三角形的内角
【A层 基础夯实】
知识点1 三角形的内角和
1.(2024·天津期中)如图,在△ABC中,∠A的度数是 (A)
A.60° B.40° C.30° D.20°
2.在△ABC中,若∠A=55°,∠B比∠C大25°,则∠B的度数等于 (D)
A.55° B.65° C.70° D.75°
知识点2 直角三角形的性质与判定
3.(2022·贺州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=56°,则∠A的度数为 (A)
A.34° B.44° C.124° D.134°
4.(2024·广州期中)给定下列条件,不能判定三角形是直角三角形的是 (D)
A.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
B.∠A+∠B=∠C
C.∠A=∠B=∠C
D.∠A=2∠B=3∠C
知识点3 三角形的内角和与平行线相结合
5.如图,在△ABC中,∠A=57°,∠B=40°,DE∥BC,则∠AED的度数为 83 °.
6.如图所示,在△ABC中,∠A=80°,∠B=30°,CD平分∠ACB,DE∥AC,求∠DEB和∠EDC的度数.
【解析】∵在△ABC中,∠A=80°,∠B=30°,
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=70°,
∵DE∥AC,∴∠DEB=∠ACB=70°.
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠ACB=35°.
∵DE∥AC,∴∠EDC=∠ACD=35°.
知识点4 三角形的内角和与重要线段相结合
7.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,若∠A=70°,则∠BOC的度数为 (A)
A.125° B.130° C.135° D.140°
8.(2024·昆明期中)如图,在△ABC中,AD是角平分线,∠B=54°,∠C=76°.
(1)求∠BAD的度数;
【解析】(1)∵∠B=54°,∠C=76°,∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-54°-76°=50°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠DAC=∠BAC=25°;
(2)若DE⊥AC,求∠EDC的度数.
【解析】(2)∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°,
在△DCE中,∠EDC+∠C=90°,
∴∠EDC=90°-∠C=14°.
【B层 能力进阶】
9.(2023·恩施中考)将含60°角的直角三角板按如图方式摆放,已知m∥n,∠1=20°,则∠2=(A)
A.40° B.30° C.20° D.15°
10.在探究证明“三角形的内角和是180°”时,综合实践小组的同学作了如下四种辅助线,其中不能证明“三角形内角和是180°”的是 (C)
11.(易错警示题·概念不清)(2022·哈尔滨中考)在△ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,则∠BAC= 80°或40° .
12.如图,AD为△ABC的高,BE为△ABC的角平分线,若∠EBA=34°,∠AEB=71°.
(1)求∠CAD的度数;
【解析】(1)∵BE为△ABC的角平分线,
∴∠CBE=∠EBA=34°,
∵∠AEB=71°,∴∠BEC=180°-∠AEB=109°,∴∠C=180°-109°-34°=37°,
∵AD为△ABC的高,∴∠ADC=90°,
∴∠CAD=90°-∠C=53°;
(2)若点F为线段BC上任意一点,当△EFC为直角三角形时,求∠BEF的度数.
【解析】(2)当∠EFC=90°时,∠BEF=90°-∠CBE=90°-34°=56°,
当∠FEC=90°时,∵∠BEC=109°,∴∠BEF=∠BEC-∠FEC=109°-90°=19°,
综上所述,∠BEF=56°或19°.
13.如图①,我们知道,光线射向一个平面镜被反射后,两条光线与平面镜的夹角相等(∠1=∠2).如图②,光线照射到平面镜甲上,会反射到平面镜乙,然后光线又会射到平面镜甲上,….若∠α=55°,∠γ=75°,求∠β的度数.
【解析】本题考查三角形的内角和定理,由定理得到∠4的度数,再结合平角的定义求解.
如图,由题意知:∠α=∠1=55°,∠β=∠2,∠γ=∠3=75°,
∵∠1+∠3+∠4=180°,∴∠4=50°.
∵∠2+∠4+∠β=180°,∴∠β=65°.
答:∠β的度数为65°.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力、模型观念)
(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”,请说明∠A+∠B=∠C+∠D;
(2)如图2,AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,
①图2中共有 个“8字形”;
②若∠ABC=80°,∠ADC=36°,求∠P的度数;(提醒:解决此问题你可以利用图1的结论或其他方法)
③猜想图2中∠P与∠B+∠D的数量关系,并说明理由.
