多边形及其内角和
【A层 基础夯实】
知识点1 多边形的定义及有关概念
1.如图所示的图形中,属于多边形的有 (A)
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)将一个长方形剪去一个角,则剩下的多边形为 (D)
A.五边形
B.四边形或五边形
C.三角形或五边形
D.三角形或四边形或五边形
3.五边形的对角线的条数是 (C)
A.2 B.3 C.5 D.10
知识点2 多边形的内角和与外角和
4.八边形的内角和为 (B)
A.1 440° B.1 080° C.1 260° D.900°
5.多边形内角和为1 800°,那么从这个多边形的一个顶点引出的对角线条数是 (C)
A.12 B.10 C.9 D.8
6.若一个多边形的每个内角都相等,且内角和为1 440°,该多边形的一个外角是 (D)
A.60° B.45° C.40° D.36°
7.如图,一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD,其中∠BAD=150°,∠B=∠D=40°.则∠BCD= 130° .
8.一个多边形的内角和与外角和相等,它的边数为 4 .
9.已知一个多边形的边数为n.
(1)若n=5,求这个多边形的内角和.
【解析】(1)当n=5时,(5-2)×180°=540°.
∴这个多边形的内角和为540°.
(2)若这个多边形的内角和的比一个四边形的内角和多90°,求n的值.
【解析】(2)由题意,得×(n-2)×180°-360°=90°,解得n=12.∴n的值为12.
10.如图所示,在四边形ABCD中,已知∠A=∠C=90°,BE平分∠ABC交CD于点E,DF平分∠ADC交AB于点F.
(1)求证:∠ABC+∠ADC=180°;
【证明】(1)在四边形ABCD中,∠A+∠C+∠ABC+∠ADC=360°,∠A=∠C=90°,
∴∠ABC+∠ADC=360°-90°-90°=180°.
(2)求证:BE∥DF.
【证明】(2)∵BE平分∠ABC交CD于点E,DF平分∠ADC交AB于点F,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠1+∠3=90°,
∵在△ADF中,∠5+∠3=90°,
∴∠1=∠5,
∴BE∥DF.
【B层 能力进阶】
11.下列说法正确的是 (D)
A.五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形是正五边形
B.正六边形各内角都相等,所以各内角都相等的六边形是正六边形
C.从n边形的一个顶点出发可以引(n-2)条对角线
D.n边形共有条对角线
12.如图,以正方形ABCD的边CD向外作正五边形CDEFG,则∠ADE的度数为 (B)
A.172° B.162° C.152° D.150°
13.如图,∠1,∠2,∠3是五边形ABCDE的三个外角,边AE,CD的延长线相交于点F,如果∠F=α,那么∠1+∠2+∠3的度数为 (D)
A.270°-α B.360°-α C.90°+α D.180°+α
14.如图,小亮从A点出发,沿直线前进20米后向左转30度,再沿直线前进20米,又向左转30度,继续沿直线前进20米……照这样走下去,他第一次回到出发点A点时,一共走了 240 米.
15.(2024·石家庄质检)已知一个多边形纸片的内角和比外角和多540°.
(1)求这个多边形的边数;
【解析】(1)设这个多边形的边数为n,
则(n-2)×180°=360°+540°,
故n=7;
(2)将此多边形截去一个角,直接写出它的边数与外角和;
【解析】(2)由将此多边形截去一个角,
得多边形边数变为6或7或8,
外角和都是360°;
(3)若这个多边形是正多边形,通过计算说明:每个内角比相邻的外角大还是小 大或小多少度
【解析】(3)若这个七边形是正多边形,
则每个外角为()°,
故每个内角为180°-()°=()°,
()°-()°=()°,
故每个内角比相邻的外角大,大()°.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(模型观念、空间观念、推理能力)
(1)已知:如图1,P为△ADC内一点,DP,CP分别平分∠ADC和∠ACD.如果∠A=50°,那么∠P= ;如果∠A=100°,那么∠P= .(直接写出答案,不必说明理由)
(2)如图2,P为四边形ABCD内一点,DP,CP分别平分∠ADC和∠BCD,请直接写出∠P与∠A+∠B的数量关系: .(直接写出答案,不必说明理由)
(3)如图3,P为五边形ABCDE内一点;DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,试探究∠P与∠A+∠B+∠E的数量关系,并说明理由.
【解析】本题考查三角形的外角性质,三角形的内角和定理,多边形的内角和公式,通过类比思想求解.
