：在△ABC中，∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠B=∠C=60°
4.等边三角形是轴对称图形吗 如果是，有几条对称轴
等边三角形也称为正三角形。
探究点2 等边三角形的判定
1．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝BC＝CA吗？为什么？
已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C
求证：△ABC是等边三角形
证明：∵∠A=∠B，∠B=∠C，
∴BC=AC，AC=AB
∴AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形
等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
几何语言：在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C∴△ABC是等边三角形
2．求证：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
在学生充分讨论的基础上，教师引导学生利用口头证明等方法，归纳等边三角形的判定方法：
已知：在△ABC中，AC=BC且∠A=60°
求证：△ABC是等边三角形
证明：∵AC=BC
∴∠A=∠B
又∵∠A=60°
∴∠B=60°，∠C=60°
∴△ABC是等边三角形
等边三角形的判定定理2：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。
几何语言：在△ABC中，∵BC=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形
三、典例精析
例1 (教材第80页例4)如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB和AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C.
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
∴∠A＝∠ADE＝∠AED
.∴△ADE是等边三角形．
思考：本题还有其他证法吗？
【变式训练】1.若点D、E在边AB、AC的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C=60°.
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.
∴∠A＝∠ADE＝∠AED.
∴△ADE是等边三角形．
2.若点D、E在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C=60°.
∵DE∥BC，
∴∠D＝∠B，∠E＝∠C.
∴∠EAD＝∠D＝∠E.
∴△ADE是等边三角形．
3.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC.
在△ABP与△ACQ中，∵
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ
.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
方法总结：用角判定一个三角形是等边三角形有两种方法：一是证明三角形三个内角相等；二是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
例2 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握．
【变式训练】1.如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)求证：DC＝CF.
解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.
∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°.
∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝180°－90°－60°＝30°.
(3) 证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°.
∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°
.∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°.
∴△DEC是等边三角形．
∴CE＝CD.
∵∠ECD＝∠F＋∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°.∴EC＝FC.
∴DC＝FC.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p46练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．等边三角形的定义；
2．等边三角形的性质；
3．等边三角形的判定方法．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳等边三角形的性质和判定方法。
六、作业布置
《课时训练》p53—p54练习题
七、教学反思
13.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
教学设计
课题 13.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 授课人
素养目标 教学目标 1．探索、发现、猜想、证明直角三角形中有一个角为30°的性质．通过探究含30°角的直角三角形的性质的过程，增强学生对特殊直角三角形的认识，培养学生分析问题、解决问题的能力.2．掌握有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．3．会用发展变化的思维思考30°角相互转化的事实.体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性． 核心素养 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
教学重点 含30°角的直角三角形的性质的发现与运用.
教学难点 含有30°角的直角三角形的性质与其他知识的综合运用.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、问题导入
问题：我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？
思考：将两个大小相同的含30°角的三角尺摆放在一起，学生随意摆放，你能借助拼图找到直角尺的较短直角边与斜边之间的数量关系吗？
用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质．
二、探究新知
探究点 含30°角的直角三角形的性质
1．将两个含30°角的三角尺按如图所示摆放在一起，观察并回答下面的问题：
(1) 判断△ABD的形状，依据是什么？
等边三角形，两斜边相等且底角都是60°.
(2) 线段BC与CD的大小有什么关系？为什么？
相等，它们都是原三角尺的直角边.
(3)线段BC与AB的大小有什么关系？为什么？你能归纳含30°角的直角三角形的性质吗？
师生活动：学生观察、思考、猜测、归纳结论．
归纳：含30°角的直角三角形的边角性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
2．问题：我们仅凭实际操作得出的结论还需证明吗？
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．其条件和结论分别是什么？如何用数学符号来表达？如何证明？
师生活动：学生分析条件和结论，证明过程，教师指导、纠错．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC=AB．
证明1：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．
延长BC至D，使CD=BC，连接AD
∵∠ACB=60°， ∴∠ACD=90°．
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
∴BC=BD=AB．
思考：你还能用其他方法证明吗？.
证明2：在△ABC 中，∵ ∠C =90°，∠A =30°，
∴ ∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，
则△ABD 是等边三角形．
由等边三角形的性质可知，
AC 也是BD 边上的中线，
∴ BC = BD = AB ．
几何语言：∵ 在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，∴ BC = AB．
2．思考：该性质适用范围是什么？
直角三角形
运用该性质可求什么？
计算和证明线段的倍分，揭示了30°角直角三角形中边的数量关系的特殊性.
逆命题成立吗？
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.(请同学们课后验证)
三、典例精析
例1 (教材第81页例5)如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°.立柱BC，DE要多长．
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，
∴BC＝AB，DE＝AD.
∴BC＝×7.4＝3.7(m)．
又∵AD＝AB，
∴DE＝AD＝×3.7＝1.85(m)．
答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m.
【变式训练】1.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？
解：如图所示，作BD⊥CA于D点．
∵∠BAC＝150°，
∴∠DAB＝30°.
∵AB＝40m，
∴BD＝AB＝20m，
∴S△ABC＝×50×20＝500(m2)．
已知这种草皮每平方米a元，所以一共需要500a元．
方法总结：解此题的关键在于作出CA边上的高，根据相关的性质推出高BD的长度，正确的计算出△ABC的面积．
2.上午8时，一条船从港口A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，10时到达海岛B处，从A，B两处望灯塔C，分别测得∠NAC＝15°，∠NBC＝30°.若该船从海岛B继续向正北航行，求船与灯塔C的最短距离．
解：根据题意得，AB＝15×2＝30(海里)，
当船行驶到D点时，与灯塔的距离最短，即为CD的长度，
∵∠NAC＝15°，∠NBC＝30°，∴∠ACB＝15°.
∴BC＝AB＝30(海里)．
∴CD＝BC＝15(海里)．
∴船与灯塔C的最短距离15海里．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p48练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.掌握含30°角的直角三角形的边角性质．
2.会用含30°角的直角三角形的性质证明简单的线段倍分问题．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳含30°角的直角三角形的边角性质。
六、作业布置
《课时训练》p55—p56练习题
七、教学反思
13.3.2 等边三角形
13.4 课题学习 最短路径问题
教学设计
课题 13.4 课题学习 最短路径问题 授课人
素养目标 教学目标 1.通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.2.运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想方法.3.在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与现实生活的密切联系.体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性． 核心素养 几何直观 空间观念
模型观念 应用意识
教学重点 运用所学知识解决最短路径问题.
