公式法(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 x2-y2=(x+y)(x-y)公式法分解因式
1.(2024·济宁质检)给出下列各式:x2-y2,-x2+y2,(-x)2+(-y)2,-x2-y2,x4-y4,其中能进行因式分解的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2023·杭州中考)分解因式:4a2-1= ( )
A.(2a-1)(2a+1) B.(a-2)(a+2)
C.(a-4)(a+1) D.(4a-1)(a+1)
3.下列各式分解因式正确的是 ( )
A.9x2-1=(9x+1)(9x-1)
B.a4-1=(a2+1)(a2-1)
C.-81a2-b2=-(9a-b)(9a+b)
D.(-a)3+ab2=-a(a+b)(a-b)
4.a2-(b-c)2有一个因式是a+b-c,则它的另一个因式是 ( )
A.a-b-c B.a-b+c
C.a+b-c D.a+b+c
5.(2023·菏泽中考)因式分解:m3-4m= .
6.分解因式:(1)-9a2+b2;
(2)3x2y-27y;
(3)(3m-1)2-(2m-3)2.
知识点2 x2-y2=(x+y)(x-y)分解因式的应用
7.若a,b,c是三角形的三边长,则式子(a-b)2-c2的值 ( )
A.小于0 B.等于0
C.大于0 D.不能确定
8.已知x-2y=4,x+2y=5,则3x2-12y2的值为 ( )
A.20 B.40 C.60 D.80
9.对于任何整数m,多项式(2m+3)2-25都能被下列各式中的哪一项整除 ( )
A.4 B.6 C.m+1 D.m-4
10.计算:7582-2422= .
11.如图1,在一个边长为a的正方形中,剪去一个边长为b的小正方形,再将余下的部分拼成如图2所示的长方形.
【观察】比较两图中阴影部分的面积,可以得到等式 (用字母a,b表示);
【应用】已知2m-n=3,2m+n=4,求8m2-2n2的值.
【B层 能力进阶】
12.将xn+1-xn-1因式分解,结果正确的是 ( )
A.xn-1(x2-1) B.xn(1-x-1)
C.xn(x-x-1) D.xn-1(x+1)(x-1)
13.小明在抄分解因式的题目时,不小心漏抄了x的指数,他只知道该数为不大于10的正整数,并且能利用平方差公式分解因式,他抄在作业本上的式子是x□-4y2(“□”表示漏抄的指数),则这个指数可能的结果共有 ( )
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
14.若一个等腰三角形的两边m,n满足9m2-n2=-13,3m+n=13,则该等腰三角形的周长为 ( )
A.11 B.13
C.16 D.11或16
15.小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息: a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分别对应下列六个字:中、爱、我、一、游、美.现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是 ( )
A.美游一中 B.游我一中
C.我爱一中 D.美我一中
16.(2023·淄博中考)分解因式:2a2-8b2= .
17.分解因式:-(a+b)2+1= .
18.因式分解:(x+2)(x-8)+6x= .
19.因式分解:(1)x2(a-b)+9(b-a);
(2)-16a2.
【C层 创新挑战(选做)】
20.(推理能力、应用意识)
观察下列各式:
a2-b2=(a-b)(a+b),
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),
a4-b4=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3),
…
(1)按此规律,则a5-b5=
(2)若a-=3,你能根据上述规律求出式子a3-的值吗
(3)若a-=3,直接写出式子a5-= . 公式法(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 x2-y2=(x+y)(x-y)公式法分解因式
1.(2024·济宁质检)给出下列各式:x2-y2,-x2+y2,(-x)2+(-y)2,-x2-y2,x4-y4,其中能进行因式分解的有 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2023·杭州中考)分解因式:4a2-1= (A)
A.(2a-1)(2a+1) B.(a-2)(a+2)
C.(a-4)(a+1) D.(4a-1)(a+1)
3.下列各式分解因式正确的是 (D)
A.9x2-1=(9x+1)(9x-1)
B.a4-1=(a2+1)(a2-1)
C.-81a2-b2=-(9a-b)(9a+b)
D.(-a)3+ab2=-a(a+b)(a-b)
4.a2-(b-c)2有一个因式是a+b-c,则它的另一个因式是 (B)
A.a-b-c B.a-b+c
C.a+b-c D.a+b+c
5.(2023·菏泽中考)因式分解:m3-4m= m(m+2)(m-2) .
