第十三章 轴对称
一、选择题(每小题3分,共36分.每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确)
1.(2023·泰州中考)书法是我国特有的优秀传统文化,其中篆书具有象形特征,充满美感.下列“福”字的四种篆书图案中,可以看作轴对称图形的是 ( )
2.(2024·贵阳期中)在平面直角坐标系中,点(1,-3)关于y轴对称的点的坐标为 ( )
A.(-1,3) B.(-1,-3) C.(1,3) D.(-3,1)
3.若等腰三角形的周长为16 cm,其中一边长为4 cm,则该等腰三角形的底边为( )
A.4 cm B.6 cm
C.4 cm或8 cm D.8 cm
4.如图,厂房屋顶钢架外框是等腰三角形,其中斜梁AB=AC=8 m,立柱AD⊥BC,且顶角∠BAC=120°,则AD=( )
A.16 m B.8 m C.4 m D.2 m
5.下列条件中,不能说明△ABC为等边三角形的是 ( )
A.∠A=∠B=60° B.∠B+∠C=120°
C.∠B=60°,AB=AC D.∠A=60°,AB=AC
6.(2024·黔南州期末)如图,△ABC中,AB的垂直平分线DE交AC于点D,垂足为E,连接BD.如果△DBC的周长等于10 cm,BC=4 cm,那么AC的长是 ( )
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.9 cm
7.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=5,CD=3.按下列步骤作图:①以点D为圆心,适当长度为半径画弧,分别交DA,DC于E,F两点;②分别以点E,F为圆心,以大于EF的长为半径画弧,两弧交于点P;③连接DP并延长交BC于点G.则BG的长是 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8.(2024·铜仁印江县期中)如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为 ( )
A.50° B.51° C.51.5° D.52.5°
9.(2023·聊城中考)如图,在直角坐标系中,△ABC各点坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(-4,4).先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1,再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2.若B2(2,1),则点A2坐标为( )
A.(1,5) B.(1,3) C.(5,3) D.(5,5)
10.(2024·遵义期末)如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,DE垂直平分AC,若CD=2,则BD的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
11.在螳螂的示意图中,AB∥DE,△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,∠CDE=72°,则∠ACD= ( )
A.16° B.28° C.44° D.45°
12.如图所示,等腰三角形ABC的底边BC=4,高AD为8,腰AB的垂直平分线EF交AC于点F,交AB于点E,M为线段EF上一动点,则△BDM周长的最小值为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2024·毕节织金县期中)在平面直角坐标系中,点A(m,2)与点B(3,n)关于x轴对称,则m+n= .
14.(2024·遵义绥阳县期末)在△ABC中,AB=AD=CD,且∠C=40°,则∠BAD的度数为 .
15.(2023·西宁中考)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADB的度数是 .
16.(2024·铜仁印江县期中)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:
①AD=BE;②PQ∥AE;③OP=OQ;④△CPQ为等边三角形;⑤∠AOB=60°.其中正确的有 .(注:把你认为正确的答案序号都写上)
三、解答题(本大题共9题,共98分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2024·铜仁碧江区期末)如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E,∠A=40°,求∠DBC的度数.
18.(10分)(2024·毕节七星关区期中)已知点A(a-1,5)和点B(2,b-1)关于x轴对称,求(a+b)2 023的值.
19.(10分) (2023·青岛中考)用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
已知:△ABC.
求作:点P,使PA=PC,且点P在△ABC边AB的高上.
20.(10分)(2024·黔东南州期末)在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,格点三角形ABC(顶点是网格线的交点的三角形)三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)请在网格中建立平面直角坐标系;
(2)若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称,则△A1B1C1三个顶点坐标分别为A1 ,B1 ,C1 ,并画出△A1B1C1;
(3)求△A1B1C1的面积.
21.(10分) (2024·贵阳云岩区质检)在△ABC中,DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线.
(1)若∠BAC=120°,求∠EAG的度数.
(2)若BC=8,求△AEG的周长.
22.(12分) (2024·苏州期中)如图,△ABC中,∠ABD=∠ACD,BD=CD.
(1)求证:AB=AC;
(2)求证:AD⊥BC.
23.(12分)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB.∠EDF=60°,其两边分别交边AB,AC于点E,F.
(1)求证:△ABD是等边三角形;
(2)求证:BE=AF.
24.(12分) (2024·安顺期末)如图,在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,AE平分∠BAC,∠B=30°.
(1)求∠C的度数;
(2)若DE=2,求BC的长.
25.(12分)(2024·黔东南州期末)已知,在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.
(1)【特殊情况,探索结论】
如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE DB(填“>”“<”或“=”).