教学难点 选择合适的方法解决问题.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
如图，连接A，B两点的所有线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短.
如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
PC最短，因为垂线段最短.
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题. 同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最短路径.
二、探究新知
探究点1 运用“垂线段最短”解决最短路径问题
（将军饮马问题）如图，牧马人从草场A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后回到帐篷B 地．问：到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
思考：这是一个实际问题，你打算首先做什么？你能用自己的语言解释这个题的意思吗？能把它抽象为数学问题吗？
(1)将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线；
(2)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；
(3)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
(4)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图).
思考：对于问题1，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？
思考：能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？
教师讲解作法：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？
作法：
(1)作点B关于直线l的对称点B′；
(2)连接AB′，与直线l相交于点C.则点C即为所求．
问题2 你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？
证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，
BC＝B′C，BC′＝B′C′.
∴AC ＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.
在△AB′C′中， AB′＜AC′＋B′C′，
∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′.即 AC ＋BC 最短．
师生活动：教师先让学生分组讨论，分析问题，解决问题，对有疑问的地方教师适时引导，最后共同总结．
探究点2 运用“两点之间，线段最短”解决最短路径问题
仿照上面分析问题的方法，你能解决下面的问题吗？
(造桥选址问题)如下图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河岸上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)
把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.
把上面的问题抽象为数学问题：如图，直线a∥b，N为直线b上的一个动点，MN⊥b，交直线a于点M，当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？
由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋BN最小时，AM＋MN＋NB最小．这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？
思考：我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
学生讨论后回答:有如下方案：
①把A平移到岸边.
学生做图后回答：AM+MN+BN长度改变了.
2.把B平移到岸边.
学生做图后回答：AM+MN+BN长度改变了.
3.把桥平移到和A相连.
4.把桥平移到和B相连.
AM+MN+BN长度有没有改变呢？师生共同讨论后解答.
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
理由:另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.
由平移性质可知，AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1.
AM+MN+BN转化为AA1＋A1B，而AM1 +M1N1+BN1转化为AA1＋A1N1+BN1.
在△A1N1B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此AM1 +M1N1+BN1 ＞ AM+MN+BN.
如何说明这种做法是正确的呢？
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,
所以A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
故桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.
总结：解决最短路径问题的方法：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为以解决的问题，从而做出最短路径的选择.
三、典例精析
例1 如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM＋PN最短，则点P应选在(C)
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【变式训练】1.如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
(1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)
(2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
解：(1)作出AB的垂直平分线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置.
(2)如图所示：作A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，点N即为所求．
例2 如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥(桥与河的两岸相互垂直)，桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．
解：如图所示．
理由：由作图过程可知，四边形ADCA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p50练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.将军饮马.
2.造桥选址．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳将军饮马和造桥选址问题.
六、作业布置
《课时训练》p57—p58练习题
七、教学反思
E
A
B
C
单元教学设计
◎课标要求
1. 通过让学生进行实例赏析，了解轴对称，对称轴以及轴对称图形的概念，体验轴对称在现实生活中的运用，掌握轴对称的性质。
2. 了解“线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等”。
3. 了解等腰三角形和等边三角形的概念，掌握等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法。
4. 掌握“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”。
5. 在直观感知、操作确认的基础上，进一步学会说理，掌握一定的演绎推理能力，体会教学在现实生活中的广泛应用，认识到数学无处不在，提高学生的学习兴趣和热情。
◎知识框图
◎教材教法
【教材分析】
本章教材注重所学内容与现实生活的联系，强化观察、操作等探索过程。在教学内容的呈现上力求生动有趣，贴近现实生活。对知识的陈述，不仅注重结果，而且尽量给学生提供一定的探索空间和手段，让学生自己去发现结论，在探索的过程中培养学生的各种能力。本章主要内容是围绕等腰三角形展开的，它是继角和线段后接触到的第三个轴对称图形，这部分内容引入了较多的动手操作和直观感知；通过观察、归纳等方法去探索和发现等腰三角形的性质和判定方法。与此同时，采用适当的方式，进行数学说理，让学生进一步体验数学证明的必要性，学会说理，将合情推理和演绎推理两者更好地有机结合。
【教法建议】
在本章的教学中需要创设情境，引导学生在活动中通过观察、实验、归纳等方法去探索发现。动手活动的目的是要促进学生高层次思维能力的发展。因此要注意引导学生活动中的思考和探索，不能让学生的动手活动仅停留在手工操作的层面上。另外，要加强演绎思维能力的培养，要求学生能独立地使用严格的推理格式进行推理，要注意控制问题的难度。在练习题的设计上要尽量选择生动活泼、贴近现实生活的习题，以激发学生的学习兴趣。
◎学情学法
【学情分析】
学生已经认识了一些基本图形特征，学生学习这些知识，一方面可以加深对已学过的图形特征的认识，另一方面可以认识自然界和日常生活中具有轴对称性质的一些事物，并为以后进一步学习数学打下基础。八年级学生抽象思维趋于成熟，形象直观思维能力较强，具有一定的独立思考、实践操作、合作交流、归纳概括能力，能进行简单的推理论证。因此，在本节课的教学中，可让学生从已有的生活经验出发，参与知识的产生过程，在实践操作、自主探索、思考讨论、合作交流等数学活动中，理解和掌握数学知识和技能。
【学情建议】
在本章的学习中，要逐步体会轴对称的应用，另外由特殊到一般思想、分类讨论思想、数形结合思想及方程思想都应引起广发的重视和应用。在本章中需要注意的是：“轴对称图形”和“轴对称”是两个不同的概念，要注意它们的区别和联系。要理解“等边对等角”和“等角对等边”是不一样的结论，要体会它们的互逆关系，要明确“等边对等角”和“等角对等边”都是指同一个三角形中边角之间的对应关系。对于等腰三角形“三线合一”这一性质，要引起重视，它的应用也很广泛。
◎课时安排
13.1轴对称 3课时
13.2画轴对称图形 2课时
13.3等腰三角形 4课时
13.4课题学习 最短路径 1课时
总计 10课时
第十三章 轴对称
13.1 轴对称
13.1.1 轴对称
教学设计
课题 13.1.1 轴对称 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)理解轴对称图形的概念，理解两个图形关于某直线对称的概念．2．(2022新课标)通过具体实例理解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中对应点的连线被对称轴垂直平分．3．掌握线段的垂直平分线的概念．4．通过自己动手画、作、测量、计算和推理证明，体会轴对称的性质．5．通过对轴对称图形和两个图形成轴对称的学习，让学生体会数学在实际生活中的应用，激发学生学习的热情. 核心素养 几何直观 空间观念
推理能力 应用意识
教学重点 1．在生活实例中认识轴对称图形．2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．
教学难点 通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
出示图片，学生欣赏交流。
问题1：你觉得这些图形美不美，你觉得美在什么地方？
问题2：你知道这些图形有哪些共同之处？
指名学生发言，其他学生补充。
教师总结：我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．
轴对称是对称中重要的一种，让我们一起走进轴对称世界，探索它的秘密吧！
二、探究新知
探究点1 轴对称图形
如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？
学生在观察、交流的基础上描述窗花的特征．
归纳：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
探究点2 两个图形关于某条直线对称
1.观察下面图片，思考：图中的每对图形有什么共同的特点？
2．两个图形成轴对称的定义．
观察下图：把△A′B′C′沿直线l对折后能与△ABC重合，则称△A′B′C′与△ABC关于直线l对称，简称“轴对称”，点A与点A′对应，点B与点B′对应，点C与点C′对应，称为对称点，直线l叫做对称轴．
3.举例：你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗？
4.出示一些带有对称轴的平面图形，学生观察找对称轴.
