2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市萧红中学九年级上学期数学开学测试卷（PDF版 含答案）

自信来自于实力 实力来自于努力
2024-2025 萧红中学九年级（上）·暑假作业验收·数学
考试时长：120 分钟 试卷满分：120 分
提 示：请将答案作答在题卡上，否则无效。
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1.下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
x 1A. +2y =1 ax2B. +bx + c = 0 C.3x + = 4 D. x2 - 2 = 0
x
2.下列各曲线中表示 y 是 x 的函数的是（ ）
A. B. C. D.
3.在下列长度的各组线段中，不能构成直角三角形的是（ ）
A.3，4，5 B.7，24，25 C.1，1， 2 D. 3, 5, 6
4.在□ABCD 中，∠A 比∠B 大 30°，则∠D的度数为（ ）
A.120° B.105° C.100° D.75°
5.一次函数 y=-x+3 的图象经过 （ ）象限
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
6.顺次连接矩形四边中点得到的四边形一定是（ ）
A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形
7.某商场根据市场信息，对商场中现有空调进行两次提价，提价后的价格为提价前
的 121％，则平均每次提价的百分数为（ ）
A.8％ B.10％ C.12％ D.20％
8.如图，在正方形 ABCD 外侧作等边三角形△CDE，则∠AED 的度数为（ ）
A.10° B.12.5° C.15° D.20°
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9.给出以下四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③
对角线互相垂直的矩形是正方形；④菱形对角线的平方和等于边长平方的 4 倍．其中真命题有
（ ）个
A.0 B.1 C.2 D.3
10.如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E在对角线 BD 上,EM//AD,交 AB 于点 M,EN//AB,交 AD 于点 N，
则下列式子一定正确的是（ ）
AM NE AM AN BC BE BD BC
A. B. C. D.
BM DE AB AD ME BD BE ME
二、填空题（每小题3分，共30分）
11.函数y x 1中，自变量 x的取值范围是 ．
2
12.方程 x = 2的根是 ．
13.一次函数 y (2m 6)x 5中，y随 x增大而减小，则 m的取值范围是 ．
14.已知关于 x 的一元二次方程 kx 2 2x 1 0 有两个相等的实数根，则实数 k 的值
是 ．
15.如下图，已知 OA=OB，BC⊥AC 于 C, C 对应的数是-2 ,AC=1,那么数轴上点 B 所表示的数
是 ．
16.已知直角三角形的两边长分别为 5 和 12，则其斜边长为 ．
17.如图，一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交于点（4,0），与 y 轴交于点（0,2），则不等式 kx+b>0
的解集为 ．
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18.如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC、BD 相交于点 O，DH⊥AB 于点 H,连接 OH，∠CAD=35°，
则∠HOB 的度数为 ．
第 18 题图 第 20 题图
19.△ABC 中，∠ABC=30°，AB= 2 3，AC=2，则 BC= ．
20.如图，正方形 ABCD 中，点 E在 AD 上，点 F 在 AC 上，∠BFE＝90°，连接 BE 交 AC 于点 G，
若 AG＝24，CG＝32，则 GF 的长是 ．
三、解答题（21-22 题各 7 分，23-24 题各 8 分，25-27 题各 10 分，共 60 分）
21.解方程：x（2x﹣4）＝5﹣8x．
22.图 1，图 2 中的小正方形的边长均为 1，线段 AB，EF 的端点 A，B，E，F 均在小正方形的顶
点上．
（1）在图 1中画出一个以线段 AB 为边的平行四边形 ABCD，点 C，D 均在小正方形的顶点上，且
平行四边形 ABCD 的面积为 8；
（2）在图 2 中画出以线段 EF 为边的菱形 EFGH，点 G，H 均在小正方形的顶点上，且菱形 EFGH
的面积为 8，连接 FH，直接写出 FH 的长．
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23.某种机器工作前先将空油箱加满，然后停止加油立即开始工作．当停止工作时，油箱中油量
为 5L，在整个过程中，油箱里的油量 y（单位：L）与时间 x（单位：min）之间的关系如图所示．
（1）填空：机器每分钟加油量为 L，机器工作的过程中每分钟耗油量为 L；
（2）求机器工作时 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围．
24.如图，点 C 是 BE 的中点，四边形 ABCD 是平行四边形．
（1）求证：四边形 ACED 是平行四边形；