6.分解因式:(1)-9a2+b2;
(2)3x2y-27y;
(3)(3m-1)2-(2m-3)2.
【解析】(1)-9a2+b2=b2-9a2=(b+3a)(b-3a).
(2)原式=3y(x2-9)=3y(x+3)(x-3).
(3)原式=[(3m-1)+(2m-3)][(3m-1)-(2m-3)]=(5m-4)(m+2).
知识点2 x2-y2=(x+y)(x-y)分解因式的应用
7.若a,b,c是三角形的三边长,则式子(a-b)2-c2的值 (A)
A.小于0 B.等于0
C.大于0 D.不能确定
8.已知x-2y=4,x+2y=5,则3x2-12y2的值为 (C)
A.20 B.40 C.60 D.80
9.对于任何整数m,多项式(2m+3)2-25都能被下列各式中的哪一项整除 (A)
A.4 B.6 C.m+1 D.m-4
10.计算:7582-2422= 516 000 .
11.如图1,在一个边长为a的正方形中,剪去一个边长为b的小正方形,再将余下的部分拼成如图2所示的长方形.
【观察】比较两图中阴影部分的面积,可以得到等式:a2-b2=(a+b)(a-b)
(用字母a,b表示);
【应用】已知2m-n=3,2m+n=4,求8m2-2n2的值.
【解析】【观察】
【应用】8m2-2n2=2(4m2-n2)=2[(2m)2-n2]=2(2m+n)(2m-n).
∵2m-n=3,2m+n=4,
∴8m2-2n2=2×4×3=24.
【B层 能力进阶】
12.将xn+1-xn-1因式分解,结果正确的是 (D)
A.xn-1(x2-1) B.xn(1-x-1)
C.xn(x-x-1) D.xn-1(x+1)(x-1)
13.小明在抄分解因式的题目时,不小心漏抄了x的指数,他只知道该数为不大于10的正整数,并且能利用平方差公式分解因式,他抄在作业本上的式子是x□-4y2(“□”表示漏抄的指数),则这个指数可能的结果共有 (D)
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
14.若一个等腰三角形的两边m,n满足9m2-n2=-13,3m+n=13,则该等腰三角形的周长为 (C)
A.11 B.13
C.16 D.11或16
15.小强是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中,有这样一条信息: a-b,x-y,x+y,a+b,x2-y2,a2-b2分别对应下列六个字:中、爱、我、一、游、美.现将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解,结果呈现的密码信息可能是 (C)
A.美游一中 B.游我一中
C.我爱一中 D.美我一中
16.(2023·淄博中考)分解因式:2a2-8b2= 2(a+2b)(a-2b) .
17.分解因式:-(a+b)2+1=(1-a-b)(1+a+b).
18.因式分解:(x+2)(x-8)+6x=(x+4)(x-4).
19.因式分解:(1)x2(a-b)+9(b-a);
(2)-16a2.
【解析】(1)x2(a-b)+9(b-a)=(a-b)(x2-9)=(a-b)(x+3)(x-3).
(2)-16a2=(a2+1+4a)(a2+1-4a).
【C层 创新挑战(选做)】
20.(推理能力、应用意识)
观察下列各式:
a2-b2=(a-b)(a+b),
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),
a4-b4=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3),
…
(1)按此规律,则a5-b5=(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4);
(2)若a-=3,你能根据上述规律求出式子a3-的值吗
(3)若a-=3,直接写出式子a5-=393.
【解析】(1)a5-b5=(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4).