教师强调：圆有无数条对称轴.
5．讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称的关系．
名称 轴对称图形 轴对称
区别 图形个数 一个图形 两个图形
对称轴 一条或多条或无数条 只有一条
对称点 在这个图形上 分别在这两个图形上
图形的特殊性 一个具有特殊形状的图形 两个具有特殊位置关系的图形
联系 1.都能沿着某条直线折叠后相互重合.2.把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称.
师生活动：学生认真观察展示的图片，合作交流，描述轴对称图形与轴对称的区别，教师指导学生从不同方面区别轴对称图形与轴对称.
探究点3 轴对称的性质
观察图片，线段 AA′与直线 MN 有怎样的位置关系？你能说明理由吗？
引导学生说出如下关系：AP＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90°.
类似地，点B与点B′，点C与点C′是否也有同样的关系？你能用语言归纳上述发现的规律吗？
从而引出“垂直平分线”的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
这里强调：“中点”“垂直”“直线”.
如图，若 AO=BO，l⊥AB， 则直线l是线段AB的垂直平分线.
如图，若直线l是线段AB的垂直平分线，则AO=BO，l⊥AB.
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.如图，l垂直平分AA'，l垂直平分BB'.
结合学生发表的观点，教师总结并板书：
1.对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段.
2.经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
3.轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
4.轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
三、典例精析
例1 下列体育运动标志中，从图案看不是轴对称图形的有( B )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解析：根据轴对称图形的概念可得(1)(2)(4)都不是轴对称图形，只有(3)是轴对称图形．故选B.
方法总结：要确定一个图形是否是轴对称图形要根据定义进行判断，关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
【变式训练】北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是(D)
A B C D
例2（教材第60页练习T2）下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点．
答案：图（1）（3）中的两个图案是轴对称的，图（2）不是．其对称轴及对称点如图．
【变式训练】下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是(B)
A B C D
例3 如图，已知△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠B＝110°，∠A′＝25°，则∠C的度数为(B)
A.25° B．45° C.70° D．110°
【变式训练】1.如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为( B )
A．4cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2
解析：根据正方形的轴对称性可得，阴影部分的面积等于正方形ABCD面积的一半，∵正方形ABCD的边长为4cm，∴S阴影＝×42＝8(cm)2.故选B.
方法总结：正方形是轴对称图形，根据图形判断出阴影部分的面积等于正方形面积的一半是解题的关键．
2.如图，点P关于OA，OB的对称点分别为C，D，连接CD，交OA于点M，交OB于点N，若CD＝18 cm，则△PMN的周长为18__cm.
教师指导： (1)成轴对称的两个图形沿对称轴折叠能够互相重合，所以它们一定是全等的，但全等的两个图形不一定成轴对称；(2)成轴对称的两个图形能够重合，所以它们的周长、面积也相等．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p32练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.轴对称图形：对称轴.
2.成轴对称的两个图形.
3.垂直平分线.
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳轴对称图形和成轴对称的两个图形的关系，线段的垂直平分线。
六、作业布置
《课时训练》p39—p40练习题
七、教学反思
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定
教学设计
课题 13.1.2 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)理解线段垂直平分线的概念．2．(2022新课标)探索并证明线段垂直平分线的性质定理．能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题.3．会用集合的观点解释线段的垂直平分线．4.通过经历线段的垂直平分线的性质与判定的证明过程，体验逻辑推理的数学方法. 核心素养 几何直观 空间观念
推理能力 模型观念
教学重点 线段的垂直平分线的性质与判定.
教学难点 线段的垂直平分线的性质与判定的运用.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处,乙在点B处,把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AB的中点外还有别的地方吗 下面我们一起来学习今天的内容—线段的垂直平分线.
二、探究新知
探究点1 线段的垂直平分线的性质与判定
教师出示教材第 61页探究，让学生测量，思考有什么发现．
如图，直线l垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是l上的点，分别量一量点 P1，P2，P3，…到点A与点B的距离，你有什么发现？
A=B;A=B;A=B …
由此你能得到什么规律？
性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
符号语言：∵ CA =CB，l⊥AB，∴ PA =PB．
教师讲解题意并在黑板上绘出图形：
上述问题用数学语言可以这样表示：
如图，设直线 l 是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线l上任意一点，连接 PA，PB，我们要证明的是PA＝PB.
证明思路：图中有两个直角三角形△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得 PA＝PB.
