第十二章 全等三角形
一、选择题(每小题3分,共36分.每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确)
1.(2024·安顺期末)如图,△ABC≌△DEF,点B,E,C,F在同一直线上,BF=5,EC=2,则CF= (A)
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
2.(2024·黔东南州期末)如图,BD是△ABD和△CBD的公共边,下列条件不能判定△ABD≌△CBD的是 (B)
A.AB=CB,∠ABD=∠CBD
B.AB=CB,∠ADB=∠CDB
C.AB=CB,AD=CD
D.∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB
3.(2024·遵义红花岗区期中)工人师傅常用角尺平分一个任意角.方法如图:∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合.过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线,理由是 (A)
A.SSS B.ASA C.SAS D.AAS
4.(2024·黔西南州期末)一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块,他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具.现只能拿两块去配,其中可以配出符合要求的模具的是 (B)
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
5.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,∠C=70°,则∠BAD的度数是 (A)
A.20° B.45° C.60° D.70°
6.如图,已知△ABD≌△ABC,则图中还有 对全等三角形(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知:线段a,c,∠α.
求作:△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=α.
下面是作图示范:
正确作图顺序为 (B)
A.①②③④ B.①③②④ C.①③④② D.①②④③
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点D,E,再分别以点D,E为圆心,以大于DE的长度为半径作弧,两弧交于点F,作射线AF交BC于点G,若AB=12,CG=3,则△ABG的面积是 (D)
A.36 B.24 C.20 D.18
9.(2024·铜仁碧江区期末)如图,AD是△ABC的中线,E是AD上一点,BE交AC于F,若EF=AF,BE=8,CF=5,则EF的长度为(D)
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
10.(2023·河北中考)在△ABC和△A'B'C'中,∠B=∠B'=30°,AB=A'B'=6,AC=A'C'=4,已知∠C=n°,则∠C'= (C)
A.30° B.n°
C.n°或180°-n° D.30°或150°
11.(2024·南京期中)小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.4 m和1.8 m,∠BOC=90°,则爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面的高度是 (D)
A.1 m B.1.6 m C.1.8 m D.1.4 m
12.(2024·遵义红花岗区期中)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,AD
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2024·遵义红花岗区期中)如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,有下列条件:①∠A=∠D;②BC=EF;③∠ACB=∠F;④AC=DF.若添加一个条件后能证明△ABC≌△DEF,则这个条件不可以是 ④ .(填序号)
14.如图,已知△ABC≌△DEB,点E在AB上,若∠A=40°,∠DBE=65°,则∠AED的度数为 105° .
15.如图,在△ABC中,AB=AC,D为线段BC上一动点(不与点B,C重合),连接AD,作∠DAE=∠BAC,且AD=AE,连接CE.若CE∥AB,∠BAD=40°,则∠DEC的度数为 20° .
16.如图,BP是∠ABC的平分线,AP⊥BP于P,连接PC,若△ABC的面积为2 cm2,则△PBC的面积为 1 cm2.
三、解答题(本大题共9题,共98分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2024·铜仁印江县期中)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.求证:△ABD≌△CDB.
【证明】∵AB∥CD,AD∥BC,
∴∠ABD=∠CDB,∠ADB=∠CBD.
在△ABD和△CDB中,,
∴△ABD≌△CDB(ASA).
18.(10分)如图,已知∠AOB,C为射线OB上的一点,请用尺规作图求作∠DCB,使得∠DCB=∠AOB.(作出一种即可,保留作图痕迹,不写作法)
【解析】如图,以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OC于E,交OA于F;以点C为圆心,OE长为半径画弧,交CB于G;以点G为圆心,EF长为半径画弧,交前弧于H;连接CH作射线CD.则∠DCB就是所求作的角.
19.(10分) (2024·毕节期末)如图,D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB.
求证:AD=CF.
【证明】∵FC∥AB,∴∠A=∠ECF,∠ADE=∠F,
在△ADE和△CFE中,,∴△ADE≌△CFE(AAS),∴AD=CF.
20.(10分) (2024·遵义播州区期末)如图,已知点B,E,F,C在同一条直线上,BE=CF,∠B=∠C,AB=CD.
(1)求证:△ABF≌△DCE;
【解析】(1)∵BE=CF,∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE,
在△ABF和△DCE中,,∴△ABF≌△DCE(SAS);
(2)若∠AFB=40°,求∠AGE的度数.
【解析】(2)∵△ABF≌△DCE,∴∠AFB=∠DEC=40°,
∴∠AGE=∠GEF+∠GFE=80°.