(2)a3-=
=
==3×(9+3)=36;
(3)a5-=
=
=[(a2+)2-2+(a-)2+2+1]
={ -2++2+1}=3×[(9+2)2-2+9+2+1]=3×131=393. 公式法(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 完全平方式
1.下列多项式中,为完全平方式的是 (B)
A.x2-x+ B.x2+x+
C.x2+xy+y2 D.9+x2-3x
2.若y2+12y+k2是完全平方式,则k= ±6 .
3.如果x2+(n-3)x+16是个完全平方式,那么n的值是 11或-5 .
知识点2 a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式
4.下列因式分解正确的是 (B)
A.2ax2-4ax=2a(x2-2x)
B.-ax2+4ax-4a=-a(x-2)2
C.x2+2xy+4y2=(x+2y)2
D.-m2+n2=(-m+n)(-m-n)
5.因式分解a2b-2ab+b正确的是 (D)
A.b(a2-2a) B.ab(a-2)
C.b(a2-2a+1) D.b(a-1)2
6.若x2-6x+m=(x-n)2,那么m,n的值分别是 (B)
A.3,3 B.9,3 C.3,-3 D.9,-3
7.(2023·东营中考)因式分解:3ma2-6mab+3mb2= 3m(a-b)2 .
8.分解因式:(1)a2-14ab+49b2.
(2)4a2-12ab+9b2.
(3)2mn-m2-n2.
(4)(m+n)2-4m(m+n)+4m2.
【解析】(1)原式=(a-7b)2.
(2)原式=(2a-3b)2.
(3)原式=-(m-n)2.
(4)原式=(m+n)2-2·2m(m+n)+(2m)2=(m+n-2m)2=(n-m)2.
知识点3 a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式的应用
9.已知a+b=1,ab=-6,则a3b-2a2b2+ab3的值为 (D)
A.57 B.120 C.-39 D.-150
10.2.12+2×2.1×7.4+7.42-6.52的值为 (A)
A.48 B.47 C.46 D.45
11.若|a+2|+a2-4ab+4b2=0,则a= -2 ,b= -1 .
12.若一个正方形的面积为a2+a+,则此正方形的周长为 |4a+2| .
【B层 能力进阶】
13.下列各式中,能用公式法分解因式的有 (B)
①-x2-y2;②-a2b2+1;③a2+ab+b2;
④-x2+2xy-y2;⑤-mn+m2n2.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
14.把a4b-6a3b+9a2b分解因式的正确结果是 (D)
A.a2b(a2-6a+9) B.a2b(a+3)(a-3)
C.b(a2-3) D.a2b(a-3)2
15.已知a=5+4b,则代数式a2-8ab+16b2的值是 (C)
A.16 B.20 C.25 D.30
16.已知二次三项式x2-kx-15能分解成系数为整数的两个一次因式的积,则整数k的取值有(D)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
17.(2023·恩施中考)因式分解:a(a-2)+1= (a-1)2 .
18.(易错警示题·隐含条件未挖掘)若x2+2(m+3)x+9是关于x的完全平方式,则m= 0或-6 .
19.若a+b=8,ab=15,则a2+ab+b2= 49 .
20.因式分解:
(1)3b(a-b)+a2-ab;
(2)(x2+1)2-4x2.
【解析】(1)3b(a-b)+a2-ab=3b(a-b)+a(a-b)=(a-b)(3b+a).
(2)(x2+1)2-4x2=(x2+1+2x)(x2+1-2x)=(x+1)2(x-1)2.
【C层 创新挑战(选做)】
21.(抽象能力、运算能力、应用意识)
(2024·襄阳期末)阅读下列材料:
在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小涵同学用换元法对多项式(x2-4x+1)(x2-4x+7)+9进行因式分解的过程.
解:设x2-4x=y
原式=(y+1)(y+7)+9(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步)
请根据上述材料回答下列问题:
(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的C;
A.提取公因式法
B.平方差公式法
C.完全平方公式法
(2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果: (x-2)4;
【解析】(2)(x2-4x+1)(x2-4x+7)+9,设x2-4x=y,
原式=(y+1)(y+7)+9=y2+8y+16=(y+4)2=(x2-4x+4)2=(x-2)4;
(3)请你用换元法对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解.