师生活动：教师要求学生自己写已知，求证，自己证明．学生证明完后教师板书证明过程供学生对照．
证明：∵l⊥AB，
∴ ∠PCA=∠PCB=90°
在△APC与△BPC中:
PC=PC，∠PCA=∠PCB
AC=BC
∴△PCA≌△PCB(SAS)
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
线段垂直平分线的判定可用来证明两线的位置关系（垂直平分）．
思考：反过来，如果 PA＝PB，那么点P是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？
逆命题：如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．
写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行完成．
证明：∵ PA=PB,PC=PC(公共边）
∴Rt△ACP ≌Rt△BCP
∴AC=BC
∴PC是线段AB的垂直平分线
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
教师把线段的垂直平分线的性质、判定与角平分线的性质、判定进行比较．
教师总结：在线段AB的垂直平分线l上的点与A，B的距离都相等；
反过来，与与A，B的距离都相等的点都在l上，所以直线l可以看成与两点A，B距离相等的所有点的集合.
探究点2 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线．
已知：如图，直线AB和AB外一点C．
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
(2)以点C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E.
(3)分别以点D和点E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧相交于点F.
(4)作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线．
师生活动：引导学生写出已知、求作，并思考作法，指导学生完成作图，说出这样做的理由．
拓展:尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．
学生仿照上述作图进行解答，可以进行小组合作，然后展示作图过程或痕迹，师生共同订正．
三、典例精析
例1 （教材第62页练习T2）如图，AB=AC,MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
解：直线AM是线段BC的垂直平分线，理由如下：
∵AB=AC，
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∵MB=MC，
∴点M在线段BC的垂直平分线上，
∴直线AM是线段BC的垂直平分线．
【变式训练】1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，求BC的长.
解：∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.
∵AC＝AD＋DC＝20cm，
∴BC＝35－20＝15cm.
方法总结：利用线段垂直平分线的性质，可以实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
2.（教材第65页习题T6）如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，试求的周长．
解：∵是的垂直平分线，，
∴，，
又∵的周长为，
∴，
∴，
即的周长为．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p34练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.线段垂直平分线的性质.
2.线段垂直平分线的判定.
3.三角形三边的垂直平分线交于一点．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳线段垂直平分线的性质和判定。
六、作业布置
《课时训练》p41—p42练习题
七、教学反思
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第2课时 线段垂直平分线的作法与应用
教学设计
课题 13.1.2 第2课时 线段垂直平分线的作法与应用 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线．2．能用尺规作轴对称图形及成轴对称的两个图形的对称轴．3．通过自己动手画、作、测量、计算和推理证明，进一步感知线段垂直平分线的性质，进一步激发学生学习数学，应用数学知识创造美好生活的热情和愿望. 核心素养 几何直观 空间观念
模型观念 应用意识
教学重点 利用尺规作图的方法作出对称轴或确定符合条件的点.依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的对称轴．
教学难点 尺规作图的规范性与合理性.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边建一个公共汽车站.使的两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
二、探究新知
探究点1 线段的垂直平分线的作法
如图，在平面内有任意两点A，B，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
用折叠的方法得到图中A，B两点的对称轴吗？动手试一下．
你能大致画出图中A，B两点的对称轴吗？画出来．
你能准确画出图中A，B两点的对称轴吗？
师生活动：通过问题串引导学生思考，强调“准确”画出对称轴，学生进行讨论，不同于以往所画对称轴的大致位置，所以必须要用尺规作图的方法．
分析：连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A，B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.
总结：线段的垂直平分线的画法．
作法：(1)连接AB；
(2)分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，分别交于C，D两点；
(3)作直线CD.
直线CD即为所求作的直线．
归纳：同样于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
探究点2 做平面图形的对称轴
如图，正五角星是一个轴对称图形，请作出它的一条对称轴．
分析：连接正五角星的一组对称点，作所连线段的垂直平分线，即得它的一条对称轴．
师生共同得到以下作法：
如图①，点A和点A′是正五角星的一组对称点．连接AA′，作线段AA′的垂直平分线l.直线l就是这个正五角星的一条对称轴．
进一步思考一下问题：(1)在图①中，如果把A，B两点看作对称点，你能作出这个正五角星的一条对称轴吗？
提示：(1)如图②，连接AB，作线段AB的垂直平分线m，直线m就是这个正五角星的一条对称轴．
(2)图①中的正五角星一共有几条对称轴？你能把它们都作出来吗？
答：一共有五条对称轴，如图③所示．
三、典例精析
例1 如图，△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
解：作法略，如图，MN即是所求作的直线．
方法总结：作线段垂直平分线是根据线段垂直平分线的判定，而作对称轴是根据轴对称的性质作对称轴．
【变式训练】1.已知线段AB，求作其垂直平分线．
解：作法略．
师生活动：学生独立思考，举手回答，师生交流心得和方法．
2.．如图，△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请画出它们的对称轴．(保留作图痕迹，不写作法)
解：如图所示．
例2 如图，已知点A、点B以及直线l.
(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；
(2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.
解：(1)如图所示：
(2) ∵在△AMP和△BNP中，
∴△AMP≌△PNB(SSS)，
∴∠MAP＝∠NPB.
方法总结：解决此类问题首先要正确作出图形，然后运用相关的知识解决其他问题．
【变式训练】1. 如图，某地由于居民增多，要在公路l边增加一个公共汽车站，A，B是路边两个新建小区，这个公共汽车站C建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写画法)
解：连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于O，交AB于E.
∵EO是线段AB的垂直平分线，∴点O到A，B的距离相等，∴这个公共汽车站C应建在O点处，才能使到两个小区的路程一样长．
方法总结：对于作图题首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
2．如图，一个三角形状的水池，现要在水池内安装一个喷水头，且喷水头到池边的距离都要相等，请用尺规找出喷水池的位置点P.
解：①以A为圆心，以任意长为半径画圆分别交AC，AB于M，N两点，再分别以M，N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于G点，作射线AG，则AG即为∠A的平分线；②同理，以B为圆心，以任意长为半径画圆分别交AB，BC于H，I两点，再分别以H，I为圆心，以大于HI为半径画圆，两圆相交于点F，作射线BF，BF交射线AG于点P，则P点即为所求点．
方法总结：角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p36练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．线段垂直平分线的作法．
2．作轴对称图形的对称轴的方法．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳线段垂直平分线的3种作图（①将图形折叠②用尺规作图③用刻度尺先找一对对称点连线的中点，然后做垂线）。
六、作业布置
《课时训练》p43—p44练习题
七、教学反思
13.2 画轴对称图形
第1课时 画轴对称图形
教学设计
课题 13.2 第1课时 画轴对称图形 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形．2．(2022新课标)认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形．3．理解图形轴对称变换的性质．4.通过探索画一般的轴对称图形的过程，使学生能够按要求作出简单平面图形经过一次对称后的图形.培养审美情趣，培养数学思维. 核心素养 几何直观 空间观念
推理能力 应用意识
教学重点 利用轴对称作图.
