等腰三角形(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 等腰三角形的判定
1.在△ABC中,∠B=∠C,AB=6 cm,则AC的长为(C)
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm
2.下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是 (B)
A.a=3,b=3,c=4
B.a∶b∶c=2∶3∶4
C.∠B=50°,∠C=80°
D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
3.如图,在△ABC中,点O是△ABC内一点,OD垂直平分AB,若∠OBC=∠OCB,OC=4,则点A,O之间的距离为(A)
A.4 B.8 C.2 D.6
4.(2024·安阳期中)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,角平分线BE交AD于点F,交AC于点E.求证:△AFE是等腰三角形.
【证明】∵∠BAC=90°,
∴∠ABE+∠AEB=90°,
∵AD是△ABC斜边BC上的高,
∴AD⊥BC,∠EBD+∠BFD=90°,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBD,
∴∠AEB=∠BFD,
∵∠BFD=∠AFE,
∴∠AEB=∠AFE,
∴△AFE是等腰三角形.
知识点2 等腰三角形的性质和判定的综合应用
5.如图,DE=11,FG=3,BF,CG分别平分∠ABC,∠ACB,DE∥BC.则BD+CE=(D)
A.3 B.11 C.7 D.8
6.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为 80 海里.
7.(2024·广州期中)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC上的一点,DE∥AB,交AC于点E.
(1)若∠A=50°,求∠B的度数;
【解析】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵∠B+∠C=180°-∠A=180°-50°=130°,
∴∠B=65°.
(2)试说明△CDE是等腰三角形.
【解析】(2)∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∵DE∥AB,∴∠B=∠CDE,
∴∠C=∠CDE,∴CE=DE.
∴△CDE是等腰三角形.
知识点3 作等腰三角形
8.用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹,并写出结论.已知:线段a和∠α.求作:等腰△ABC,使得AB=AC=a,∠A=∠α.
【解析】如图,等腰△ABC为所作.
【B层 能力进阶】
9.如图,在△ABC中,CD和BE分别是∠ACB,∠ABC的平分线,DE∥BC,与AC交于点P,若BD=6,CP=3.5,则EP的长为(D)
A.4 B.3.5 C.3 D.2.5
10.如图,已知在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,且OM∥AB,ON∥AC,若CB=6,则△OMN的周长是 6 .
11.如图,点P在△ABC内部,BP平分∠ABC,AP⊥BP,连接PC.若△PBC的面积为1,则△ABC的面积为 2 .
12.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,E为边BC上的点,且AB=AE,D为线段BE的中点,过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF,EF相交于点F.
(1)求证:∠C=∠BAD;
【证明】(1)∵AB=AE,D为BE的中点,
∴AD⊥BE(等腰三角形三线合一),
∵∠BAC=∠BDA=90°,
∴∠B+∠C=∠B+∠BAD,
∴∠C=∠BAD;
(2)求证:AC=EF.
【证明】(2)∵AF∥BC,
∴∠EAF=∠AEB,
∵AB=AE,
∴∠ABE=∠AEB,
∴∠EAF=∠ABC,
又∵∠BAC=∠AEF=90°,
∴△ABC≌△EAF(ASA),
∴AC=EF.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力)已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.
(1)如图①,若点E,F分别为AB,AC上的点,且DE⊥DF,求证:BE=AF;
【解析】(1)连接AD,如图所示.
∵∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC的中点,
∴∠B=45°,∠BAD=∠FAD=45°,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠B=∠FAD,
∴AD=BD,
∵AD⊥BC,DE⊥DF
∴∠BDE+∠EDA=90°,∠EDA+∠ADF=90°,
∴∠BDE=∠ADF,
在△BDE和△ADF中,,
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴BE=AF;
(2)若点E,F分别为AB,CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗 请利用图②说明理由.
【解析】(2)BE=AF,理由如下:
连接AD,如图所示.
∵∠ABD=∠BAD=45°,
∴∠EBD=∠FAD=135°.
∵∠EDB+∠BDF=90°,∠BDF+∠FDA=90°,
∴∠EDB=∠FDA.
