三角形全等的判定(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 用“SAS”判定两个三角形全等
1.如图,在△ABC与△EMN中,BC=MN=a,AC=EM=b,∠C=∠M=54°,若∠A=66°,则下列结论正确的是 ( )
A.EN=c B.EN=a
C.∠E=60° D.∠N=66°
2.如图所示,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,AD=AE,则 ≌△AEB,理由是 .
3.(2023·福建中考)如图,OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB.求证AB=CD.
知识点2 “SAS”判定两个三角形全等的综合应用
4.如图,在△ABC中,AB=BC,BD=CE,∠ABC=∠C=60°,则∠APE的度数是 ( )
A.70° B.65° C.60° D.55°
5.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=DC.在不添加辅助线的情况下,图中全等三角形共有 对.
6.(2022·兰州中考)如图1是小军制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图2所示,AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,∠C=50°.求∠D的大小.
知识点3 尺规作图
7.已知:△ABC.求作:△A'B'C',使得△A'B'C'≌△ABC.如图是小明的作图痕迹,他作图的依据是 .
8.(2024·威海期中)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹).
已知:线段a和∠α.
求作:△ABC,使BC=a,AC=2a,∠BCA=∠α.
【B层 能力进阶】
9.如图,AD=AE,AB=AC,∠BAC=∠DAE,B,D,E在同一直线上,∠1=22°,∠2=30°,∠3的度数是 ( )
A.42° B.52° C.62° D.72°
10.(2024·无锡质检)如图,在△ABC中,点D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,若∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠EDF=54°,则∠A= .
11.如图,方格纸中△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上,这样的三角形叫格点三角形,则在图中能够作出与△ABC全等且有一条公共边的格点三角形(不含△ABC)的个数是 .
12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AC上,点E在BC的延长线上,CE=CD,BD的延长线交AE于点F.
(1)求证:△ACE≌△BCD;
(2)求证:BF⊥AE;
(3)若BD=8,DF=2,直接写出△ABE的面积.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC,延长AD到E点,使DE=AB.
(1)求证:∠ABC=∠EDC.
(2)求证:△ABC≌△EDC.三角形全等的判定(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 用“SAS”判定两个三角形全等
1.如图,在△ABC与△EMN中,BC=MN=a,AC=EM=b,∠C=∠M=54°,若∠A=66°,则下列结论正确的是 (A)
A.EN=c B.EN=a
C.∠E=60° D.∠N=66°
2.如图所示,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,AD=AE,则 △ADC ≌△AEB,理由是 SAS .
3.(2023·福建中考)如图,OA=OC,OB=OD,∠AOD=∠COB.求证AB=CD.
【证明】∵∠AOD=∠COB,
∴∠AOD-∠BOD=∠COB-∠BOD,
即∠AOB=∠COD.
在△AOB和△COD中,,
∴△AOB≌△COD(SAS),
∴AB=CD.
知识点2 “SAS”判定两个三角形全等的综合应用
4.如图,在△ABC中,AB=BC,BD=CE,∠ABC=∠C=60°,则∠APE的度数是 (C)
A.70° B.65° C.60° D.55°
5.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=DC.在不添加辅助线的情况下,图中全等三角形共有 3 对.
6.(2022·兰州中考)如图1是小军制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图2所示,AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,∠C=50°.求∠D的大小.
【解析】∵∠BAD=∠EAC,
∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD,
即∠BAC=∠EAD,
在△BAC与△EAD中,
∴△BAC≌△EAD(SAS),∴∠D=∠C=50°.
知识点3 尺规作图
7.已知:△ABC.求作:△A'B'C',使得△A'B'C'≌△ABC.如图是小明的作图痕迹,他作图的依据是 SAS .
8.(2024·威海期中)尺规作图(不写作法,保留作图痕迹).
已知:线段a和∠α.
求作:△ABC,使BC=a,AC=2a,∠BCA=∠α.
【解析】如图所示,△ABC即为所求作的三角形.
【B层 能力进阶】
9.如图,AD=AE,AB=AC,∠BAC=∠DAE,B,D,E在同一直线上,∠1=22°,∠2=30°,∠3的度数是 (B)
A.42° B.52° C.62° D.72°
10.(2024·无锡质检)如图,在△ABC中,点D,E,F分别是BC,AC,AB上的点,若∠B=∠C,BF=CD,BD=CE,∠EDF=54°,则∠A= 72° .
11.如图,方格纸中△ABC的三个顶点分别在小正方形的顶点(格点)上,这样的三角形叫格点三角形,则在图中能够作出与△ABC全等且有一条公共边的格点三角形(不含△ABC)的个数是 4 .
12.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D在AC上,点E在BC的延长线上,CE=CD,BD的延长线交AE于点F.
(1)求证:△ACE≌△BCD;
【解析】(1)∵∠ACB=90°,点E在BC的延长线上,∴∠ACE=∠ACB=90°,
在△ACE和△BCD中,,
∴△ACE≌△BCD(SAS);
(2)求证:BF⊥AE;
【解析】(2)∵△ACE≌△BCD,∴∠FBE=∠CAE,
∵∠CAE+∠E=90°,∴∠FBE+∠E=90°,
∴∠BFE=180°-(∠FBE+∠E)=180°-90°=90°,∴BF⊥AE;
(3)若BD=8,DF=2,直接写出△ABE的面积.
【解析】(3)∵BD=8,DF=2,∴BF=10,
∵△ACE≌△BCD,∴AE=BD=8,
∴S△ABE=AE·BF=×8×10=40.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力、模型观念)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC,延长AD到E点,使DE=AB.
(1)求证:∠ABC=∠EDC.
【证明】(1)在四边形ABCD中,∵∠A=∠BCD=90°,∴∠ABC+∠ADC=180°.
又∵∠ADC+∠EDC=180°,∴∠ABC=∠EDC.
(2)求证:△ABC≌△EDC.
【证明】(2)连接AC.
在△ABC和△EDC中,
∴△ABC≌△EDC(SAS).