教学难点 利用对称变换设计图案.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
在一张半透明的纸的左边画一只左脚印，再把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就能得到相应的右脚印．这时，右脚印和左脚印成轴对称，折痕所在的直线就是它们的对称轴，并且连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．类似地，请你再画一个图形做一做，看看能否得到同样的结论．
认真观察：左脚印和右脚印有什么关系？图中的线段PP′与直线l是什么关系？
解：对称轴是折痕所在的直线，即直线l，直线l垂直平分线段PP′.
操作：自己动手在纸上画一个图案，将这张纸折叠、描图，再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置再试一次，你又得到了什么？
学生活动：学生先观察图片、动手操作，再独立思考，然后进行交流．
教师组织活动，引导学生归纳：
(1)由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样．
(2)新图形上的每一个点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.
二、探究新知
探究点 画轴对称图形
思考1：如何画一个点的对称图形？
画出点A关于直线l的对称点A′，
画法：(1)过点A作对称轴的垂线，垂足为 B；
(2)延长AB至A′，使得 BA′＝AB.点 A′就是点A关于直线的对称点.
思考2：如图1，已知△ABC和直线l，你能作出△ABC关于直线l对称的图形吗？
学生活动：讨论，然后根据讨论的结果独立作图，最后交流想法．根据轴对称的性质，只需要作出点A，B，C关于直线l的对称点再连接即可.
教师活动：在学生交流的过程中，引导学生探索作对称点的方法．
如图2，作点A关于直线l的对称点的方法是：
(1)过点A作直线l的垂线，垂足为O；
(2)连接AO并延长到点A′，使A′O＝AO，则点A′就是点A关于直线l的对称点．
归纳：几何图形都可以看作由点组成，只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形．
对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中一些关键殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
三、典例精析
例1 如图，点D在直线l上，作出四边形ABCD关于直线l的对称的四边形．
解：如图，四边形A′B′C′D即为所求．
【变式训练】1.画出△ABC关于直线l的对称图形．
解析：分别作出点A、B、C关于直线l的对称点，然后连接各点即可．
解：如图所示：
方法总结：我们在画一个图形关于某条直线对称的图形时，先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可得到．
例2 如图是由三个相同的小正方形组成的图形，请你用四种方法在图中补画一个相同的小正方形，使补画后的四个小正方形所组成图形为轴对称图形．
解：如图所示．
【变式训练】1.在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出4个这样的△DEF.
解：如图所示：
方法总结：作一个图形关于一条已知直线的对称图形，关键是作出图形上一些点关于这条直线的对称点，然后再根据已知图形将这些点连接起来．
2．如图，一个经过改造的台球桌面上四个角的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过多次反射)，那么该球最后将落入1号球袋．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p38练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.对称点的作法、对称线段的作法及对称图形的作法．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳对称点的作法、对称线段的作法和对称图形的作法。
六、作业布置
《课时训练》p45—p46练习题
七、教学反思
13.2 画轴对称图形
第2课时 用坐标表示轴对称
教学设计
课题 13.2 第2课时 用坐标表示轴对称 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系．2．能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴或y轴的对称图形．3．在找点、描点的过程中，让学生体验数形结合的思想，体验学习数学的乐趣. 核心素养 几何直观 空间观念
模型观念 应用意识
教学重点 1．在直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的坐标变换规律．2．利用坐标变换规律在平面直角坐标系中作一个图形的轴对称图形.
教学难点 平面直角坐标系中，关于直线x＝m(或直线y＝n)对称的点的坐标变换规律.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
十一黄金周，北京吸引了许多游客．一天，小红在天安门广场玩，一位外国友人向小红问西直门的位置，可小红只知道东直门的位置，不过，小红想了想，就准确的告诉了他．你知道为什么吗？
结合老北京的地图向学生介绍：老北京城关于中轴线成轴对称设计，东直门、西直门就关于中轴线对称．如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴，就可以在这个平面图上建立直角坐标系，各个景点的地理位置就可以用坐标表示出来．
提问：这些景点关于坐标轴的对称点你可以找出来吗？这些对称点的坐标与已知点的坐标有什么关系呢？
二、探究新知
探究点1 用坐标表示轴对称
问题1：已知点A和一条直线MN，你能画出这个点关于已知直线的对称点吗
问题2：在平面直角坐标系内描出下列已知点以及对称点，并把坐标填在表格中，你能发现坐标之间有什么规律吗？
已知点 A(2，－3) B(－1，2) C(－6，－5) D(0.5，1) E(4，0)
关于x轴对称的点
关于y轴对称的点
学生活动：学生动手画图，观察各个对称点与原来的点之间的坐标的关系，经过讨论得出规律：
点(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，－y)；
点(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(－x，y).
教师活动：组织学生进行探索、观察、猜测，然后进行归纳总结.
问题2 请你说出点P(x，y)关于x轴对称的点P1的坐标，再说出点P1关于y轴对称的点P2的坐标，观察点P经过两次轴对称所得的点P2的坐标有什么规律.
学生运用规律求出点P1，P2的坐标，然后观察、归纳坐标规律.
归纳：一个点关于横轴、纵轴两次轴对称得到的对称点的坐标规律：横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．
三、典例精析
例1 （教材第70页练习T1）分别写出下列各点关于x轴和y轴对称的点的坐标：．
解：由，
关于x轴对称的点的坐标分别为；
关于y轴对称的点的坐标分别为
方法总结：关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
【变式训练】1.已知点A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b).
(1)若点A，B关于x轴对称，求a，b的值；
(2)若点A，B关于y轴对称，求(4a＋b)2 022的值.
解：(1)∵点A，B关于x轴对称，
∴解得
(2)∵点A，B关于y轴对称，
∴解得
∴(4a＋b)2 022＝(－4＋3)2 022＝1.
例2 (教材第70页例2)如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5，1)，B(－2，1)，C(－2，5)，D(－5，4)，分别画出四边形ABCD关于y轴和x轴对称的图形.
解：图略.