21.(10分) (2024·遵义绥阳县期中)公路上,A,B两站相距25千米,C,D为两所学校,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,如图,已知DA=15千米,现在要在公路AB上建一报亭H,使得C,D两所学校到H的距离相等,且∠DHC=90°,问:H应建在距离A站多远处 学校C到公路的距离是多少千米
【解析】∵∠DHC=90°,∴∠AHD+∠CHB=90°,
∵DA⊥AB,∴∠D+∠AHD=90°,
∴∠D=∠CHB,在△ADH和△BHC中,,
∴△ADH≌△BHC(AAS),∴AD=BH=15千米,AH=BC,
∵A,B两站相距25千米,∴AB=25千米,∴AH=AB-BH=25-15=10千米,
∴H应建在距离A站10千米处,学校C到公路的距离是10千米.
22.(12分) (2023·营口中考)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AB的两侧,且AE=BF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.
(1)求证:△ACE≌△BDF;
【解析】(1)在△ACE和△BDF中,,
∴△ACE≌△BDF(AAS);
(2)若AB=8,AC=2,求CD的长.
【解析】(2)由(1)知△ACE≌△BDF,∴AC=BD=2,
∵AB=8,∴CD=AB-AC-BD=4,故CD的长为4.
23.(12分) (2024·六盘水期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF,求证:
(1)CF=EB.
【证明】(1)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,∴DE=DC,
在Rt△CDF和Rt△EDB中,,
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB;
(2)AB=AF+2EB.
【证明】(2)∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DC⊥AC,
∴CD=DE.在Rt△ADC与Rt△ADE中,,
∴Rt△ADC≌Rt△ADE(HL),
∴AC=AE,∴AB=AE+BE=AC+EB=AF+CF+EB=AF+2EB.
24.(12分)(2024·遵义质检)如图(1),AE与BD相交于点C.AC=EC,BC=DC,AB=4 cm,点P从点A出发,沿A-B-A的路径以3 cm/s的速度运动;点Q从点D出发,沿D-E的方向以1 cm/s的速度运动,P,Q两点同时出发,当点P回到点A时,P,Q两点同时停止运动,设运动时间为t(s).
(1)求证:AB∥DE;
【解析】(1)在△ABC和△EDC中,,
∴△ABC≌△EDC(SAS),∴∠A=∠E,∴AB∥DE.
(2)用含t的式子表示线段AP的长;
【解析】(2)当0≤t≤时,AP=3t cm;当综上所述,当0≤t≤时,线段AP的长为3t cm;当(3)连接PQ,当线段PQ经过点C时(如图(2)),求t的值.
【解析】(3)由(1)得:∠A=∠E,ED=AB=4 cm,
在△ACP和△ECQ中,,
∴△ACP≌△ECQ(ASA),∴AP=EQ,
当0≤t≤时,3t=4-t,解得t=1;
当综上所述,当线段PQ经过点C时,t的值为1或2.
25.(12分)【问题背景】
如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,试探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是 .
【探索延伸】如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由.
【学以致用】如图3,四边形ABCD是边长为5的正方形,∠EBF=45°,直接写出△DEF的周长.
【解析】【问题背景】如题图1,
在△ABE和△ADG中,
∵,∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△AGF中,∵,∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=GF,
∵FG=DG+FD=BE+FD,∴EF=BE+FD;
答案:EF=BE+FD
【探索延伸】结论EF=BE+FD仍然成立;
理由:如图,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,
在△ABE和△ADG中,
∵,∴△ABE≌△ADG(SAS),∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△AGF中,∵,∴△AEF≌△AGF(SAS),∴EF=FG,
∵FG=DG+FD=BE+FD,∴EF=BE+FD;
【学以致用】如图,延长DC到点G,截取CG=AE,连接BG,
在△AEB与△CGB中,∵,∴△AEB≌△CGB(SAS),
∴BE=BG,∠ABE=∠CBG.
∵∠EBF=45°,∠ABC=90°,∴∠ABE+∠CBF=45°,
∴∠CBF+∠CBG=45°.
在△EBF与△GBF中,∵,∴△EBF≌△GBF(SAS),∴EF=GF,
∴△DEF的周长=EF+ED+DF=AE+CF+DE+DF=AD+CD=5+5=10.第十二章 全等三角形
一、选择题(每小题3分,共36分.每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确)
1.(2024·安顺期末)如图,△ABC≌△DEF,点B,E,C,F在同一直线上,BF=5,EC=2,则CF= ( )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
2.(2024·黔东南州期末)如图,BD是△ABD和△CBD的公共边,下列条件不能判定△ABD≌△CBD的是 ( )
A.AB=CB,∠ABD=∠CBD
B.AB=CB,∠ADB=∠CDB
C.AB=CB,AD=CD
D.∠ABD=∠CBD,∠ADB=∠CDB
3.(2024·遵义红花岗区期中)工人师傅常用角尺平分一个任意角.方法如图:∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点M,N重合.过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线,理由是 ( )
A.SSS B.ASA C.SAS D.AAS
4.(2024·黔西南州期末)一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成了如图所示的四块,他需要去商店再配一块与原来大小和形状完全相同的模具.现只能拿两块去配,其中可以配出符合要求的模具的是 ( )
A.①③ B.②④ C.①④ D.②③
5.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,∠C=70°,则∠BAD的度数是 ( )
A.20° B.45° C.60° D.70°
6.如图,已知△ABD≌△ABC,则图中还有 对全等三角形( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知:线段a,c,∠α.
