线段的垂直平分线的性质
【A层 基础夯实】
知识点1 线段垂直平分线的性质和判定
1.如图,在△ABC中,直线BD是AC的垂直平分线,若AB=5,则BC的长为( )
A.3 B.4 C.5 D.10
2.如图,AC垂直平分线段BD,若AB=3 cm,CD=5 cm,则四边形ABCD的周长是( )
A.11 cm B.13 cm C.16 cm D.18 cm
3.(2024·泸州期中)下列条件中,不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是( )
A.MA=MB,NA=NB
B.MA=MB,MN⊥AB
C.MA=NA,MB=NB
D.MA=MB,MN平分∠AMB
4.(易错警示题·概念不清)元旦联欢会上,3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上.游戏时,要求在他们中间放一个凳子,谁先坐到凳子上谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放置在△ABC的( )
A.三边垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边中线的交点
D.三边上高的交点
5.如图,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线GF,DE分别交BC于点F,E,连接AE,AF,∠B+∠C=50°,求∠FAE的度数.
知识点2 线段垂直平分线与尺规作图
6.如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.
步骤1:以C为圆心,CA为半径画弧②;
步骤2:以B为圆心,BA为半径画弧①;
步骤3:连接AD,交BC延长线于点H;
下列叙述错误的是( )
A.BH垂直平分线段AD
B.AC平分∠BAD
C.S△ABC=BC·AH
D.AH=DH
7.如图,已知△ABC,AC=8,BC=10.
(1)用尺规作图:画AB的垂直平分线交AB于E,BC于D;
(2)求△ACD的周长.
【B层 能力进阶】
8.如图,在△ABC中,根据尺规作图痕迹,下列说法不一定正确的是( )
A.AF=BF B.AE=EC
C.∠DBF+∠DFB=90° D.∠BAF=∠EBC
9.如图,在△ABC中,DE是AB的垂直平分线,BC上的点F在AC的垂直平分线上,若BC=12,则△AEF的周长是( )
A.6 B.8 C.10 D.12
10.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DE与边AB,AC分别交于D,E.已知△ABC与△BCE的周长分别为22 cm和14 cm,则BD的长为 .
11.如图,已知△ABC,尺规作图:
(1)作∠ABC的平分线,交AC于点D;
(2)在线段BC上取一点P,使得PB=PD.
12.如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线分别交BC,AC于点E,F,连接AE,作AD⊥BC于点D,且D为BE的中点.
(1)试说明AB=CE;
(2)若∠C=32°,求∠BAC的度数.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(模型观念、几何直观、推理能力)如图,在四边形ABCD中,∠D=∠DCB=90°,E为CD的中点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F.
(1)求证:AD=FC;
(2)点B在线段AF的垂直平分线上,AB=10,CD=8,求四边形ABCD的面积. 线段的垂直平分线的性质
【A层 基础夯实】
知识点1 线段垂直平分线的性质和判定
1.如图,在△ABC中,直线BD是AC的垂直平分线,若AB=5,则BC的长为(C)
A.3 B.4 C.5 D.10
2.如图,AC垂直平分线段BD,若AB=3 cm,CD=5 cm,则四边形ABCD的周长是(C)
A.11 cm B.13 cm C.16 cm D.18 cm
3.(2024·泸州期中)下列条件中,不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(C)
A.MA=MB,NA=NB
B.MA=MB,MN⊥AB
C.MA=NA,MB=NB
D.MA=MB,MN平分∠AMB
4.(易错警示题·概念不清)元旦联欢会上,3名同学分别站在△ABC三个顶点的位置上.游戏时,要求在他们中间放一个凳子,谁先坐到凳子上谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放置在△ABC的(A)
A.三边垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边中线的交点
D.三边上高的交点
5.如图,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线GF,DE分别交BC于点F,E,连接AE,AF,∠B+∠C=50°,求∠FAE的度数.
【解析】∵AB,AC的垂直平分线GF,DE分别交BC于点F,E,∴AF=BF,AE=CE,
易证△AGF≌△BGF,△ADE≌△CDE,
∴∠B=∠BAF,∠C=∠CAE,
∵∠B+∠C=50°,∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴∠BAC=130°,∠BAF+∠CAE=50°,
∴∠FAE=130°-50°=80°.
知识点2 线段垂直平分线与尺规作图
6.如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.
步骤1:以C为圆心,CA为半径画弧②;
步骤2:以B为圆心,BA为半径画弧①;
步骤3:连接AD,交BC延长线于点H;
下列叙述错误的是(B)
A.BH垂直平分线段AD
B.AC平分∠BAD
C.S△ABC=BC·AH
D.AH=DH
7.如图,已知△ABC,AC=8,BC=10.
(1)用尺规作图:画AB的垂直平分线交AB于E,BC于D;
【解析】(1)如图,DE为所作;
(2)求△ACD的周长.
【解析】(2)∵DE垂直平分线段AB,
∴DB=DA,
∴△ACD的周长=AC+DA+DC=AC+BC=8+10=18.
【B层 能力进阶】
8.如图,在△ABC中,根据尺规作图痕迹,下列说法不一定正确的是(B)
A.AF=BF B.AE=EC
C.∠DBF+∠DFB=90° D.∠BAF=∠EBC
9.如图,在△ABC中,DE是AB的垂直平分线,BC上的点F在AC的垂直平分线上,若BC=12,则△AEF的周长是(D)
A.6 B.8 C.10 D.12
10.如图,在△ABC中,AB的垂直平分线DE与边AB,AC分别交于D,E.已知△ABC与△BCE的周长分别为22 cm和14 cm,则BD的长为 4 cm .
11.如图,已知△ABC,尺规作图:
(1)作∠ABC的平分线,交AC于点D;
【解析】(1)如图所示,BD即为所求;
(2)在线段BC上取一点P,使得PB=PD.
【解析】(2)如图所示,点P即为所求.
12.如图,在△ABC中,AC边的垂直平分线分别交BC,AC于点E,F,连接AE,作AD⊥BC于点D,且D为BE的中点.
(1)试说明AB=CE;
【解析】(1)∵D为BE的中点,
∴BD=DE,
∵AD⊥BC,∴AB=AE,
∵EF是线段AC的垂直平分线,
∴AE=CE,∴AB=CE;
(2)若∠C=32°,求∠BAC的度数.
【解析】(2)∵EF是线段AC的垂直平分线,
∴∠AFE=∠CFE,
∵AE=CE,
∴△AEF≌△CEF,
∵∠C=32°,
∴∠C=∠EAC=32°,
∴∠AEB=∠C+∠EAC=64°,
由(1)可得∠B=∠AEB=64°,
∴∠BAE=180°-∠B-∠AEB=180°-64°-64°=52°,
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=52°+32°=84°.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(模型观念、几何直观、推理能力)如图,在四边形ABCD中,∠D=∠DCB=90°,E为CD的中点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F.
(1)求证:AD=FC;
【解析】(1)∵E为CD的中点,∴DE=CE,
在△ADE和△FCE中,,
∴△ADE≌△FCE(ASA),
∴AD=FC.
(2)点B在线段AF的垂直平分线上,AB=10,CD=8,求四边形ABCD的面积.
【解析】(2)如图,连接BE,
由(1)已证:△ADE≌△FCE,∴AE=FE,
∵点B在线段AF的垂直平分线上,
∴BE垂直平分AF,∴FB=AB=10,
∵在四边形ABCD中,∠D=∠DCB=90°,CD=8,AD=FC,
∴四边形ABCD的面积为====40.
