三角形全等的判定(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 用“ASA”或“AAS”判定两个三角形全等
1.(2023·甘孜州中考)如图,AB与CD相交于点O,AC∥BD,只添加一个条件,能判定△AOC≌△BOD的是 ( )
A.∠A=∠D B.AO=BO
C.AC=BO D.AB=CD
2.如图三角形纸片被遮住了一部分,小明根据所学知识画出了一个与原三角形完全重合的三角形,他画图的依据是 .
3.如图,已知D是AB上一点,DF交AC于点E,AE=EC,CF∥AB.若AB=9 cm,CF=6 cm,则BD= cm.
4.如图,BE∥DF,∠ADF=∠CBE,AD=BC.
(1)求证△ADF≌△CBE;
(2)探究DE和BF之间的关系.
知识点2 选择适当的方法判定两个三角形全等
5.(2024·亳州期末)如图,点C和点E分别在AD和AB上,BC与DE交于点F,已知AB=AD,若要使△ABC≌△ADE,下列添加条件中错误的是( )
A.BC=DE
B.AC=AE
C.∠ACB=∠AED=90°
D.∠BCD=∠DEB
6.如图,AB=CD,AD=BC,可得△ABC≌△CDA的依据是 .
7.(2024·秦皇岛期中)如图,AD∥BC,E是CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证△ADE≌△FCE;
(2)若∠BAF=90°,AB=8,EF=3,求四边形ABCD的面积.
【B层 能力进阶】
8.根据下列已知条件,能作出唯一△ABC的是( )
A.AB=3,BC=4,CA=8
B.AB=4,BC=3,∠A=60°
C.∠A=60°,∠C=45°,AB=4
D.∠C=90°,∠B=30°,∠A=60°
9.如图,在△ABC和△CDE中,点B,C,E在同一条直线上,∠B=∠E=∠ACD,AC=CD,若AB=2,BE=6,则DE的长为 ( )
A.8 B.6 C.4 D.2
10.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,则图中全等三角形有 对.
11.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是CB延长线上的点,BD=BA,DE⊥AC于E,交AB于点F,若DC=7.8,BF=3,则AF的长为 .
12.如图,点F,C在BE上,BF=CE,∠A=∠D,∠B=∠E.求证:AB=DE.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力、模型观念)
【问题呈现】如图①,在△ABC中,D是BC的中点,使AB∥CE,交AD的延长线于点E.求证AD=ED.请结合图①写出完整的证明过程.
【应用】(1)如图②,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E是CD的中点,射线AE与BC的延长线交于点F,若S△ABE=3,则S四边形ABCD= .
(2)如图③,在△ABC中,D是BC的中点,点G是AD延长线上的一点,BG∥AC,AE=AB,∠BAE=∠FAC=90°,AF=AC,AD=2,求EF的长.三角形全等的判定(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 用“ASA”或“AAS”判定两个三角形全等
1.(2023·甘孜州中考)如图,AB与CD相交于点O,AC∥BD,只添加一个条件,能判定△AOC≌△BOD的是 (B)
A.∠A=∠D B.AO=BO
C.AC=BO D.AB=CD
2.如图三角形纸片被遮住了一部分,小明根据所学知识画出了一个与原三角形完全重合的三角形,他画图的依据是 ASA .
3.如图,已知D是AB上一点,DF交AC于点E,AE=EC,CF∥AB.若AB=9 cm,CF=6 cm,则BD= 3 cm.
4.如图,BE∥DF,∠ADF=∠CBE,AD=BC.
(1)求证△ADF≌△CBE;
【解析】(1)∵BE∥DF,∴∠AFD=∠CEB,
在△ADF和△CBE中,,
∴△ADF≌△CBE(AAS);
(2)探究DE和BF之间的关系.
【解析】(2)由(1)得,△ADF≌△CBE,∴DF=BE,
∵∠AFD=∠CEB,EF=FE,
∴△DEF≌△BFE(SAS),
∴DE=BF,∠DEF=∠BFE,∴DE∥BF.