(2)【特例启发,解答题目】
如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论,AE DB(填“>”“<”或“=”);理由如下,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成解答过程)
(3)【拓展结论,设计新题】
△ABC为等边三角形,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果).第十三章 轴对称
一、选择题(每小题3分,共36分.每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确)
1.(2023·泰州中考)书法是我国特有的优秀传统文化,其中篆书具有象形特征,充满美感.下列“福”字的四种篆书图案中,可以看作轴对称图形的是 (C)
2.(2024·贵阳期中)在平面直角坐标系中,点(1,-3)关于y轴对称的点的坐标为 (B)
A.(-1,3) B.(-1,-3) C.(1,3) D.(-3,1)
3.若等腰三角形的周长为16 cm,其中一边长为4 cm,则该等腰三角形的底边为(A)
A.4 cm B.6 cm
C.4 cm或8 cm D.8 cm
4.如图,厂房屋顶钢架外框是等腰三角形,其中斜梁AB=AC=8 m,立柱AD⊥BC,且顶角∠BAC=120°,则AD=(C)
A.16 m B.8 m C.4 m D.2 m
5.下列条件中,不能说明△ABC为等边三角形的是 (B)
A.∠A=∠B=60° B.∠B+∠C=120°
C.∠B=60°,AB=AC D.∠A=60°,AB=AC
6.(2024·黔南州期末)如图,△ABC中,AB的垂直平分线DE交AC于点D,垂足为E,连接BD.如果△DBC的周长等于10 cm,BC=4 cm,那么AC的长是 (B)
A.5 cm B.6 cm C.7 cm D.9 cm
7.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,BC=5,CD=3.按下列步骤作图:①以点D为圆心,适当长度为半径画弧,分别交DA,DC于E,F两点;②分别以点E,F为圆心,以大于EF的长为半径画弧,两弧交于点P;③连接DP并延长交BC于点G.则BG的长是 (A)
A.2 B.3 C.4 D.5
8.(2024·铜仁印江县期中)如图,△ABC中,D为AB上一点,E为BC上一点,且AC=CD=BD=BE,∠A=50°,则∠CDE的度数为 (D)
A.50° B.51° C.51.5° D.52.5°
9.(2023·聊城中考)如图,在直角坐标系中,△ABC各点坐标分别为A(-2,1),B(-1,3),C(-4,4).先作△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1,再把△A1B1C1平移后得到△A2B2C2.若B2(2,1),则点A2坐标为(B)
A.(1,5) B.(1,3) C.(5,3) D.(5,5)
10.(2024·遵义期末)如图,已知在△ABC中,AB=AC,∠A=120°,DE垂直平分AC,若CD=2,则BD的长为 (B)
A.3 B.4 C.5 D.6
11.在螳螂的示意图中,AB∥DE,△ABC是等腰三角形,∠ABC=124°,∠CDE=72°,则∠ACD= (C)
A.16° B.28° C.44° D.45°
12.如图所示,等腰三角形ABC的底边BC=4,高AD为8,腰AB的垂直平分线EF交AC于点F,交AB于点E,M为线段EF上一动点,则△BDM周长的最小值为 (D)
A.4 B.6 C.8 D.10
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2024·毕节织金县期中)在平面直角坐标系中,点A(m,2)与点B(3,n)关于x轴对称,则m+n= 1 .
14.(2024·遵义绥阳县期末)在△ABC中,AB=AD=CD,且∠C=40°,则∠BAD的度数为 20° .
15.(2023·西宁中考)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADB的度数是 50°或90° .
16.(2024·铜仁印江县期中)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论:
①AD=BE;②PQ∥AE;③OP=OQ;④△CPQ为等边三角形;⑤∠AOB=60°.其中正确的有 ①②④⑤ .(注:把你认为正确的答案序号都写上)
三、解答题(本大题共9题,共98分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)(2024·铜仁碧江区期末)如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D,交AB于点E,∠A=40°,求∠DBC的度数.
【解析】在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,
∴∠ABC=∠C=×(180°-40°)=70°.
∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,
∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=40°,
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=30°.
18.(10分)(2024·毕节七星关区期中)已知点A(a-1,5)和点B(2,b-1)关于x轴对称,求(a+b)2 023的值.
【解析】∵点A(a-1,5)和点B(2,b-1)关于x轴对称,
∴a-1=2,b-1=-5,
解得a=3,b=-4,
则(a+b)2 023=(-1)2 023=-1.
19.(10分) (2023·青岛中考)用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹.
已知:△ABC.
求作:点P,使PA=PC,且点P在△ABC边AB的高上.
【解析】如图,点P为所作.