在△EDB和△FDA中,,
∴△EDB≌△FDA(ASA),
∴BE=AF. 等腰三角形(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 等腰三角形的判定
1.在△ABC中,∠B=∠C,AB=6 cm,则AC的长为( )
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.7 cm
2.下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是 ( )
A.a=3,b=3,c=4
B.a∶b∶c=2∶3∶4
C.∠B=50°,∠C=80°
D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
3.如图,在△ABC中,点O是△ABC内一点,OD垂直平分AB,若∠OBC=∠OCB,OC=4,则点A,O之间的距离为( )
A.4 B.8 C.2 D.6
4.(2024·安阳期中)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,角平分线BE交AD于点F,交AC于点E.求证:△AFE是等腰三角形.
知识点2 等腰三角形的性质和判定的综合应用
5.如图,DE=11,FG=3,BF,CG分别平分∠ABC,∠ACB,DE∥BC.则BD+CE=( )
A.3 B.11 C.7 D.8
6.如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处,则N处与灯塔P的距离为 海里.
7.(2024·广州期中)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC上的一点,DE∥AB,交AC于点E.
(1)若∠A=50°,求∠B的度数;
(2)试说明△CDE是等腰三角形.
知识点3 作等腰三角形
8.用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹,并写出结论.已知:线段a和∠α.求作:等腰△ABC,使得AB=AC=a,∠A=∠α.
【B层 能力进阶】
9.如图,在△ABC中,CD和BE分别是∠ACB,∠ABC的平分线,DE∥BC,与AC交于点P,若BD=6,CP=3.5,则EP的长为( )
A.4 B.3.5 C.3 D.2.5
10.如图,已知在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,且OM∥AB,ON∥AC,若CB=6,则△OMN的周长是 .
11.如图,点P在△ABC内部,BP平分∠ABC,AP⊥BP,连接PC.若△PBC的面积为1,则△ABC的面积为 .
12.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,E为边BC上的点,且AB=AE,D为线段BE的中点,过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF,EF相交于点F.
(1)求证:∠C=∠BAD;
(2)求证:AC=EF.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(几何直观、推理能力)已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.
(1)如图①,若点E,F分别为AB,AC上的点,且DE⊥DF,求证:BE=AF;
(2)若点E,F分别为AB,CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗 请利用图②说明理由. 等腰三角形(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 等边对等角
1.(2024·南宁期中)在△ABC中,AB=AC,∠B=35°,则∠A等于(C)
A.90° B.100° C.110° D.120°
2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=24°,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则∠D的度数为(A)
A.39° B.40° C.49° D.51°
3.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)已知△ABC是等腰三角形.若∠A=40°,则△ABC的顶角度数是 40°或100° .
4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=75°,BD是AC边上的高,则∠ABD的度数为 60° .
5.如图,在△ABC中,∠A=40°,点D,E分别在边AB,AC上,BD=BC=CE,连接CD,BE.若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE的度数.
【解析】∵∠ABC=80°,BD=BC,
∴∠BDC=∠BCD=50°.
∵∠A=40°,∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠ACB=60°,
∵CE=BC,∴∠EBC=60°.
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=20°.
知识点2 三线合一
6.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为(C)
A.35° B.45° C.55° D.60°
7.(2024·岳阳期中)如图,AC,AD分别为△ABE的中线和高,AC=AE,AD=5,DE=2,则△ABE的面积为(D)
A.5 B.10 C.15 D.20
8.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,AD是BC边上的中线,且BD=BE,则∠ADE的大小为 20° .
9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的角平分线.以点A为圆心,AD长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,连接DE,DF.若∠BAC=80°,求∠BDE的度数.
【解析】∵∠BAC=80°,AD为△ABC的角平分线,∴∠EAD=40°
由作图可得AE=AD,
∴∠ADE=70°,
∵AB=AC,AD为△ABC的角平分线,
∴AD⊥BC,∴∠BDE=20°.
【B层 能力进阶】
10.(2023·凉山州中考)如图,在等腰△ABC中,∠A=40°,分别以点A,点B为圆心,大于AB为半径画弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN,直线MN与AC交于点D,连接BD,则∠DBC的度数是(B)
A.20° B.30° C.40° D.50°
11.如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是(B)
A.20° B.35° C.40° D.70°
12.如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为AC上一点,E为AB上一点,且BC=BD, AD=DE=BE,那么∠A的度数为(B)
A.36° B.45° C.60° D.75°
13.如图,△ABC中,∠BAC=105°,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F,则∠EAF的度数为 30° .