【变式训练】1.在平面直角坐标系中，已知点A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，－1)，请在图中画出△ABC，并画出与△ABC关于y轴对称的图形．
解：如图所示，△DEF是△ABC关于y轴对称的图形．
方法总结：在坐标系中作出关于坐标轴的对称点，然后顺次连接，此类问题一般比较简单．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p40练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的特征．
2．直角坐标系中关于某条直线对称的点的特征．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳直角坐标系中关于x轴、y轴对称的点的特征及关于某条直线对称的点的特征。
六、作业布置
《课时训练》p47—p48练习题
7、教学反思
13.3 等腰三角形
13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
教学设计
课题 13.3.1 第1课时 等腰三角形的性质 授课人
素养目标 教学目标 1.(2022新课标)理解等腰三角形的概念．2.(2022新课标)探索并证明等腰三角形的性质定理．3.(2022新课标)探索等腰三角形的轴对称性质．4.通过实践、观察、证明等腰三角形的性质的过程，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的信心. 核心素养 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
教学重点 理解并掌握等腰三角形的性质．
教学难点 经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、课堂导入
我们知道有两边相等的三角形叫等腰三角形,请同学们按下面的要求操作,如图，把一张长方形纸沿图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开铺平，得到的三角形是什么特殊三角形？它具有哪些性质？这就是本节课我们要研究的内容．
师生活动：教师演示折纸、剪纸的过程，学生观察所得三角形的形状，教师板书课题．
二、探究新知
探究点1 等腰三角形的性质
把导入中剪出的△ABC沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表：
等腰△ABC是不是轴对称图形？对称轴是什么？
等腰△ABC除两腰相等外，它的角有什么性质？
用语言描述等腰三角形的这条性质并给予证明.
已知：△ABC中，AB=AC.求证：∠B=∠C.
证明：如图，△ABC中，AB＝AC，作底边BC上的中线AD.
△BAD≌△CAD（SSS）
∠B＝∠C.
几何语言：∵ AC=AB（ 已知）∴ ∠B=∠C （等边对等角）
学生活动：学生经过观察，独立完成上表，然后小组讨论交流，从表中总结等腰三角形的性质.
归纳：性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；
等腰△ABC中，AD有几种角色？各是什么？用语言描述等腰三角形的这条性质并给予证明.
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”).
由△BAD≌△CAD，还可得出∠BAD=∠CAD,∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC.
用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.底边上的高平分顶角并且平分底边.这也就证明了性质2.
等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合，等腰三是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.
师生活动：学生充分讨论，根据所学的数学知识利用逻辑推理的方式进行证明，证明过程中注意学生表述的准确性和严谨性．
三、典例精析
例1 (教材第76页例1)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD.求△ABC各角的度数.
解∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD （等边对等角)
设∠A=,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=，
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=.
于是在△ABC中，有
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.
解得x=36°.
∴在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为x.
【变式训练】1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝BD，DA＝DC，求∠B的度数.
解：设∠B＝x°.
∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝x°.
∵DA＝DC，∴∠C＝∠DAC＝x°.
∴∠ADB＝∠C＋∠DAC＝2x°.
∵AB＝BD，∴∠ADB＝∠BAD＝2x°.
在△ABD中，∠B＝x°，∠ADB＝∠BAD＝2x°，
∴x°＋2x°＋2x°＝180°，
解得x°＝36°.∴∠B＝36°.
2.如图：△ABC中，AB＝AC，点E为线段BA延长线上一点，AD平分∠EAC.求证：AD∥BC.
证明：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD＝∠EAC.
∵∠EAC是△ABC的外角，
∴∠EAC＝∠B＋∠C.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∴∠B＝∠EAC.
∴∠EAD＝∠B
例2 如图，点D，E在△ABC的BC边上，AB＝AC，AD＝AE.求证：BD＝CE.
证明：如图，过点A作AP⊥BC于点P.
∵AB＝AC，∴BP＝PC.
∵AD＝AE，∴DP＝PE.
∴BP－DP＝PC－PE.
∴BD＝CE.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由教师完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p42练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.等边对等角；
2.等腰三角形的三线合一；
3.等腰三角形常用辅助线作法(作底边上的高、作底边上的中线、作顶角的平分线).
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳等腰三角形的性质。
六、作业布置
《课时训练》p49—p50练习题
七、教学反思
13.3.1 等腰三角形
第2课时 等腰三角形的判定
教学设计
课题 13.3.1 第2课时 等腰三角形的判定 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)探索并掌握等腰三角形的判定定理．2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．3．了解等腰三角形的尺规作图．4．(2022新课标)能用尺规作图：已知底边及底边上的高线作等腰三角形．5. 通过推理证明等腰三角形的判定方法的过程，发展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力. 核心素养 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
教学重点 掌握等腰三角形的判定定理及其推论．
教学难点 掌握等腰三角形判定定理的运用．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、课堂导入
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
学生思考，回答后教师提问：在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
学生猜想它们所对的边相等．即：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．
应该如何证明呢，让我们今天一起来学习这节课，相信学完这节课你也就会证明了.
二、探究新知
探究点 等腰三角形的判定
教师引导学生根据图形，写出已知、求证，并引导学生作出辅助线．
已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C.
求证：AB =AC．
学生相互探讨
①作高AD可以吗？
②作角平分线AD呢？
③作中线AD呢？
学生口头证明后，选择一种方法写出证明过程．
证明：过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
在△ABD与△ACD中，
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∴AB=AC.
归纳：通过论证，在△ABC中，若∠B＝∠C，则AB＝AC是真命题，即归纳等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即“等角对等边”．
几何语言：在△ABC中，∵∠B=∠C， ( 已知 )
∴ AC=AB. ( 等角对等边 )
∴△ABC为等腰三角形.
三、典例精析
例1 (教材第78页例2)求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
分析：引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明．
已知：如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，AD∥BC.
求证：AB＝AC.
证明：∵AD是△ABC的外角∠CAE的平分线(已知)，
∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．
∵AD∥BC(已知)，
∴∠1＝∠B(两直线平行，同位角相等)，∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)．
∴∠B＝∠C(等量代换)．
∴AB＝AC(等角对等边)．
即△ABC是等腰三角形.
【变式训练】1.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
证明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB边上的高，
∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰三角形．
方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
例2 (教材第78页例3)已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形．
解：1.作线段AB=a.
2.作线段AB的垂直平分线MN，交AB 于点D.
3.在MN上取一点C，使DC=h.
