三角形的高、中线与角平分线 三角形的稳定性
【A层 基础夯实】
知识点1 高的识别与性质
1.(易错警示题·概念不清)如图,作△ABC的边BC上的高,正确的是 (A)
2.下列说法中,正确的是 (C)
A.三角形的三条高都在三角形内
B.直角三角形只有一条高
C.锐角三角形的三条高都在三角形内
D.三角形每一边上的高都小于三角形的边长
3.如图所示,在△ABC中,BC边上的高是 AF ,AB边上的高是 CE ;在△BCE中,BE边上的高是 CE ,EC边上的高是 BE ;在△ACD中,AC边上的高是 CD ;CD边上的高是 AC .
知识点2 中线的应用
4.三角形的重心是三角形的 (D)
A.三条角平分线的交点
B.三条垂直平分线的交点
C.三条高线的交点
D.三条中线的交点
5.如图,AD是△ABC的中线,△ABD的面积等于2,则△ABC的面积等于 (C)
A.8 B.6 C.4 D.2
知识点3 角平分线
6.如图所示,AD是△ABC的角平分线,AE是△ABD的角平分线.若∠BAC=80°,则∠EAD的度数是 (A)
A.20° B.30° C.45° D.60°
7.如图,在△ABC中,AD,CE是△ABC的角平分线,∠BAC=60°,∠ACE=40°,则∠DAC= 30 °,∠BCE= 40 °,∠ACB= 80 °.
知识点4 三角形的稳定性
8.下列图形中具有稳定性的是 (A)
【B层 能力进阶】
9.(2024·南宁期中)如图,CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平分线、中线,则下列各式中错误的是 (C)
A.AB=2BF B.∠ACE=∠ACB
C.AE=BE D.CD⊥BE
10.如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,BG的延长线交AC于点E,F为AB上的一点,CF与AD垂直,交AD于点H,则下面说法正确的有 (B)
①AD是△ABE的角平分线;
②BE是△ABD的边AD上的中线;
③CH是△ACD的边AD上的高;
④AH是△ACF的角平分线和高.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.如图,AD为△ABC的中线,△ABD的周长为23,△ACD的周长为18,AB>AC,则AB-AC为 5 .
12.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别是(0,1),(1,3),(4,3).
(1)作出△ABC的高AD,△ABC的中线BE;
【解析】(1)如图所示,线段AD,线段BE即为所求;
(2)求△ABC的面积;
【解析】(2)S△ABC=×3×2=3;
(3)把△ABC先向左平移4个单位长度,再向下平移5个单位长度,得△A'B'C',画出△A'B'C'.
【解析】(3)△A'B'C'如图所示.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力、模型观念)
如图,在△ABC中(AC>AB),AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分,求AC和AB的长.
【解析】∵AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分,
∴设AB=x,BC=y,则AC=2BC=2y,
BD=DC=,
∵AC>AB,
∴AC+DC>AB+BD,
∴2y+y=60,x+y=40,
解得y=24,x=28,
AC=2BC=2y=48.
故AC的长为48,AB的长为28.三角形的高、中线与角平分线 三角形的稳定性
【A层 基础夯实】
知识点1 高的识别与性质
1.(易错警示题·概念不清)如图,作△ABC的边BC上的高,正确的是 ( )
2.下列说法中,正确的是 ( )
A.三角形的三条高都在三角形内
B.直角三角形只有一条高
C.锐角三角形的三条高都在三角形内
D.三角形每一边上的高都小于三角形的边长
3.如图所示,在△ABC中,BC边上的高是 ,AB边上的高是 ;在△BCE中,BE边上的高是 ,EC边上的高是 ;在△ACD中,AC边上的高是 ;CD边上的高是 .
知识点2 中线的应用
4.三角形的重心是三角形的 ( )
A.三条角平分线的交点
B.三条垂直平分线的交点
C.三条高线的交点
D.三条中线的交点
5.如图,AD是△ABC的中线,△ABD的面积等于2,则△ABC的面积等于 ( )
A.8 B.6 C.4 D.2
知识点3 角平分线
6.如图所示,AD是△ABC的角平分线,AE是△ABD的角平分线.若∠BAC=80°,则∠EAD的度数是 ( )
A.20° B.30° C.45° D.60°
7.如图,在△ABC中,AD,CE是△ABC的角平分线,∠BAC=60°,∠ACE=40°,则∠DAC= °,∠BCE= °,∠ACB= °.
知识点4 三角形的稳定性
8.下列图形中具有稳定性的是 ( )
【B层 能力进阶】
9.(2024·南宁期中)如图,CD,CE,CF分别是△ABC的高、角平分线、中线,则下列各式中错误的是 ( )
A.AB=2BF B.∠ACE=∠ACB
C.AE=BE D.CD⊥BE
10.如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,BG的延长线交AC于点E,F为AB上的一点,CF与AD垂直,交AD于点H,则下面说法正确的有 ( )
①AD是△ABE的角平分线;
②BE是△ABD的边AD上的中线;
③CH是△ACD的边AD上的高;
④AH是△ACF的角平分线和高.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.如图,AD为△ABC的中线,△ABD的周长为23,△ACD的周长为18,AB>AC,则AB-AC为 .
12.如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别是(0,1),(1,3),(4,3).
(1)作出△ABC的高AD,△ABC的中线BE;
(2)求△ABC的面积;
(3)把△ABC先向左平移4个单位长度,再向下平移5个单位长度,得△A'B'C',画出△A'B'C'.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力、模型观念)
如图,在△ABC中(AC>AB),AC=2BC,BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分,求AC和AB的长.
