等边三角形
【A层 基础夯实】
知识点1 等边三角形的性质和判定
1.如图,在等边△ABC中,∠1=( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
2.如图,AB∥CD,△ACE为等边三角形,∠DCE=40°,则∠EAB等于( )
A.40° B.30° C.20° D.15°
3.如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,若AB=5,BD=3,则四边形BDEC的周长为( )
A.8 B.9 C.13 D.15
4.(2024·北京期中)如图,AB=AC=6 cm,DB=DC,若∠ABC=60°,则BE= cm.
5.(易错警示题·概念不清)如图,以AB为边,在AB的同侧分别作正五边形和等边三角形,连接DC,则∠ACD的度数是 .
6.如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,PQ=3, PE=1.
(1)求证:AD=BE;
(2)求AD的长.
知识点2 含30°角的直角三角形的性质
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=4,则AB的长是( )
A.8 B.1 C.2 D.4
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的垂直平分线,BE=6,则AC= .
9.如图,已知∠AOB=30°,P是∠AOB的平分线OC上的任意一点,PD∥OA交OB于点D,PE⊥OA于点E,如果OD=10 cm,求PE的长.
【B层 能力进阶】
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,CD是△ABC的高,且BD=1,则AD的长为( )
A.2.5 B.3 C.3.5 D.4
11.如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是( )
A.80° B.100° C.120° D.140°
12.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放,若∠1=60°,则△ABC是( )
A.不等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
13.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=30°,且△ABC的面积是4,则AB的长为 .
14.(2024·常州期中)如图,△ABC与△BDE均为等边三角形,点D在AC边上,若
∠CDE = 32°,则∠CBD的度数为 .
15.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠BAD=60°,点E为AD上一点,连接BD,CE相交于点F,CE∥AB.
(1)判断△DEF的形状,并说明理由.
(2)若AD=10,CE=8,求CF的长.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(几何直观、推理能力、应用意识)如图,在△ABC中,AC=10.
(1)如图①,分别以AB,BC为边,向外作等边△ABD和等边△BCE,连接AE,CD,则AE
CD.(填“>”“<”或“=”)
(2)如图②,分别以AB,BC为腰,向内作等腰△ABD和等腰△BCE,∠ABD=∠CBE<∠ABC,连接AE,CD.猜想AE与CD的数量关系,并说明理由.
(3)如图③,以AB为腰向内作等腰△ABD,以BC为腰向外作等腰△BCE,且∠ABD=∠CBE,连接AE,DE,已知点A到直线DE的距离为4,AE=12,求DE的长及点D到直线AE的距离. 等边三角形
【A层 基础夯实】
知识点1 等边三角形的性质和判定
1.如图,在等边△ABC中,∠1=(C)
A.60° B.90° C.120° D.150°
2.如图,AB∥CD,△ACE为等边三角形,∠DCE=40°,则∠EAB等于(C)
A.40° B.30° C.20° D.15°
3.如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,若AB=5,BD=3,则四边形BDEC的周长为(C)
A.8 B.9 C.13 D.15
4.(2024·北京期中)如图,AB=AC=6 cm,DB=DC,若∠ABC=60°,则BE= 3 cm.
5.(易错警示题·概念不清)如图,以AB为边,在AB的同侧分别作正五边形和等边三角形,连接DC,则∠ACD的度数是 66° .
6.如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q,PQ=3, PE=1.
(1)求证:AD=BE;
【解析】(1)∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠C=60°,AB=AC,
又∵AE=CD,∴△ABE≌△CAD(SAS),
∴AD=BE;
(2)求AD的长.
【解析】(2)∵△ABE≌△CAD,
∴∠ABE=∠CAD,
∴∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°,
又∵BQ⊥PQ,
∴∠PBQ=30°,
∴PB=2PQ=6,
∴BE=PB+PE=7,
∴AD=BE=7.
知识点2 含30°角的直角三角形的性质
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=4,则AB的长是(A)
A.8 B.1 C.2 D.4
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=15°,DE是AB的垂直平分线,BE=6,则AC= 3 .
9.如图,已知∠AOB=30°,P是∠AOB的平分线OC上的任意一点,PD∥OA交OB于点D,PE⊥OA于点E,如果OD=10 cm,求PE的长.