知识点2 选择适当的方法判定两个三角形全等
5.(2024·亳州期末)如图,点C和点E分别在AD和AB上,BC与DE交于点F,已知AB=AD,若要使△ABC≌△ADE,下列添加条件中错误的是(A)
A.BC=DE
B.AC=AE
C.∠ACB=∠AED=90°
D.∠BCD=∠DEB
6.如图,AB=CD,AD=BC,可得△ABC≌△CDA的依据是 SSS .
7.(2024·秦皇岛期中)如图,AD∥BC,E是CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)求证△ADE≌△FCE;
【解析】(1)∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠F,∠D=∠ECF,
∵E是CD的中点,∴DE=CE,
在△ADE和△FCE中,,
∴△ADE≌△FCE(AAS);
(2)若∠BAF=90°,AB=8,EF=3,求四边形ABCD的面积.
【解析】(2)∵△ADE≌△FCE,
∴AE=FE=3,S△ADE=S△FCE,
∴AF=AE+EF=6,
∵∠BAF=90°,
∴S△ABF=AB·AF=×8×6=24,
∴S四边形ABCD=S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE=S△ABF=24.
【B层 能力进阶】
8.根据下列已知条件,能作出唯一△ABC的是(C)
A.AB=3,BC=4,CA=8
B.AB=4,BC=3,∠A=60°
C.∠A=60°,∠C=45°,AB=4
D.∠C=90°,∠B=30°,∠A=60°
9.如图,在△ABC和△CDE中,点B,C,E在同一条直线上,∠B=∠E=∠ACD,AC=CD,若AB=2,BE=6,则DE的长为 (C)
A.8 B.6 C.4 D.2
10.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,则图中全等三角形有 6 对.
11.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是CB延长线上的点,BD=BA,DE⊥AC于E,交AB于点F,若DC=7.8,BF=3,则AF的长为 1.8 .
12.如图,点F,C在BE上,BF=CE,∠A=∠D,∠B=∠E.求证:AB=DE.
【证明】∵BF=CE,
∴BF+CF=EC+CF,即BC=EF,
在△ACB和△DFE中,,
∴△ACB≌△DFE(AAS),
∴AB=DE.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力、模型观念)
【问题呈现】如图①,在△ABC中,D是BC的中点,使AB∥CE,交AD的延长线于点E.求证AD=ED.请结合图①写出完整的证明过程.
【应用】(1)如图②,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E是CD的中点,射线AE与BC的延长线交于点F,若S△ABE=3,则S四边形ABCD= .
【解析】【问题呈现】∵AB∥CE,
∴∠ABD=∠ECD,∠BAD=∠CED.
∵BD=CD,∴△ABD≌△ECD(AAS),
∴AD=ED.
【应用】(1)∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠F,∠D=∠FCE.
∵点E为DC边的中点,∴DE=CE.
∴△ADE≌△FCE(AAS),
∴AE=FE,S△ADE=S△FCE,
∴S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE,
即S四边形ABCD=S△ABF,
∵S△ABE=3,AE=EF,∴S△BEF=3,
∴S四边形ABCD=S△ABF=3+3=6.
答案:6
(2)如图③,在△ABC中,D是BC的中点,点G是AD延长线上的一点,BG∥AC,AE=AB,∠BAE=∠FAC=90°,AF=AC,AD=2,求EF的长.
【解析】(2)∵D为BC的中点,
∴BD=CD,
又∵BG∥AC,
∴∠C=∠GBD,
∵∠ADC=∠GDB,
∴△ADC≌△GDB(ASA),
∴AC=BG,AD=GD,
又∵AF=AC,
∴BG=AF,
∵BG∥AC,
∴∠ABG+∠BAC=180°,
∵∠BAE=∠FAC=90°,
∴∠BAC+∠EAF=180°,
∴∠ABG=∠EAF,
又∵AE=BA,∴△ABG≌△EAF(SAS),
∴AG=EF,
∵AD=2,∴EF=AG=2AD=4.