4.连接AC，BC，则△ABC即为所求
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p44练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
等腰三角形的判定方法：
(1)根据定义判定；
(2)两个角相等的三角形是等腰三角形．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳等腰三角形的判定。
六、作业布置
《课时训练》p51—p52练习题
七、教学反思
13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
教学设计
课题 13.3.2 第1课时 等边三角形的性质与判定 授课人
素养目标 教学目标 1．(2022新课标)掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质定理和判定定理．2．(2022新课标)探索等边三角形的轴对称性质．3．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．4．通过探索等边三角形的性质与判定的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力.会用数学的思维思考现实世界. 核心素养 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
教学重点 掌握等边三角形的定义、性质和判定，明确其与等腰三角形的区别和联系．
教学难点 能应用等边三角形的知识进行简单的计算和证明．
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、问题导入
在等腰三角形中，有一种特殊的等腰三角形，三条边都相等的三角形，我们把这样的三角形叫做等边三角形．那怎样判定一个三角形是等边三角形呢？
观察与讨论：如图，把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
学生回答：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，它是一种特殊的等腰三角形．
那等边三角形还有其他的性质吗？怎样判定一个三角形是等边三角形呢？今天我们来研究等边三角形的性质与判定.
二、探究新知
探究点1 等边三角形的性质
师生活动： 1．请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想。
2．你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的
等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到∠A＝∠B＝C，又由∠A＋∠B＋∠C＝180°，从而推出∠A＝∠B＝∠C＝60°。
上面的条件和结论如何叙述
已知：△ABC是等边三角形。
求证：∠A=∠B=∠C
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，BC=AB
∴∠A=∠B，∠A=∠C
∴∠A=∠B=∠C
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A=60°
∴∠A=∠B=∠C=60°
文字表述：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°
几何语言：在△ABC中，∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠B=∠C=60°
4.等边三角形是轴对称图形吗 如果是，有几条对称轴
等边三角形也称为正三角形。
探究点2 等边三角形的判定
1．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝BC＝CA吗？为什么？
已知：在△ABC中，∠A=∠B=∠C
求证：△ABC是等边三角形
证明：∵∠A=∠B，∠B=∠C，
∴BC=AC，AC=AB
∴AB=BC=AC
∴△ABC是等边三角形
等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
几何语言：在△ABC中，∵∠A=∠B=∠C∴△ABC是等边三角形
2．求证：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
在学生充分讨论的基础上，教师引导学生利用口头证明等方法，归纳等边三角形的判定方法：
已知：在△ABC中，AC=BC且∠A=60°
求证：△ABC是等边三角形
证明：∵AC=BC
∴∠A=∠B
又∵∠A=60°
∴∠B=60°，∠C=60°
∴△ABC是等边三角形
等边三角形的判定定理2：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。
几何语言：在△ABC中，∵BC=AC，∠A=60°，∴△ABC是等边三角形
三、典例精析
例1 (教材第80页例4)如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB和AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C.
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
∴∠A＝∠ADE＝∠AED
.∴△ADE是等边三角形．
思考：本题还有其他证法吗？
【变式训练】1.若点D、E在边AB、AC的延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C=60°.
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB.
∴∠A＝∠ADE＝∠AED.
∴△ADE是等边三角形．
2.若点D、E在边AB、AC的反向延长线上，且DE∥BC，结论还成立吗？
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C=60°.
∵DE∥BC，
∴∠D＝∠B，∠E＝∠C.
∴∠EAD＝∠D＝∠E.
∴△ADE是等边三角形．
3.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC.
在△ABP与△ACQ中，∵
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ
.∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
方法总结：用角判定一个三角形是等边三角形有两种方法：一是证明三角形三个内角相等；二是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
例2 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握．
【变式训练】1.如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)求证：DC＝CF.
解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°.
∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°.
∵DE⊥EF，∴∠DEF＝90°，
∴∠F＝180°－∠DEF－∠EDF＝180°－90°－60°＝30°.
(3) 证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°.
∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝60°
.∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°.
∴△DEC是等边三角形．
∴CE＝CD.
∵∠ECD＝∠F＋∠CEF，∠F＝30°，
∴∠CEF＝∠F＝30°.∴EC＝FC.
∴DC＝FC.
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p46练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1．等边三角形的定义；
2．等边三角形的性质；
3．等边三角形的判定方法．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳等边三角形的性质和判定方法。
六、作业布置
《课时训练》p53—p54练习题
七、教学反思
13.3.2 等边三角形
第2课时 含30°角的直角三角形的性质
教学设计
课题 13.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 授课人
素养目标 教学目标 1．探索、发现、猜想、证明直角三角形中有一个角为30°的性质．通过探究含30°角的直角三角形的性质的过程，增强学生对特殊直角三角形的认识，培养学生分析问题、解决问题的能力.2．掌握有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．3．会用发展变化的思维思考30°角相互转化的事实.体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性． 核心素养 几何直观 推理能力
模型观念 应用意识
教学重点 含30°角的直角三角形的性质的发现与运用.
教学难点 含有30°角的直角三角形的性质与其他知识的综合运用.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、问题导入
问题：我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？
思考：将两个大小相同的含30°角的三角尺摆放在一起，学生随意摆放，你能借助拼图找到直角尺的较短直角边与斜边之间的数量关系吗？
用你的30°角的直角三角尺，把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边角具有什么性质．
二、探究新知
探究点 含30°角的直角三角形的性质
1．将两个含30°角的三角尺按如图所示摆放在一起，观察并回答下面的问题：
(1) 判断△ABD的形状，依据是什么？
等边三角形，两斜边相等且底角都是60°.
(2) 线段BC与CD的大小有什么关系？为什么？
相等，它们都是原三角尺的直角边.
(3)线段BC与AB的大小有什么关系？为什么？你能归纳含30°角的直角三角形的性质吗？
师生活动：学生观察、思考、猜测、归纳结论．
归纳：含30°角的直角三角形的边角性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
2．问题：我们仅凭实际操作得出的结论还需证明吗？
在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．其条件和结论分别是什么？如何用数学符号来表达？如何证明？
师生活动：学生分析条件和结论，证明过程，教师指导、纠错．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC=AB．
证明1：在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，则∠B=60°．
延长BC至D，使CD=BC，连接AD
∵∠ACB=60°， ∴∠ACD=90°．
∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）．
∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）．
∴BC=BD=AB．
思考：你还能用其他方法证明吗？.
