分式方程(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 分式方程的概念及解法
1.有下列方程:①2x+=10;②x-=2;③-3=0;④+=0.属于分式方程的有( )
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
2.解分式方程1-=时,去分母后得到的方程是( )
A.1+1=2x B.(2-x)-1=2x
C.(x-2)-1=2x D.x-2+1=2x
3.(2023·兰州中考)方程=1的解是( )
A.x=1 B.x=-1 C.x=5 D.x=-5
4.(2023·山西中考)解方程:+1=.
知识点2 根据分式方程的根的情况求参数
5.(2023·齐齐哈尔中考)如果关于x的分式方程=1的解是负数,那么实数m的取值范围是( )
A.m<-1 B.m>-1且m≠0
C.m>-1 D.m<-1且m≠-2
6.(2023·聊城中考)若关于x的分式方程+1=的解为非负数,则m的取值范围是( )
A.m≤1且m≠-1 B.m≥-1且m≠1
C.m<1且m≠-1 D.m>-1且m≠1
7.已知关于x的方程-m-4=无解,求m的值.
【B层 能力进阶】
8.分式方程-=的解是( )
A.x= B.x= C.x=1 D.x=
9.(易错警示题·概念不清)若分式方程=a无解,则a的值为( )
A.1或-1 B.-2
C.1 D.1或-2
10.(2023·日照中考)若关于x的方程-2=的解为正数,则m的取值范围是( )
A.m>- B.m<
C.m>-且m≠0 D.m<且m≠
11.(易错警示题·隐含条件未挖掘)若关于x的不等式组的解集为x>4,且关于x的分式方程+1=有正整数解,则满足条件的所有整数m的和为( )
A.5 B.6 C.7 D.9
12.用换元法解方程-=3时,设=y,则原方程可化为 .
13.定义一种运算☆,规则为a☆b=+,根据这个规则,若x☆(x+1)=,则x= .
14.(2024·岳阳期末)若关于x的方程=有增根,则m= .
15.运算符号“”,称为二阶行列式,规定它的运算法则为:=ad-bc,请你根据上述规定,求出下列等式中x的值:=1.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(推理能力、应用意识)关于x+=3+这类方程,我们可以用对应法来求解.
解:原方程变为或;
解得x=3或x=.
(1)请用对应法解方程:x+=-.
(2)能否用对应法解方程:x+=5+,如果能,请用对应法求解;如果不能,请说明理由.
(3)如果方程x+=b+能用对应法求解,求a,b的值. 分式方程(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 分式方程解决工程问题
1.师傅和徒弟两人每小时一共做40个零件,在相同的时间内,师傅做了300个零件,徒弟做了100个零件.若设师傅每小时做x个零件,则可列方程为( )
A.= B.=
C.= D.=
2.为积极创建全国文明城市,甲、乙两工程队承包了我市某街道路面改造工程.若由甲、乙两工程队合做20天可以完成;若甲工程队先单独施工40天,再由乙工程队单独施工10天也可以完成.求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天.
知识点2 分式方程解决行程问题
3.某特快列车在最近一次的铁路大提速后,时速提高了30千米,则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时,若该列车提速前的速度是x千米/小时,下列所列方程正确的是 ( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
4.(2023·扬州中考)甲、乙两名学生到离校2.4 km的“人民公园”参加志愿者活动,甲同学步行,乙同学骑自行车,乙同学骑自行车速度是甲同学步行速度的4倍,甲出发30 min后乙同学出发,两名同学同时到达,求乙同学骑自行车的速度.
知识点3 分式方程解决其他问题
5.(2023·台州中考)3月12日植树节期间,某校环保小卫士组织植树活动.第一组植树12棵;第二组比第一组多6人,植树36棵;结果两组平均每人植树的棵数相等,则第一组有 人.
6.某大型超市进货员预测一种保健饮料能畅销市场,于是用4万元购进了第一批这种保健饮料.面市后,果然供不应求.超市又用8.8万元购进了第二批这种保健饮料,所购数量是第一批数量的2倍,但进货单价贵了2元.
(1)购进第一批保健饮料的数量是多少
(2)若超市销售这种保健饮料时每瓶定价都是28元,最后剩下100瓶保健饮料按8折销售,很快售完.售出这两批保健饮料,超市共盈利多少元
【B层 能力进阶】
7.某市为了解决城市拥堵问题,决定修建一条高架道路.为尽量减少施工对城市造成的影响,实际施工时工作效率比原计划提高了20%,结果提前4个月完成这一任务,设原计划x个月完成这一任务,根据题意可列方程为 ( )
A.= B.=
C.= D.=
8.某工程队承接了60万平方米的绿化工程,由于情况有变,….设原计划每天绿化的面积为x万平方米,列方程为-=30,根据方程可知省略的部分是 ( )
A.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%,结果提前30天完成了这一任务
B.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%,结果延误30天完成了这一任务
C.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%,结果延误30天完成了这一任务
D.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%,结果提前30天完成了这一任务
9.甲、乙两列客车的长分别为150米和200米,它们相向行驶在平行的轨道上,已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒,那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是 秒.