（2）如果 AB＝AE，求证：四边形 ACED 是矩形．
25.华昌中学开学初在金利源商场购进 A、B 两种品牌的足球。购买 A 品牌足球花费了 2500 元，
购买 B 品牌足球花费了 2000 元，且购买 A 品牌足球数量是购买 B 品牌足球数量的 2 倍．已知购
买一个 B 品牌足球比购买一个 A 品牌足球多花 30 元．
（1）求购买一个 A 品牌、一个 B 品牌的足球各需多少元；
（2）华昌中学为响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进 A、B 两种品牌足球共 50
个,恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整.A品牌足球售价比第一次购买时提高了8％，
B品牌足球按第一次购买时售价的 9 折出售．如果这所中学此次购买 A、B 两种品牌足球的总费
用不超过 3260 元,那么华昌中学此次最多可购买多少个 B 品牌足球
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26.综合与实践：
【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图 1，在矩形 ABCD 中，E 是边 AB
上一点，DF⊥CE 于点 F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG＝CF，试猜想四边形 ABCD 的形状，并说明理由；
【实践探究】（2）小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图 2，在正方形 ABCD 中，
E 是边 AB 上一点，DF⊥CE 于点 F，AH⊥CE 于点 H，GD⊥DF 交 AH 于点 G，可以用等式表示线段
FH，AH，CF 的数量关系，请你思考并解答这个问题；
【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图 3，在正
方形 ABCD 中，E 是边 AB 上一点，AH⊥CE 于点 H，点 M在 CH 上，且 AH＝HM，连接 AM，BH，可以
用等式表示线段 CM，BH 的数量关系，请你思考并解答这个问题．
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27.已知：在平面直角坐标系中，直线 AC 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴于点 C，直线 AC 的解析
式为 y＝ x+b（b＞0），经过点 C的直线交 x轴正半轴于点 B，OB＝OC，AC＝ ．
（1）如图 1，求直线 BC 的解析式；
（2）如图 2，点 H 在 OB 上，过点 H 作 x 轴的垂线，交 BC 于点 F，点 E 在 OC 上，连接 AE 并延
长交直线 FH 于点 D，OE＝BH，设直线 AE 的解析式为 y＝ x+5﹣t（0＜t＜5），线段 DF 的长
为 d，求 d与 t的函数解析式；
（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 CD 并延长至点 M，连接 EM，∠CME＝45°，过点 D 作 x
轴的平行线，交 EM 延长线于点 N，直线 BN 解析式为 y＝3x﹣15，求点 N 的坐标．
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1 2 3 4 5
D D D D B
6 7 8 9 10
C B C C D
11 12 13 14 15
x≥1 m＜3 -1
x1= 2 ，x2= 2 5
16 17 18 19 20
12 或 13 x＜4 70° 4 或 2 25
21.方程化为 2x2+4x﹣5＝0，
a 2 2＝2，b＝4，c＝﹣5， Δ＝b ﹣4ac＝4 ﹣4×2×（﹣5）＝56＞0，
方程有两个不等的实数根，
∴ ，
2 14
即 ， x2 2
22.（1）如图，四边形 ABCD 即为所求；
（2）如图，四边形 EFGH 即为所求．FH＝ ＝4 ．
23.（1）由图象可得，
机器每分钟加油量为：30÷10＝3（L），
机器工作的过程中每分钟耗油量为：（30﹣5）÷（60﹣10）＝0.5（L），
故答案为：3，0.5；
（2）当 10＜x≤60 时，设 y 关于 x 的函数解析式为 y＝kx+b，
有图象可得： ，解得： ， ∴y＝﹣0.5x+35，
即机器工作时 y关于 x 的函数解析式为 y＝﹣0.5x+35（10＜x≤60）．
24.（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，且 AD＝BC．
∵点 C是 BE 的中点，∴BC＝CE，∴AD＝CE，
∵AD∥CE，∴四边形 ACED 是平行四边形；
（2）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB＝DC，
∵AB＝AE，∴DC＝AE，∵四边形 ACED 是平行四边形 ∴四边形 ACED 是矩形．
25.(1)解:设购买一个 A 品牌足球 x 元,则购买一个 B品牌足球(x+30)元
2500 2000
根据题意得 2 -----------------------2 分
x x 30
解得 x=50-------------------1 分
经检验 x=50 是原方程的解-------------------1 分
x+30=80-------------------1 分
答:购买一个 A 品牌足球需 50 元,购买一个 B 品牌足球需 80 元.