14.(2024·泰州期中)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且AD=BD.
(1)求证:∠ADB=∠BAC;
【解析】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C,
∴∠BAC=180°-(∠B+∠C)=180°-2∠B,
∵AD=BD,∴∠BAD=∠B,
∴∠ADB=180°-(∠B+∠BAD)=180°-2∠B,∴∠ADB=∠BAC;
(2)若∠DAC=2∠BAD,求∠C的度数.
【解析】(2)设∠B=x,∴∠B=∠C=∠BAD=x,
∵∠DAC=2∠BAD,∴∠DAC=2x,
∵∠B+∠BAC+∠C=180°,
∴x+(x+2x)+x=180°,解得x=36°,
∴∠C=36°.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(几何直观、推理能力、应用意识)小马和小虎在解这样一道题:“如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E在边AB上,AE=AC,BD=BC,求∠DCE的度数.”他们经过商量后,结论不一致,小马说:“∠DCE的值与∠B的度数有关,只有知道∠B的度数才能求出∠DCE的度数.”小虎说:“∠DCE的度数是一个定值,与∠B的度数无关.”他们谁说的正确 请说明理由.
【解析】小虎说的正确.
理由:∵BD=BC,∴∠BCD=∠BDC.
又∵∠BCD=∠DCE+∠BCE,∠BDC=∠ACD+∠A,
∴∠BCE+∠DCE=∠ACD+∠A①,
∵AE=AC,∴∠CED=∠ECA.
∵∠CED=∠BCE+∠B,∠ECA=∠ACD+∠DCE,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠B②,
∴①+②,得2∠DCE=∠A+∠B.
∵∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°,
∴2∠DCE=90°.∴∠DCE=45°.
∴∠DCE的度数是一个定值,与∠B的度数无关. 等腰三角形(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 等边对等角
1.(2024·南宁期中)在△ABC中,AB=AC,∠B=35°,则∠A等于( )
A.90° B.100° C.110° D.120°
2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=24°,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则∠D的度数为( )
A.39° B.40° C.49° D.51°
3.(易错警示题·分类讨论遗漏情况)已知△ABC是等腰三角形.若∠A=40°,则△ABC的顶角度数是 .
4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=75°,BD是AC边上的高,则∠ABD的度数为 .
5.如图,在△ABC中,∠A=40°,点D,E分别在边AB,AC上,BD=BC=CE,连接CD,BE.若∠ABC=80°,求∠BDC,∠ABE的度数.
知识点2 三线合一
6.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,∠BAD=35°,则∠C的度数为( )
A.35° B.45° C.55° D.60°
7.(2024·岳阳期中)如图,AC,AD分别为△ABE的中线和高,AC=AE,AD=5,DE=2,则△ABE的面积为( )
A.5 B.10 C.15 D.20
8.如图,△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,AD是BC边上的中线,且BD=BE,则∠ADE的大小为 .
9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD为△ABC的角平分线.以点A为圆心,AD长为半径画弧,与AB,AC分别交于点E,F,连接DE,DF.若∠BAC=80°,求∠BDE的度数.
【B层 能力进阶】
10.(2023·凉山州中考)如图,在等腰△ABC中,∠A=40°,分别以点A,点B为圆心,大于AB为半径画弧,两弧分别交于点M和点N,连接MN,直线MN与AC交于点D,连接BD,则∠DBC的度数是( )
A.20° B.30° C.40° D.50°
11.如图,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是( )
A.20° B.35° C.40° D.70°
12.如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为AC上一点,E为AB上一点,且BC=BD, AD=DE=BE,那么∠A的度数为( )
A.36° B.45° C.60° D.75°
13.如图,△ABC中,∠BAC=105°,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点E,F,则∠EAF的度数为 .
14.(2024·泰州期中)已知:如图,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且AD=BD.
(1)求证:∠ADB=∠BAC;
(2)若∠DAC=2∠BAD,求∠C的度数.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(几何直观、推理能力、应用意识)小马和小虎在解这样一道题:“如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E在边AB上,AE=AC,BD=BC,求∠DCE的度数.”他们经过商量后,结论不一致,小马说:“∠DCE的值与∠B的度数有关,只有知道∠B的度数才能求出∠DCE的度数.”小虎说:“∠DCE的度数是一个定值,与∠B的度数无关.”他们谁说的正确 请说明理由.