20.(10分)(2024·黔东南州期末)在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,格点三角形ABC(顶点是网格线的交点的三角形)三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)请在网格中建立平面直角坐标系;
(2)若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称,则△A1B1C1三个顶点坐标分别为A1 ,B1 ,C1 ,并画出△A1B1C1;
(3)求△A1B1C1的面积.
【解析】(1)建立如图所示的平面直角坐标系;
(2)如图所示,△A1B1C1即为所求;
A1(-1,1),B1(-4,2),C1(-3,4);
答案:(-1,1) (-4,2) (-3,4)
(3)△A1B1C1的面积为3×3-×1×2-×3×2-×3×1=3.5.
21.(10分) (2024·贵阳云岩区质检)在△ABC中,DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线.
(1)若∠BAC=120°,求∠EAG的度数.
【解析】(1)∵∠BAC=120°,∴∠B+∠C=180°-∠BAC=60°.
∵DE,FG分别是边AB,AC的垂直平分线,∴EA=EB,GA=GC,
∴∠B=∠BAE,∠C=∠GAC,∴∠BAE+∠GAC=60°,
∴∠EAG=∠BAC-(∠BAE+∠GAC)=60°.
(2)若BC=8,求△AEG的周长.
【解析】(2)∵BC=8,EA=EB,GA=GC,
∴△AEG的周长=AE+EG+AG=BE+EG+GC=BC=8.
22.(12分) (2024·苏州期中)如图,△ABC中,∠ABD=∠ACD,BD=CD.
(1)求证:AB=AC;
【证明】(1)∵BD=CD,∴∠DBC=∠DCB.
∵∠ABD=∠ACD,
∴∠DBC+∠ABD=∠ACD+∠DCB,
即∠ABC=∠ACB,∴AB=AC.
(2)求证:AD⊥BC.
【证明】(2)在△ABD和△ACD中,,
∴△ABD≌△ACD(SSS),∴∠BAD=∠CAD.
∵AB=AC,∴AD⊥BC.
23.(12分)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB.∠EDF=60°,其两边分别交边AB,AC于点E,F.
(1)求证:△ABD是等边三角形;
【证明】(1)∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC=∠BAC.
∵∠BAC=120°,∴∠BAD=∠DAC=×120°=60°.
∵AD=AB,∴△ABD是等边三角形.
(2)求证:BE=AF.
【证明】(2)∵△ABD是等边三角形,∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.
∵∠EDF=60°,∴∠ADB=∠EDF,∴∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE,
∴∠BDE=∠ADF,
在△BDE与△ADF中,
∴△BDE≌△ADF(ASA),∴BE=AF.
24.(12分) (2024·安顺期末)如图,在△ABC中,DE垂直平分AB,分别交AB,BC于点D,E,AE平分∠BAC,∠B=30°.
(1)求∠C的度数;
【解析】(1)∵DE是边AB的垂直平分线,
∴AE=BE,∴∠B=∠BAE=30°.
∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠EAC=30°,
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=30°+30°=60°,
∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-60°-30°=90°.
(2)若DE=2,求BC的长.
【解析】(2)∵AE平分∠BAC,∠ACB=90°,DE⊥AB,∴EC=ED=2.
∵DE垂直平分AB,∴∠BDE=90°.在△BDE中,
∵∠BDE=90°,∠B=30°,∴BE=2DE=4,∴BC=BE+EC=4+2=6.
25.(12分)(2024·黔东南州期末)已知,在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.
(1)【特殊情况,探索结论】
如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AE DB(填“>”“<”或“=”).
(2)【特例启发,解答题目】
如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论,AE DB(填“>”“<”或“=”);理由如下,过点E作EF∥BC,交AC于点F.(请你完成解答过程)
(3)【拓展结论,设计新题】
△ABC为等边三角形,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果).
【解析】(1)当E为AB的中点时,AE=DB.
答案:=
(2)AE=DB,理由如下,过点E作EF∥BC,交AC于点F,
∵△ABC为等边三角形,EF∥BC,∴△AEF为等边三角形,∴AE=EF,BE=CF.
∵ED=EC,∴∠D=∠ECD,
∵∠DEB=60°-∠D,∠ECF=60°-∠ECD,∴∠DEB=∠ECF,
在△DBE和△EFC中,,
∴△DBE≌△EFC(SAS),∴DB=EF,
则AE=DB.
答案:=
(3)∵ED=EC,∴E在DC的垂直平分线上,
又D在CB的延长线上,∴E点在射线AB上,
又AE=2>AB,∴E在AB的延长线上,
过E作EF∥AC,则△EFB为等边三角形,
如图所示,同理可得△DBE≌△CFE.
∵AB=1,AE=2,∴BE=1.
∵DB=FC=FB+BC=2,则CD=BC+DB=3.
