角的平分线的性
【A层 基础夯实】
知识点1 角平分线的性质
1.如图,已知OC平分∠AOB,P是OC上一点,PH⊥OB于H,若PH=5,则点P与射线OA上某一点连线的长度可以是 (A)
A.7 B.4 C.3 D.2
2.如图,△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P,若点P到AC的距离为3,则点P到AB的距离为 3 .
3.如图,点B,D分别在∠BAD的两边上,点C是∠BAD内一点,AB=AD,BC=CD,CE⊥AD于点E,CF⊥AB于点F.求证:CE=CF.
【证明】在△ADC和△ABC中,,
∴△ADC≌△ABC(SSS),
∴∠DAC=∠BAC,
∵CE⊥AD,CF⊥AB,
∴CE=CF.
知识点2 角平分线的判定
4.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是 (A)
A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点
5.如图, PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,已知PC=PD,小明得如下结论:①∠AOB=2∠DOP;②∠CPD=2∠COD;③OC=OD.其中正确的是 ①③ (填序号).
知识点3 三角形的角平分线与尺规作图
6.(2024·临沂期中)如图,已知∠AOB,以点O为圆心,任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D,再分别以C,D为圆心,以大于CD长为半径画弧,两弧交于点F,作射线OF,点P为OF上一点,PE⊥OB,垂足为点E,若PE=5,则点P到OA的距离为 5 .
7.(2024·温州期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DF⊥AB于点F,E是AC上一点,且CE=BF.
(1)求证:△CDE≌△FDB.
【解析】(1)∵DF⊥AB,∴∠DFA=90°,
∴∠DFA=∠C=90°,
∵AD是∠BAC的平分线,∴CD=DF,
在△CDE和△FDB中,,
∴△CDE≌△FDB(SAS).
(2)若∠B=40°,求∠ADE的度数.
【解析】(2)∵∠C=90°,∠B=40°,
∴∠BAC=90°-∠B=50°,
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠CAD=∠BAC=25°,
∵△CDE≌△FDB,
∴∠CED=∠B=40°,
∴∠ADE=∠CED-∠CAD=40°-25°=15°.
∴∠ADE的度数为15°.
【B层 能力进阶】
8.(2024·南京期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,AB=10,S△ABD=20,则CD的长为 (C)
A.2 B.3 C.4 D.5
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于点D.若AB=5 cm,AC=4 cm,BC=3 cm.则△ADE的周长为 (D)
A.9 cm B.8 cm C.7 cm D.6 cm
10.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路旁边的平地上修建一个游客中心,要使这个游客中心到三条公路的距离相等,游客中心可以选择的位置有(D)
A.一种 B.二种 C.三种 D.四种
11.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若点P到BC的距离是4,则AD的长为 8 .
12.小宇和小明一起进行数学游戏:已知∠MON=90°,将等腰直角三角板△ABC摆放在平面内,使点A在∠MON的内部,且两个底角顶点B,C分别放在边OM,ON上.
(1)如图1,小明摆放△ABC,恰好使得AB⊥OM,AC⊥ON,又由于△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,从而直接可以判断出点A在∠MON的平分线上.请回答:小明能够直接作出判断的数学依据是 .
【解析】(1)因为AB⊥OM,AC⊥ON,AB=AC,根据角的内部到角的两边距离相等的点,都在这个角的平分线上,所以点A在∠MON的平分线上.
答案:角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
(2)如图2,小宇调整了△ABC的位置,请判断OA平分∠MON是否仍然成立,若成立,请证明;若不成立,请举出反例.
【解析】(2)OA平分∠MON仍然成立;
证明:如图,过点A作AG⊥OM,AH⊥ON,AG交OM于点G,AH交ON于点H.
∴∠AGB=∠AHC=90°,
又∵∠MON=90°,
∴∠GAH=90°,
∴∠GAB+∠BAH=90°,
又∵∠BAC=90°=∠BAH+∠HAC,
∴∠GAB=∠HAC,
在△GAB和△HAC中,,
∴△GAB≌△HAC(AAS),
∴AG=AH,
又∵AG⊥OM,AH⊥ON,
∴OA平分∠MON.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(推理能力、模型观念)(2024·天津期中)如图,在△ABC中,点D在边BC延长线上,∠ACB=110°,∠ABC的平分线交AD于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为H,且∠CEH=55°.
