三角形全等的判定(第4课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 用“HL”判定两个直角三角形全等
1.(2024·惠州期中)如图,AC⊥CB,DB⊥CB,垂足分别为C,B,若用“HL”证明△ABC≌△DCB,还需添加的条件为 ( )
A.AB=CD B.AC=DB
C.∠A=∠D D.∠ABC=∠DCB
2.(2024·厦门期末)已知Rt△ABC,根据下列尺规作图痕迹作出的Rt△A1B1C1,能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的是 ( )
3.如图,∠B=∠D=90°,请添加一个条件(不得添加辅助线),使得△ABC≌△ADC那么可添加条件为 .
4.如图,△ABC为等腰直角三角形,∠BCA=90°,点D在CA上,点E在BC的延长线上,且BD=AE.
(1)求证△BCD≌△ACE;
(2)若∠BAE=67°,求∠DBA的度数.
知识点2 选择适当的方法判定两个直角三角形全等
5.如图,AB=AD,BC=DC,则直接证明△ABC≌△ADC的方法有 ( )
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
6.如图所示,已知BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F,则在下列条件中,不可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是 ( )
A.AB=DC,∠B=∠C B.AB=DC,AB∥CD
C.AB=DC,BE=CF D.AB=DF,BE=CF
7.如图所示,地理畅游社提出测量某山山脚两端A,B之间的距离,过点A作AB的垂线AK,在AK上取点C,E,使得AC=CE,再过点E作垂线DE,交BC的延长线于点D,可以证明△ABC≌△EDC,得到DE=AB,因此测得DE的长等于AB的长.其中判定△ABC≌△EDC的理由是 .
【B层 能力进阶】
8.如图,点E,F在BD上,∠A=∠C=90°,AE=CF,不能使△AEB≌△CFD的是 ( )
A.CF∥AE B.BF=DE
C.AB=CD D.AE=DF
9.如图所示,已知AB=AC,AE=AF,AF⊥BF于F,AE⊥EC于E,则图中全等的三角形共有( )
A.4对 B.3对 C.2对 D.1对
10.如图,点D在BC边上,DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,BD=CF,BE=CD,若∠AFD=145°,则∠B的度数为 .
11.如图,在△ABC中,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(0,4),点C的坐标为(4,3),点D在第一象限(不与点C重合),且△ABD与△ABC全等,点D的坐标是 .
12.(2023·南通中考)如图,点D,E分别在AB,AC上,∠ADC=∠AEB=90°,BE,CD相交于点O,OB=OC.
求证∠1=∠2.
小虎同学的证明过程如下:
证明:∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°.
∵∠DOB=∠EOC,
∴∠B=∠C.(第一步)
又OA=OA,OB=OC,
∴△ABO≌△ACO,(第二步)
∴∠1=∠2.(第三步)
(1)小虎同学的证明过程中,第 步出现错误;
(2)请写出正确的证明过程.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(推理能力、模型观念、应用意识)
(2024·吕梁期中)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F分别在AB,AD上,BE=DF,CE=CF.求证:AE=AF.三角形全等的判定(第4课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 用“HL”判定两个直角三角形全等
1.(2024·惠州期中)如图,AC⊥CB,DB⊥CB,垂足分别为C,B,若用“HL”证明△ABC≌△DCB,还需添加的条件为 (A)
A.AB=CD B.AC=DB
C.∠A=∠D D.∠ABC=∠DCB
2.(2024·厦门期末)已知Rt△ABC,根据下列尺规作图痕迹作出的Rt△A1B1C1,能够用于说明“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的是 (B)
3.如图,∠B=∠D=90°,请添加一个条件(不得添加辅助线),使得△ABC≌△ADC那么可添加条件为 AB=AD(答案不唯一) .
4.如图,△ABC为等腰直角三角形,∠BCA=90°,点D在CA上,点E在BC的延长线上,且BD=AE.
(1)求证△BCD≌△ACE;
【解析】(1)∵△ABC为等腰直角三角形,∠BCA=90°,∴AC=BC,
在Rt△ACE和Rt△BCD中,,
∴Rt△ACE≌Rt△BCD(HL).
(2)若∠BAE=67°,求∠DBA的度数.
【解析】(2)∵△ABC为等腰直角三角形,∠BCA=90°,
∴∠CAB=∠CBA=45°,
∵∠BAE=67°,
∴∠EAC=∠BAE-∠CAB=67°-45°=22°,
∵△ACE≌△BCD,
∴∠EAC=∠DBC=22°,
∴∠DBA=∠CBA-∠DBC=45°-22°=23°,
因此∠DBA的度数为23°.
知识点2 选择适当的方法判定两个直角三角形全等
5.如图,AB=AD,BC=DC,则直接证明△ABC≌△ADC的方法有 (D)
A.1种 B.2种 C.3种 D.4种
6.如图所示,已知BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F,则在下列条件中,不可以判定Rt△ABE≌Rt△DCF的是 (D)
A.AB=DC,∠B=∠C B.AB=DC,AB∥CD
C.AB=DC,BE=CF D.AB=DF,BE=CF
7.如图所示,地理畅游社提出测量某山山脚两端A,B之间的距离,过点A作AB的垂线AK,在AK上取点C,E,使得AC=CE,再过点E作垂线DE,交BC的延长线于点D,可以证明△ABC≌△EDC,得到DE=AB,因此测得DE的长等于AB的长.其中判定△ABC≌△EDC的理由是 ASA .
【B层 能力进阶】
8.如图,点E,F在BD上,∠A=∠C=90°,AE=CF,不能使△AEB≌△CFD的是 (D)
A.CF∥AE B.BF=DE
C.AB=CD D.AE=DF
9.如图所示,已知AB=AC,AE=AF,AF⊥BF于F,AE⊥EC于E,则图中全等的三角形共有(A)
A.4对 B.3对 C.2对 D.1对
10.如图,点D在BC边上,DE⊥AB于点E,DF⊥BC交AC于点F,BD=CF,BE=CD,若∠AFD=145°,则∠B的度数为 55° .
11.如图,在△ABC中,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(0,4),点C的坐标为(4,3),点D在第一象限(不与点C重合),且△ABD与△ABC全等,点D的坐标是 (4,2) .
12.(2023·南通中考)如图,点D,E分别在AB,AC上,∠ADC=∠AEB=90°,BE,CD相交于点O,OB=OC.
求证∠1=∠2.
小虎同学的证明过程如下:
证明:∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°.
∵∠DOB=∠EOC,
∴∠B=∠C.(第一步)
又OA=OA,OB=OC,
∴△ABO≌△ACO,(第二步)
∴∠1=∠2.(第三步)
(1)小虎同学的证明过程中,第 步出现错误;
【解析】(1)小虎同学的证明过程中,第二步出现错误.
答案:二
(2)请写出正确的证明过程.
【解析】(2)∵∠ADC=∠AEB=90°,
∴∠BDC=∠CEB=90°,
在△DOB和△EOC中,,
∴△DOB≌△EOC(AAS),
∴OD=OE,
在Rt△ADO和Rt△AEO中,
,
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL),
∴∠1=∠2.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(推理能力、模型观念、应用意识)
(2024·吕梁期中)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,点E,F分别在AB,AD上,BE=DF,CE=CF.求证:AE=AF.
【证明】如图所示,连接AC,
在Rt△BEC和Rt△DFC中,,
∴Rt△BEC≌Rt△DFC(HL),
∴BC=DC,
在Rt△ABC和Rt△ADC中,,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),
∴AB=AD,
∵BE=DF,∴AB-BE=AD-DF,
∴AE=AF.