证明2：在△ABC 中，∵ ∠C =90°，∠A =30°，
∴ ∠B =60°．
延长BC 到D，使BD =AB，连接AD，
则△ABD 是等边三角形．
由等边三角形的性质可知，
AC 也是BD 边上的中线，
∴ BC = BD = AB ．
几何语言：∵ 在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，∴ BC = AB．
2．思考：该性质适用范围是什么？
直角三角形
运用该性质可求什么？
计算和证明线段的倍分，揭示了30°角直角三角形中边的数量关系的特殊性.
逆命题成立吗？
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.(请同学们课后验证)
三、典例精析
例1 (教材第81页例5)如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°.立柱BC，DE要多长．
解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°，
∴BC＝AB，DE＝AD.
∴BC＝×7.4＝3.7(m)．
又∵AD＝AB，
∴DE＝AD＝×3.7＝1.85(m)．
答：立柱BC的长是3.7 m，DE的长是1.85 m.
【变式训练】1.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？
解：如图所示，作BD⊥CA于D点．
∵∠BAC＝150°，
∴∠DAB＝30°.
∵AB＝40m，
∴BD＝AB＝20m，
∴S△ABC＝×50×20＝500(m2)．
已知这种草皮每平方米a元，所以一共需要500a元．
方法总结：解此题的关键在于作出CA边上的高，根据相关的性质推出高BD的长度，正确的计算出△ABC的面积．
2.上午8时，一条船从港口A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，10时到达海岛B处，从A，B两处望灯塔C，分别测得∠NAC＝15°，∠NBC＝30°.若该船从海岛B继续向正北航行，求船与灯塔C的最短距离．
解：根据题意得，AB＝15×2＝30(海里)，
当船行驶到D点时，与灯塔的距离最短，即为CD的长度，
∵∠NAC＝15°，∠NBC＝30°，∴∠ACB＝15°.
∴BC＝AB＝30(海里)．
∴CD＝BC＝15(海里)．
∴船与灯塔C的最短距离15海里．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p48练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.掌握含30°角的直角三角形的边角性质．
2.会用含30°角的直角三角形的性质证明简单的线段倍分问题．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳含30°角的直角三角形的边角性质。
六、作业布置
《课时训练》p55—p56练习题
七、教学反思
13.3.2 等边三角形
13.4 课题学习 最短路径问题
教学设计
课题 13.4 课题学习 最短路径问题 授课人
素养目标 教学目标 1.通过对最短路径问题的探索，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段最短的性质.2.运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力，掌握探索最短路径问题的思想方法.3.在数学学习活动中获得成功的体验，树立自信心，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与现实生活的密切联系.体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性． 核心素养 几何直观 空间观念
模型观念 应用意识
教学重点 运用所学知识解决最短路径问题.
教学难点 选择合适的方法解决问题.
授课类型 新授课 课时 1
教学过程
一、情境导入
如图，连接A，B两点的所有线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短.
如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
PC最短，因为垂线段最短.
前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题. 同学们通过讨论下面两个问题，可以体会如何运用所学知识选择最短路径.
二、探究新知
探究点1 运用“垂线段最短”解决最短路径问题
（将军饮马问题）如图，牧马人从草场A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后回到帐篷B 地．问：到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
思考：这是一个实际问题，你打算首先做什么？你能用自己的语言解释这个题的意思吗？能把它抽象为数学问题吗？
(1)将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线；
(2)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；
(3)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
(4)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图).
思考：对于问题1，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？
思考：能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？
教师讲解作法：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？
作法：
(1)作点B关于直线l的对称点B′；
(2)连接AB′，与直线l相交于点C.则点C即为所求．
问题2 你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？
证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，
BC＝B′C，BC′＝B′C′.
∴AC ＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.
在△AB′C′中， AB′＜AC′＋B′C′，
∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′.即 AC ＋BC 最短．
师生活动：教师先让学生分组讨论，分析问题，解决问题，对有疑问的地方教师适时引导，最后共同总结．
探究点2 运用“两点之间，线段最短”解决最短路径问题
仿照上面分析问题的方法，你能解决下面的问题吗？
(造桥选址问题)如下图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河岸上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)
把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.
把上面的问题抽象为数学问题：如图，直线a∥b，N为直线b上的一个动点，MN⊥b，交直线a于点M，当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？
由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋BN最小时，AM＋MN＋NB最小．这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？
思考：我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
学生讨论后回答:有如下方案：
①把A平移到岸边.
学生做图后回答：AM+MN+BN长度改变了.
2.把B平移到岸边.
学生做图后回答：AM+MN+BN长度改变了.
3.把桥平移到和A相连.
4.把桥平移到和B相连.
AM+MN+BN长度有没有改变呢？师生共同讨论后解答.
如图，平移A到A1，使AA1等于河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN，此时路径AM+MN+BN最短.
理由:另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.
由平移性质可知，AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1.
AM+MN+BN转化为AA1＋A1B，而AM1 +M1N1+BN1转化为AA1＋A1N1+BN1.
在△A1N1B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此AM1 +M1N1+BN1 ＞ AM+MN+BN.
如何说明这种做法是正确的呢？
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,
所以A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
∴AC+CE+MN＞AE+MN,
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
故桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.
总结：解决最短路径问题的方法：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把未知问题转化为以解决的问题，从而做出最短路径的选择.
三、典例精析
例1 如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM＋PN最短，则点P应选在(C)
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【变式训练】1.如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
(1)若要使厂址到A，B两村的距离相等，则应选择在哪建厂(要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明)
(2)若要使厂址到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
解：(1)作出AB的垂直平分线与EF的交点M，交点M即为厂址所在位置.
(2)如图所示：作A点关于直线EF的对称点A′，再连接A′B交EF于点N，点N即为所求．
例2 如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥(桥与河的两岸相互垂直)，桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由．
解：如图所示．
理由：由作图过程可知，四边形ADCA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．
师生活动：学生先独立思考，然后分小组讨论，教师巡堂并及时给予指导和帮助，最后由师生共同完成解答．
四、随堂检测
《随堂检测》p50练习题
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．
五、课堂小结
1.将军饮马.
2.造桥选址．
教学说明：教师提问并引导学生总结归纳将军饮马和造桥选址问题.
六、作业布置
《课时训练》p57—p58练习题
七、教学反思
E
A
B
C