10.(2023·重庆中考A卷)某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品.
(1)该公司花费3 000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份,此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元,求购买两种食品各多少份.
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整,现该公司分别花费1 260元、1 200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品,已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%,每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元,求购买牛肉面多少份.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(推理能力、应用意识)周日琪琪要骑车从家去书店买书,一出家门,遇到了邻居亮亮,亮亮说:“今天有风,而且去时逆风,要吃亏了”,琪琪回答说:“去时逆风,回来时顺风,和无风往返一趟所用时间相同.”(顺风速度=无风时骑车速度+风速;逆风速度=无风时骑车速度-风速).
(1)如果家到书店的路程是12 km,无风时琪琪骑自行车的速度是8 km/h,她逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的倍,求风速是多少.
(2)如果设从家到书店的路程为s km,无风时骑车速度为v km/h,风速为
a km/h(v>a),分别求出有风往返一趟的时间和无风往返一趟的时间,请你通过计算说明琪琪和亮亮谁说得对.分式方程(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 分式方程的概念及解法
1.有下列方程:①2x+=10;②x-=2;③-3=0;④+=0.属于分式方程的有(B)
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
2.解分式方程1-=时,去分母后得到的方程是(D)
A.1+1=2x B.(2-x)-1=2x
C.(x-2)-1=2x D.x-2+1=2x
3.(2023·兰州中考)方程=1的解是(B)
A.x=1 B.x=-1 C.x=5 D.x=-5
4.(2023·山西中考)解方程:+1=.
【解析】由题意得最简公分母为2(x-1),
∴原方程可化为2+2x-2=3,∴x=.
检验:当x=时,2(x-1)=1≠0,且原方程左边=右边,
∴原方程的解为x=.
知识点2 根据分式方程的根的情况求参数
5.(2023·齐齐哈尔中考)如果关于x的分式方程=1的解是负数,那么实数m的取值范围是(D)
A.m<-1 B.m>-1且m≠0
C.m>-1 D.m<-1且m≠-2
6.(2023·聊城中考)若关于x的分式方程+1=的解为非负数,则m的取值范围是(A)
A.m≤1且m≠-1 B.m≥-1且m≠1
C.m<1且m≠-1 D.m>-1且m≠1
7.已知关于x的方程-m-4=无解,求m的值.
【解析】原方程可以化为(m+3)x=4m+8,由于方程无解,故有两种情况:
(1)若整式方程无实根,则m+3=0且4m+8≠0,∴m=-3;
(2)若整式方程的根是原方程的增根,则=3,∴m=1,经检验m=1是方程=3的解,综上所述,m=-3或m=1.
【B层 能力进阶】
8.分式方程-=的解是(D)
A.x= B.x= C.x=1 D.x=
9.(易错警示题·概念不清)若分式方程=a无解,则a的值为(A)
A.1或-1 B.-2
C.1 D.1或-2
10.(2023·日照中考)若关于x的方程-2=的解为正数,则m的取值范围是(D)
A.m>- B.m<
C.m>-且m≠0 D.m<且m≠
11.(易错警示题·隐含条件未挖掘)若关于x的不等式组的解集为x>4,且关于x的分式方程+1=有正整数解,则满足条件的所有整数m的和为(B)
A.5 B.6 C.7 D.9
12.用换元法解方程-=3时,设=y,则原方程可化为 y-=3 .
13.定义一种运算☆,规则为a☆b=+,根据这个规则,若x☆(x+1)=,则x= 1 .
14.(2024·岳阳期末)若关于x的方程=有增根,则m= -1 .
15.运算符号“”,称为二阶行列式,规定它的运算法则为:=ad-bc,请你根据上述规定,求出下列等式中x的值:=1.
【解析】转化=1为方程-=1,变形为+=1,
去分母,得2+1=x-1,解得x=4,
当x=4时,x-1=3≠0,
∴x=4是分式方程的解.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(推理能力、应用意识)关于x+=3+这类方程,我们可以用对应法来求解.
解:原方程变为或;
解得x=3或x=.
(1)请用对应法解方程:x+=-.
【解析】(1)方程整理得,x+=-2-,
解得x=-2或x=-.
(2)能否用对应法解方程:x+=5+,如果能,请用对应法求解;如果不能,请说明理由.
【解析】(2)方程整理得,x-1+=4+,可得x-1=4或x-1=,解得x=5或x=;
(3)如果方程x+=b+能用对应法求解,求a,b的值.
【解析】(3)方程整理得,x++=b++,
可得=1,b+=5,解得a=2,b=. 分式方程(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 分式方程解决工程问题
1.师傅和徒弟两人每小时一共做40个零件,在相同的时间内,师傅做了300个零件,徒弟做了100个零件.若设师傅每小时做x个零件,则可列方程为(A)
A.= B.=
C.= D.=
2.为积极创建全国文明城市,甲、乙两工程队承包了我市某街道路面改造工程.若由甲、乙两工程队合做20天可以完成;若甲工程队先单独施工40天,再由乙工程队单独施工10天也可以完成.求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天.