(1)求∠ACE的度数;
【解析】(1)∵∠ACB=110°,
∴∠ACD=180°-∠ACB=70°,
∵EH⊥BD,∠CEH=55°,
∴∠DCE=90°-∠CEH=35°,
∴∠ACE=∠ACD-∠DCE=35°.
(2)求证:AE平分∠CAF;
【解析】(2)如图,过点E作EM⊥BF交BF于点M,作EN⊥AC交AC于点N,
∵BE平分∠ABC,EM⊥BF,EH⊥BD,
∴EM=EH,
由(1)可知,∠ACE=∠DCE=35°,即CE平分∠ACD,
∴EN=EH,
∴EM=EN,
又∵点E在∠CAF的内部,
∴AE平分∠CAF.
(3)若AC+CD=14,AB=8.5,且S△ACD=21,求△ABE的面积.
【解析】(3)由(2)得:EM=EH=EN,
设EM=EH=EN=x,
∵S△ACD=21,
∴S△ACE+S△DCE=21,
∴AC·EN+CD·EH=21,即x(AC+CD)=21,
又∵AC+CD=14,
∴x===3,
∴EM=3,
∵AB=8.5,
∴△ABE的面积为AB·EM=×8.5×3=.角的平分线的性
【A层 基础夯实】
知识点1 角平分线的性质
1.如图,已知OC平分∠AOB,P是OC上一点,PH⊥OB于H,若PH=5,则点P与射线OA上某一点连线的长度可以是 ( )
A.7 B.4 C.3 D.2
2.如图,△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P,若点P到AC的距离为3,则点P到AB的距离为 .
3.如图,点B,D分别在∠BAD的两边上,点C是∠BAD内一点,AB=AD,BC=CD,CE⊥AD于点E,CF⊥AB于点F.求证:CE=CF.
知识点2 角平分线的判定
4.在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,到∠AOB两边距离相等的点应是 ( )
A.M点 B.N点 C.P点 D.Q点
5.如图, PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,已知PC=PD,小明得如下结论:①∠AOB=2∠DOP;②∠CPD=2∠COD;③OC=OD.其中正确的是 (填序号).
知识点3 三角形的角平分线与尺规作图
6.(2024·临沂期中)如图,已知∠AOB,以点O为圆心,任意长为半径画弧,交OA于点C,交OB于点D,再分别以C,D为圆心,以大于CD长为半径画弧,两弧交于点F,作射线OF,点P为OF上一点,PE⊥OB,垂足为点E,若PE=5,则点P到OA的距离为 .
7.(2024·温州期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DF⊥AB于点F,E是AC上一点,且CE=BF.
(1)求证:△CDE≌△FDB.
(2)若∠B=40°,求∠ADE的度数.
【B层 能力进阶】
8.(2024·南京期中)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,AB=10,S△ABD=20,则CD的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BE平分∠ABC,ED⊥AB于点D.若AB=5 cm,AC=4 cm,BC=3 cm.则△ADE的周长为 ( )
A.9 cm B.8 cm C.7 cm D.6 cm
10.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)如图,为了促进当地旅游发展,某地要在三条公路旁边的平地上修建一个游客中心,要使这个游客中心到三条公路的距离相等,游客中心可以选择的位置有( )
A.一种 B.二种 C.三种 D.四种
11.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若点P到BC的距离是4,则AD的长为 .
12.小宇和小明一起进行数学游戏:已知∠MON=90°,将等腰直角三角板△ABC摆放在平面内,使点A在∠MON的内部,且两个底角顶点B,C分别放在边OM,ON上.
(1)如图1,小明摆放△ABC,恰好使得AB⊥OM,AC⊥ON,又由于△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,从而直接可以判断出点A在∠MON的平分线上.请回答:小明能够直接作出判断的数学依据是 .
(2)如图2,小宇调整了△ABC的位置,请判断OA平分∠MON是否仍然成立,若成立,请证明;若不成立,请举出反例.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(推理能力、模型观念)(2024·天津期中)如图,在△ABC中,点D在边BC延长线上,∠ACB=110°,∠ABC的平分线交AD于点E,过点E作EH⊥BD,垂足为H,且∠CEH=55°.
(1)求∠ACE的度数;
(2)求证:AE平分∠CAF;
(3)若AC+CD=14,AB=8.5,且S△ACD=21,求△ABE的面积.