(1)∵∠A=50°,∠A+∠ADC+∠ACD=180°,
∴∠ADC+∠ACD=130°,
∵DP,CP分别平分∠ADC和∠ACD,
∴∠PDC=∠ADC,∠PCD=∠ACD,
∴∠PDC+∠PCD=(∠ADC+∠ACD)=65°,
∴∠P=180°-(∠PDC+∠PCD)=115°;
同理:如果∠A=100°,那么∠P=140°;
答案:115° 140°
【解析】本题考查三角形的外角性质,三角形的内角和定理,多边形的内角和公式,通过类比思想求解.
(2)∵DP,CP分别平分∠ADC和∠BCD,
∴∠PDC=∠ADC,∠PCD=∠BCD,
∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-∠ADC-∠BCD
=180°-(∠ADC+∠BCD)
=180°-(360°-∠A-∠B)
=(∠A+∠B);
即∠P=(∠A+∠B);
答案:∠P=(∠A+∠B)
【解析】本题考查三角形的外角性质,三角形的内角和定理,多边形的内角和公式,通过类比思想求解.
(3)五边形ABCDE的内角和为(5-2)×180°=540°,
∵DP,CP分别平分∠EDC和∠BCD,
∴∠PDC=∠EDC,∠PCD=∠BCD,
∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD
=180°-∠EDC-∠BCD
=180°-(∠EDC+∠BCD)
=180°-(540°-∠A-∠B-∠E)
=(∠A+∠B+∠E)-90°,
即∠P=(∠A+∠B+∠E)-90°.多边形及其内角和
【A层 基础夯实】
知识点1 多边形的定义及有关概念
1.如图所示的图形中,属于多边形的有 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)将一个长方形剪去一个角,则剩下的多边形为 ( )
A.五边形
B.四边形或五边形
C.三角形或五边形
D.三角形或四边形或五边形
3.五边形的对角线的条数是 ( )
A.2 B.3 C.5 D.10
知识点2 多边形的内角和与外角和
4.八边形的内角和为 ( )
A.1 440° B.1 080° C.1 260° D.900°
5.多边形内角和为1 800°,那么从这个多边形的一个顶点引出的对角线条数是 ( )
A.12 B.10 C.9 D.8
6.若一个多边形的每个内角都相等,且内角和为1 440°,该多边形的一个外角是 ( )
A.60° B.45° C.40° D.36°
7.如图,一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD,其中∠BAD=150°,∠B=∠D=40°.则∠BCD= .
8.一个多边形的内角和与外角和相等,它的边数为 .
9.已知一个多边形的边数为n.
(1)若n=5,求这个多边形的内角和.
(2)若这个多边形的内角和的比一个四边形的内角和多90°,求n的值.
10.如图所示,在四边形ABCD中,已知∠A=∠C=90°,BE平分∠ABC交CD于点E,DF平分∠ADC交AB于点F.
(1)求证:∠ABC+∠ADC=180°;
(2)求证:BE∥DF.
【B层 能力进阶】
11.下列说法正确的是 ( )
A.五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形是正五边形
B.正六边形各内角都相等,所以各内角都相等的六边形是正六边形
C.从n边形的一个顶点出发可以引(n-2)条对角线
D.n边形共有条对角线
12.如图,以正方形ABCD的边CD向外作正五边形CDEFG,则∠ADE的度数为 ( )
A.172° B.162° C.152° D.150°
13.如图,∠1,∠2,∠3是五边形ABCDE的三个外角,边AE,CD的延长线相交于点F,如果∠F=α,那么∠1+∠2+∠3的度数为 ( )
A.270°-α B.360°-α C.90°+α D.180°+α
14.如图,小亮从A点出发,沿直线前进20米后向左转30度,再沿直线前进20米,又向左转30度,继续沿直线前进20米……照这样走下去,他第一次回到出发点A点时,一共走了 米.
15.(2024·石家庄质检)已知一个多边形纸片的内角和比外角和多540°.
(1)求这个多边形的边数;
(2)将此多边形截去一个角,直接写出它的边数与外角和;
(3)若这个多边形是正多边形,通过计算说明:每个内角比相邻的外角大还是小 大或小多少度
【C层 创新挑战(选做)】
16.(模型观念、空间观念、推理能力)
(1)已知:如图1,P为△ADC内一点,DP,CP分别平分∠ADC和∠ACD.如果∠A=50°,那么∠P= ;如果∠A=100°,那么∠P= .(直接写出答案,不必说明理由)
(2)如图2,P为四边形ABCD内一点,DP,CP分别平分∠ADC和∠BCD,请直接写出∠P与∠A+∠B的数量关系: .(直接写出答案,不必说明理由)
(3)如图3,P为五边形ABCDE内一点;DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,试探究∠P与∠A+∠B+∠E的数量关系,并说明理由.