求作:△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=α.
下面是作图示范:
正确作图顺序为 ( )
A.①②③④ B.①③②④ C.①③④② D.①②④③
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB,AC于点D,E,再分别以点D,E为圆心,以大于DE的长度为半径作弧,两弧交于点F,作射线AF交BC于点G,若AB=12,CG=3,则△ABG的面积是 ( )
A.36 B.24 C.20 D.18
9.(2024·铜仁碧江区期末)如图,AD是△ABC的中线,E是AD上一点,BE交AC于F,若EF=AF,BE=8,CF=5,则EF的长度为( )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
10.(2023·河北中考)在△ABC和△A'B'C'中,∠B=∠B'=30°,AB=A'B'=6,AC=A'C'=4,已知∠C=n°,则∠C'= ( )
A.30° B.n°
C.n°或180°-n° D.30°或150°
11.(2024·南京期中)小丽与爸爸妈妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.4 m和1.8 m,∠BOC=90°,则爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面的高度是 ( )
A.1 m B.1.6 m C.1.8 m D.1.4 m
12.(2024·遵义红花岗区期中)如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,ADA.4个 B.3个 C.2个 D.1个
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2024·遵义红花岗区期中)如图,在△ABC和△DEF中,∠B=∠DEF,AB=DE,有下列条件:①∠A=∠D;②BC=EF;③∠ACB=∠F;④AC=DF.若添加一个条件后能证明△ABC≌△DEF,则这个条件不可以是 .(填序号)
14.如图,已知△ABC≌△DEB,点E在AB上,若∠A=40°,∠DBE=65°,则∠AED的度数为 .
15.如图,在△ABC中,AB=AC,D为线段BC上一动点(不与点B,C重合),连接AD,作∠DAE=∠BAC,且AD=AE,连接CE.若CE∥AB,∠BAD=40°,则∠DEC的度数为 .
16.如图,BP是∠ABC的平分线,AP⊥BP于P,连接PC,若△ABC的面积为2 cm2,则△PBC的面积为 cm2.
三、解答题(本大题共9题,共98分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2024·铜仁印江县期中)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.求证:△ABD≌△CDB.
18.(10分)如图,已知∠AOB,C为射线OB上的一点,请用尺规作图求作∠DCB,使得∠DCB=∠AOB.(作出一种即可,保留作图痕迹,不写作法)
19.(10分) (2024·毕节期末)如图,D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,FC∥AB.
求证:AD=CF.
20.(10分) (2024·遵义播州区期末)如图,已知点B,E,F,C在同一条直线上,BE=CF,∠B=∠C,AB=CD.
(1)求证:△ABF≌△DCE;
(2)若∠AFB=40°,求∠AGE的度数.
21.(10分) (2024·遵义绥阳县期中)公路上,A,B两站相距25千米,C,D为两所学校,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,如图,已知DA=15千米,现在要在公路AB上建一报亭H,使得C,D两所学校到H的距离相等,且∠DHC=90°,问:H应建在距离A站多远处 学校C到公路的距离是多少千米
22.(12分) (2023·营口中考)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,点E,F分别在直线AB的两侧,且AE=BF,∠A=∠B,∠ACE=∠BDF.
(1)求证:△ACE≌△BDF;
(2)若AB=8,AC=2,求CD的长.
23.(12分) (2024·六盘水期中)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,F在AC上,BD=DF,求证:
(1)CF=EB.
(2)AB=AF+2EB.
24.(12分)(2024·遵义质检)如图(1),AE与BD相交于点C.AC=EC,BC=DC,AB=4 cm,点P从点A出发,沿A-B-A的路径以3 cm/s的速度运动;点Q从点D出发,沿D-E的方向以1 cm/s的速度运动,P,Q两点同时出发,当点P回到点A时,P,Q两点同时停止运动,设运动时间为t( ).
(1)求证:AB∥DE;
(2)用含t的式子表示线段AP的长;
(3)连接PQ,当线段PQ经过点C时(如图(2)),求t的值.
25.(12分)【问题背景】
如图1,在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,试探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
小王同学探究此问题的方法是:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,可得出结论,他的结论应是 .
【探索延伸】如图2,若在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立,并说明理由.
【学以致用】如图3,四边形ABCD是边长为5的正方形,∠EBF=45°,直接写出△DEF的周长.