【解析】过P作PF⊥OB交OB于F,
∵∠AOB=30°,OC平分∠AOB,
∴∠AOC=∠BOC=15°,
∵PD∥OA,∴∠DPO=∠AOP=15°,
∴∠BOC=∠DPO,∴PD=OD=10 cm,
∵∠AOB=30°,PD∥OA,∴∠BDP=30°,
∴在Rt△PDF中,PF=PD=5 cm,
∵OC为角平分线,PE⊥OA,PF⊥OB,
∴PE=PF=5 cm.
【B层 能力进阶】
10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,CD是△ABC的高,且BD=1,则AD的长为(B)
A.2.5 B.3 C.3.5 D.4
11.如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是(B)
A.80° B.100° C.120° D.140°
12.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放,若∠1=60°,则△ABC是(D)
A.不等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
13.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=30°,且△ABC的面积是4,则AB的长为 4 .
14.(2024·常州期中)如图,△ABC与△BDE均为等边三角形,点D在AC边上,若
∠CDE = 32°,则∠CBD的度数为 28° .
15.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,∠BAD=60°,点E为AD上一点,连接BD,CE相交于点F,CE∥AB.
(1)判断△DEF的形状,并说明理由.
【解析】(1)△DEF是等边三角形,理由如下:
∵AB=AD,∠BAD=60°,∴△ABD是等边三角形,∴∠ABD=∠ADB=60°,
∵CE∥AB,∴∠CED=∠A=60°,∠DFE=∠ABD=60°,
∴∠CED=∠ADB=∠DFE=60°,∴△DEF是等边三角形;
(2)若AD=10,CE=8,求CF的长.
【解析】(2)如图,连接AC交BD于点O,
∵AB=AD,CB=CD,
∴AC是BD的垂直平分线,
即AC⊥BD.
∵AB=AD,∠BAD=60°,
∴∠BAC=∠DAC=30°.
∵CE∥AB,
∴∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°,
∴AE=CE=8,
∴DE=AD-AE=10-8=2.
∵△DEF是等边三角形,
∴EF=DE=2,
∴CF=CE-EF=8-2=6.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(几何直观、推理能力、应用意识)如图,在△ABC中,AC=10.
(1)如图①,分别以AB,BC为边,向外作等边△ABD和等边△BCE,连接AE,CD,则AE
CD.(填“>”“<”或“=”)
【解析】(1)∵△ABD和△BCE为等边三角形,
∴BD=BA,BC=BE,∠DBA=∠CBE,∴∠DBA+∠ABC=∠CBE+∠ABC,即∠DBC=∠ABE,
在△DBC和△ABE中,,
∴△DBC≌△ABE(SAS),∴AE=CD;
答案:=
(2)如图②,分别以AB,BC为腰,向内作等腰△ABD和等腰△BCE,∠ABD=∠CBE<∠ABC,连接AE,CD.猜想AE与CD的数量关系,并说明理由.
【解析】(2)AE=CD,理由如下:
∵△ABD和△BCE为等腰三角形,
∴BD=BA,BC=BE,
∵∠DBA=∠CBE,
∴∠DBA+∠DBE=∠CBE+∠DBE,
即∠ABE=∠DBC,
在△ABE和△DBC中,,
∴△ABE≌△DBC(SAS),
∴AE=CD.
(3)如图③,以AB为腰向内作等腰△ABD,以BC为腰向外作等腰△BCE,且∠ABD=∠CBE,连接AE,DE,已知点A到直线DE的距离为4,AE=12,求DE的长及点D到直线AE的距离.
【解析】(3)∵△ABD和△BCE为等腰三角形,且∠ABD=∠CBE,
∴BD=BA,BC=BE,
∵∠ABD=∠CBE,
∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC,
即∠ABC=∠DBE,
在△ABC和△DBE中,,
∴△ABC≌△DBE(SAS),
∴AC=DE=10,
设D到直线AE的距离为h,
∵点A到直线DE的距离为4,AE=12,
∴S△ADE=×10×4=×12·h,
∴h=,
即点D到直线AE的距离为.