【解析】(3)设x2+2x=y,
原式=y(y+2)+1=y2+2y+1=(y+1)2=(x2+2x+1)2=(x+1)4. 公式法(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 完全平方式
1.下列多项式中,为完全平方式的是 ( )
A.x2-x+ B.x2+x+
C.x2+xy+y2 D.9+x2-3x
2.若y2+12y+k2是完全平方式,则k= .
3.如果x2+(n-3)x+16是个完全平方式,那么n的值是 .
知识点2 a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式
4.下列因式分解正确的是 ( )
A.2ax2-4ax=2a(x2-2x)
B.-ax2+4ax-4a=-a(x-2)2
C.x2+2xy+4y2=(x+2y)2
D.-m2+n2=(-m+n)(-m-n)
5.因式分解a2b-2ab+b正确的是 ( )
A.b(a2-2a) B.ab(a-2)
C.b(a2-2a+1) D.b(a-1)2
6.若x2-6x+m=(x-n)2,那么m,n的值分别是 ( )
A.3,3 B.9,3 C.3,-3 D.9,-3
7.(2023·东营中考)因式分解:3ma2-6mab+3mb2= .
8.分解因式:(1)a2-14ab+49b2.
(2)4a2-12ab+9b2.
(3)2mn-m2-n2.
(4)(m+n)2-4m(m+n)+4m2.
知识点3 a2±2ab+b2=(a±b)2分解因式的应用
9.已知a+b=1,ab=-6,则a3b-2a2b2+ab3的值为 ( )
A.57 B.120 C.-39 D.-150
10.2.12+2×2.1×7.4+7.42-6.52的值为 ( )
A.48 B.47 C.46 D.45
11.若|a+2|+a2-4ab+4b2=0,则a= ,b= .
12.若一个正方形的面积为a2+a+,则此正方形的周长为 .
【B层 能力进阶】
13.下列各式中,能用公式法分解因式的有 ( )
①-x2-y2;②-a2b2+1;③a2+ab+b2;
④-x2+2xy-y2;⑤-mn+m2n2.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
14.把a4b-6a3b+9a2b分解因式的正确结果是 ( )
A.a2b(a2-6a+9) B.a2b(a+3)(a-3)
C.b(a2-3) D.a2b(a-3)2
15.已知a=5+4b,则代数式a2-8ab+16b2的值是 ( )
A.16 B.20 C.25 D.30
16.已知二次三项式x2-kx-15能分解成系数为整数的两个一次因式的积,则整数k的取值有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
17.(2023·恩施中考)因式分解:a(a-2)+1= .
18.(易错警示题·隐含条件未挖掘)若x2+2(m+3)x+9是关于x的完全平方式,则m= .
19.若a+b=8,ab=15,则a2+ab+b2= .
20.因式分解:
(1)3b(a-b)+a2-ab;
(2)(x2+1)2-4x2.
【C层 创新挑战(选做)】
21.(抽象能力、运算能力、应用意识)
(2024·襄阳期末)阅读下列材料:
在因式分解中,把多项式中某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替(即换元),不仅可以简化要分解的多项式的结构,而且能使式子的特点更加明显,便于观察如何进行因式分解,我们把这种因式分解的方法称为“换元法”.下面是小涵同学用换元法对多项式(x2-4x+1)(x2-4x+7)+9进行因式分解的过程.
解:设x2-4x=y
原式=(y+1)(y+7)+9(第一步)
=y2+8y+16(第二步)
=(y+4)2(第三步)
=(x2-4x+4)2(第四步)
请根据上述材料回答下列问题:
(1)小涵同学的解法中,第二步到第三步运用了因式分解的 ;
A.提取公因式法
B.平方差公式法
C.完全平方公式法
(2)老师说,小涵同学因式分解的结果不彻底,请你写出该因式分解的最后结果: ;
(3)请你用换元法对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)+1进行因式分解.