【解析】(1)在△AEB中,∠AEB=180°-∠A-∠B,在△DEC中,∠DEC=180°-∠D-∠C,
∵∠AEB=∠DEC(对顶角相等),
∴180°-∠A-∠B=180°-∠D-∠C,
∴∠A+∠B=∠D+∠C.
【解析】(2)①交点有点M,N各有1个,交点O有4个,所以,“8字形”图形共有6个.
答案:6
②∵∠ABC=80°,∠ADC=36°,
∴∠OAB+80°=∠DCO+36°,
∴∠DCO-∠BAO=44°,
∵AP,CP分别是∠DAB和∠BCD的平分线,
∴∠DAM=∠DAB,∠PCD=∠PCM=∠OCD,
又∵∠DAM+∠P=∠PCD+∠ADC,
∴∠P=∠PCD+∠ADC-∠DAM
=(∠DCO-∠BAO)+∠ADC
=×44°+36°=58°;
③2∠P=∠B+∠D.理由如下:
根据“8字形”数量关系,∠OAB+∠B=∠OCD+∠D,∠BAM+∠B=∠PCM+∠P,所以∠OCD-∠OAB=∠B-∠D,∠PCM-∠BAM=∠B-∠P,
∵AP,CP分别是∠DAB和∠BCD的平分线,
∴∠BAM=∠OAB,∠PCM=∠OCD,
∴(∠B-∠D)=∠B-∠P,
整理得,2∠P=∠B+∠D. 三角形的内角
【A层 基础夯实】
知识点1 三角形的内角和
1.(2024·天津期中)如图,在△ABC中,∠A的度数是 ( )
A.60° B.40° C.30° D.20°
2.在△ABC中,若∠A=55°,∠B比∠C大25°,则∠B的度数等于 ( )
A.55° B.65° C.70° D.75°
知识点2 直角三角形的性质与判定
3.(2022·贺州中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=56°,则∠A的度数为 ( )
A.34° B.44° C.124° D.134°
4.(2024·广州期中)给定下列条件,不能判定三角形是直角三角形的是 ( )
A.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
B.∠A+∠B=∠C
C.∠A=∠B=∠C
D.∠A=2∠B=3∠C
知识点3 三角形的内角和与平行线相结合
5.如图,在△ABC中,∠A=57°,∠B=40°,DE∥BC,则∠AED的度数为 °.
6.如图所示,在△ABC中,∠A=80°,∠B=30°,CD平分∠ACB,DE∥AC,求∠DEB和∠EDC的度数.
知识点4 三角形的内角和与重要线段相结合
7.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,若∠A=70°,则∠BOC的度数为 ( )
A.125° B.130° C.135° D.140°
8.(2024·昆明期中)如图,在△ABC中,AD是角平分线,∠B=54°,∠C=76°.
(1)求∠BAD的度数;
(2)若DE⊥AC,求∠EDC的度数.
【B层 能力进阶】
9.(2023·恩施中考)将含60°角的直角三角板按如图方式摆放,已知m∥n,∠1=20°,则∠2=( )
A.40° B.30° C.20° D.15°
10.在探究证明“三角形的内角和是180°”时,综合实践小组的同学作了如下四种辅助线,其中不能证明“三角形内角和是180°”的是 ( )
11.(易错警示题·概念不清)(2022·哈尔滨中考)在△ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,则∠BAC= .
12.如图,AD为△ABC的高,BE为△ABC的角平分线,若∠EBA=34°,∠AEB=71°.
(1)求∠CAD的度数;
(2)若点F为线段BC上任意一点,当△EFC为直角三角形时,求∠BEF的度数.
13.如图①,我们知道,光线射向一个平面镜被反射后,两条光线与平面镜的夹角相等(∠1=∠2).如图②,光线照射到平面镜甲上,会反射到平面镜乙,然后光线又会射到平面镜甲上,….若∠α=55°,∠γ=75°,求∠β的度数.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(几何直观、推理能力、模型观念)
(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”,请说明∠A+∠B=∠C+∠D;
(2)如图2,AB∥CD,AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,
①图2中共有 个“8字形”;
②若∠ABC=80°,∠ADC=36°,求∠P的度数;(提醒:解决此问题你可以利用图1的结论或其他方法)
③猜想图2中∠P与∠B+∠D的数量关系,并说明理由.