(2)解:设本次购进 a个 B品牌足球,则购进 A 品牌足球(50-a)个
根据题意得 50x(1+8%)(50-a)+80x0.9a≤ 3260--------------2 分
a 311解得 --------------1 分
9
∵a 取正整数--------------1 分 ∴a 最大值为 31
答:此次华昌中学最多可购买 31 个 B 品牌足球--------------1 分
26.解：（1）四边形 ABCD 是正方形，
理由：∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ADC＝90°，
∵GD⊥DF，∴∠FDG＝90°，∴∠ADG＝∠CDF，
又∵AG＝CF，∠G＝∠DFC＝90°，∴△ADG≌△CDF（AAS），
∴AD＝CD，∴四边形 ABCD 是正方形；
（2）HF＝AH+CF，
理由：∵DF⊥CE 于点 F，AH⊥CE 于点 H，GD⊥DF 交 AH 于点 G，
∴四边形 HFDG 是矩形，
∴∠G＝∠DFC＝90°，
∵四边形 ABCD 是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDF，∴△ADG≌△CDF（AAS），
∴AG＝CF，DG＝DF，∴矩形 HFDG 是正方形，
∴HG＝HF＝AH+AG＝AH+CF；
（3）连接 AC，
∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠BAC＝45°，
∵AH⊥CE，AH＝HM，
∴△AHM 是等腰直角三角形，
∴∠HAM＝45°，∴∠HAB＝∠MAC，
= = 2∵ ，
2
∴△AHB∽△AMC，
= = 2∴ ，
2
= 2即 BH CM．
2
27.（1）当 x＝0 时， ，∴C（0，b），∴OC＝b，
当 y＝0 时， ，解得， ，∴ ，∴ ，
在 Rt△AOC 中，∠AOC＝90°，OA2+OC2＝AC2，
∴ ，解得：b＝5．∴C（0，5），A（﹣2，0）．
∵OB＝OC，∴OB＝5．∴B（5，0），
设直线 BC 的解析式为 y＝kx+a（k≠0），
∴ ，解得：k＝﹣1，a＝5． ∴直线 BC 的解析式为：y＝﹣x+5；
（2）当 y＝0 时， ∴OE＝5﹣t，∴BH＝OE＝5﹣t，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵DH⊥x 轴，∴∠OHF＝90°，∴∠HFB＝45°，∴∠HFB＝∠OBC，
∴FH＝BH＝5﹣t，∴OH＝OB﹣OH＝5﹣（5﹣t）＝t，∴点 D 的横坐标为 t，
∴点 D的纵坐标为 ，
∴ ，
∴ ；
（3）过点 C 作 CK⊥CM，连接 FE 并延长交 CK 于点 K，连接 DK，
过点 C作 CL⊥HD 交 HD 的延长线于 L，
∵OE∥FH，OE＝FH，∴四边形 EOHF 为矩形．∴EF∥x轴．
∵DN∥x 轴，∴DN∥FK，
∵四边形 EOHF 为矩形，∴∠CEF＝90°，∠EFL＝90°，
∵∠L＝90°，∴四边形 CEFL 为矩形，
∵∠OCB＝45°，∴∠EFC＝90°﹣45°＝45°∴∠OCB＝∠EFC，
∴CE＝EF，∴四边形 CEFL 为正方形，∴CE＝CL，∠ECL＝90°，
∵CK⊥CM，∴∠KCD＝90°，∴∠KCD＝∠ECL，
∴∠KCD﹣∠ECD＝∠ECL﹣∠ECD，即∠KCE＝∠DCL，
∵∠L＝∠CEK，∴△CEK≌△CLD（ASA），∴CK＝CD，KE＝DL，
∴∠CKD＝∠CDK＝（180°﹣90°）÷2＝45°，
∵∠CME＝45°，∴∠CME＝∠CDK，∴DK∥NE，
又∵DN∥KE，∴四边形 KEND 为平行四边形，∴DN＝KE，∴DN＝DL，
∵由（2）知 ，DN∥x 轴，
∴点 N的纵坐标为 ，
∵直线 BC 的解析式为 y＝3x﹣15， ，
解得： ，
∴ ，
∵LH＝CO＝5， ，
∴ ，
∴ ，
解得：t1＝4， （不合题意，舍去），
∴N（6，3）．