【解析】设甲工程队单独完成此项工程需要x天,依题意,可得+10(-)=1,解得x=60.
经检验,x=60是原分式方程的解,且符合题意,
∴乙工程队单独完成此项工程需要的天数为1÷(-)=30.
答:甲工程队单独完成此项工程需要60天,乙工程队单独完成此项工程需要30天.
知识点2 分式方程解决行程问题
3.某特快列车在最近一次的铁路大提速后,时速提高了30千米,则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时,若该列车提速前的速度是x千米/小时,下列所列方程正确的是 (B)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
4.(2023·扬州中考)甲、乙两名学生到离校2.4 km的“人民公园”参加志愿者活动,甲同学步行,乙同学骑自行车,乙同学骑自行车速度是甲同学步行速度的4倍,甲出发30 min后乙同学出发,两名同学同时到达,求乙同学骑自行车的速度.
【解析】设甲同学步行的速度为x km/h,则乙同学骑自行车的速度为4x km/h,由题意得-=,解得x=3.6,经检验,x=3.6是原分式方程的解,且符合题意,
∴4x=4×3.6=14.4.
答:乙同学骑自行车的速度为14.4 km/h.
知识点3 分式方程解决其他问题
5.(2023·台州中考)3月12日植树节期间,某校环保小卫士组织植树活动.第一组植树12棵;第二组比第一组多6人,植树36棵;结果两组平均每人植树的棵数相等,则第一组有 3 人.
6.某大型超市进货员预测一种保健饮料能畅销市场,于是用4万元购进了第一批这种保健饮料.面市后,果然供不应求.超市又用8.8万元购进了第二批这种保健饮料,所购数量是第一批数量的2倍,但进货单价贵了2元.
(1)购进第一批保健饮料的数量是多少
【解析】(1)设第一批购进保健饮料x瓶,则第二批购进了2x瓶,根据题意,得-=2,
解得x=2 000,经检验x=2 000是原分式方程的解,且符合题意.
答:购进第一批保健饮料的数量是2 000瓶.
(2)若超市销售这种保健饮料时每瓶定价都是28元,最后剩下100瓶保健饮料按8折销售,很快售完.售出这两批保健饮料,超市共盈利多少元
【解析】(2)依题意,2x=2×2 000=4 000,
28×(2 000+4 000-100)+28×0.8×100-40 000-88 000=39 440(元).
答:超市共盈利39 440元.
【B层 能力进阶】
7.某市为了解决城市拥堵问题,决定修建一条高架道路.为尽量减少施工对城市造成的影响,实际施工时工作效率比原计划提高了20%,结果提前4个月完成这一任务,设原计划x个月完成这一任务,根据题意可列方程为 (B)
A.= B.=
C.= D.=
8.某工程队承接了60万平方米的绿化工程,由于情况有变,….设原计划每天绿化的面积为x万平方米,列方程为-=30,根据方程可知省略的部分是 (C)
A.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%,结果提前30天完成了这一任务
B.实际工作时每天的工作效率比原计划提高了20%,结果延误30天完成了这一任务
C.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%,结果延误30天完成了这一任务
D.实际工作时每天的工作效率比原计划降低了20%,结果提前30天完成了这一任务
9.甲、乙两列客车的长分别为150米和200米,它们相向行驶在平行的轨道上,已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒,那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是 7.5 秒.
10.(2023·重庆中考A卷)某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品.
(1)该公司花费3 000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份,此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元,求购买两种食品各多少份.
【解析】(1)设购买杂酱面x份,牛肉面y份,
根据题意得,解得.
答:购买杂酱面80份,牛肉面90份.
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整,现该公司分别花费1 260元、1 200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品,已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%,每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元,求购买牛肉面多少份.
【解析】(2)设购买牛肉面m份,则购买杂酱面(1+50%)m份,根据题意得-=6,解得m=60,经检验,m=60是所列方程的解,且符合题意.
答:购买牛肉面60份.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(推理能力、应用意识)周日琪琪要骑车从家去书店买书,一出家门,遇到了邻居亮亮,亮亮说:“今天有风,而且去时逆风,要吃亏了”,琪琪回答说:“去时逆风,回来时顺风,和无风往返一趟所用时间相同.”(顺风速度=无风时骑车速度+风速;逆风速度=无风时骑车速度-风速).
(1)如果家到书店的路程是12 km,无风时琪琪骑自行车的速度是8 km/h,她逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的倍,求风速是多少.
【解析】(1)设当天的风速为x km/h.根据题意,得=×,解得x=2.经检验x=2是所列方程的解.
答:当天的风速为2 km/h.
(2)如果设从家到书店的路程为s km,无风时骑车速度为v km/h,风速为
a km/h(v>a),分别求出有风往返一趟的时间和无风往返一趟的时间,请你通过计算说明琪琪和亮亮谁说得对.
【解析】(2)有风往返一趟的时间为(+) h,无风往返一趟的时间为 h.
∵+-=,v>a,
∴>0,即+>,
∴有风往返一趟的时间>无风往返一趟的时间,即亮亮说得对.
