第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题(每小题3分,共36分.每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确)
1.(2024·遵义绥阳县期末)下列计算正确的是 ( )
A.(-2a)2=4a2 B.x3·x3=x9
C.(-b)7÷b5=b2 D.(m2)3·m4=m9
2.(2024·黔南州期末)式子(-ab)4·a2化简后的结果是 ( )
A.a2b4 B.a6b4 C.a8b4 D.a16b4
3.(2024·黔南州期末)下列等式中,从左到右的变形是因式分解的是 ( )
A.a(a-3)=a2-3a B.(a+1)2=a2+2a+1
C.a+2=a(1+) D.a2-9=(a+3)(a-3)
4.(2024·遵义红花岗区期中)若(x+4)(x-2)=x2+mx+n,则m,n的值分别是 ( )
A.2,8 B.-2,-8 C.2,-8 D.-2,8
5.(2024·遵义播州区期末)已知实数n满足n2-n+1=0,则4n3-5n2+5n+11的值为 ( )
A.12 B.10 C.8 D.6
6.(2024·黔南州期末)若x2-nx+36是关于x的完全平方式,则n的值为 ( )
A.6 B.12 C.±12 D.36
7.若a+b=-5,ab=3,则a2+b2的值为 ( )
A.25 B.19 C.31 D.16
8.(2023·六盘水期中)小明在做作业的时候,不小心把墨水滴到了作业本上,■×3ab=6ab-3ab3,阴影部分即为被墨汁弄污的部分,那么被墨汁遮住的是 ( )
A.(2ab+b2) B.(3ab+2b2) C.(2+2b) D.(2-b2)
9.如图,两个正方形边长分别为a,b,已知a+b=7,ab=9,则阴影部分的面积为 ( )
A.10 B.11 C.12 D.13
10.已知a,b,c为△ABC的三边长,且a2+ac=b2+bc,则△ABC是 ( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形
11.(2023·黔西南州期末)在日常生活中取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便.原理是:对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x+y)(x-y)(x2+y2),若取x=9,y=9,则各个因式的值是x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式x3-xy2,取x=20,y=10,用上述方法产生的密码不可能是 ( )
A.102030 B.103020 C.305010 D.201030
12.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差,那么称该正整数为“和谐数”,比如8=32-12,16=52-32,即8,16均为“和谐数”.在不超过2 023的正整数中,所有的“和谐数”之和为 ( )
A.255 024 B.253 008 C.257 048 D.255 054
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2024·遵义绥阳县期末)计算:(2a)3·(-3a2)= .
14.(2023·沈阳中考)因式分解:a3+2a2+a= .
15.(2024·遵义红花岗区期中)若xm=5,xn=10,则x2m-n= .
16.如图,点C是线段BG上的一点,以BC,CG为边向两边作正方形,面积分别是S1和S2,两正方形的面积和S1+S2=20,已知BG=6,则图中阴影部分面积为 .
三、解答题(本大题共9题,共98分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)计算下列各题:
(1)-12x2y·(x3y2-x2y+);
(2)(x+3y-2z)(x-3y+2z);
(3)(2x-1)2-(2x+5)(2x-5).
18.(10分)分解因式:
(1)9a2(x-y)+4b2(y-x);
(2)a2-2a(b+c)+(b+c)2.
19.(10分)(2024·遵义红花岗区期中)先化简,再求值:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4),其中a=-2.
20.(10分)(2023·毕节七星关区期中)如图所示,某地区有一块长为(2a+3b)米、宽为(2a-b)米的长方形地块,角上有四个边长均为(a-b)米的小正方形空地,开发商计划将阴影部分进行绿化.
(1)用含a,b的代数式表示绿化的面积是多少平方米
(2)若a=20,b=10,求出绿化面积.
21.(10分)(2024·上海期中)已知x-y=-5,xy=3,求下列各式的值:
(1)x2+y2;
(2)(3x+2)(3y-2);
(3)(x+y)2.
22.(12分)(2024·黔西南州期末)先阅读材料,再解答问题:
材料:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.
解:将“x+y”看成整体,令x+y=m,
则原式=m2+2m+1=(m+1)2.
再将x+y=m代入,得原式=(x+y+1)2.
上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:
(1)因式分解:1-2(x-y)+(x-y)2= ;
(2)因式分解:9(x-2)2-6(x-2)+1.
23.(12分)甲、乙两人共同计算一道整式乘法题(2x+a)(3x+b).甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“-a”,得到的结果为6x2+11x-10.乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数,得到的结果为2x2-9x+10.
(1)求正确的a,b的值;
(2)计算出这道整式乘法题的正确结果.
24.(12分)(2023·铜仁石阡县期中)阅读下面的材料:
材料一:比较322和411的大小. 材料二:比较28和82的大小.
解:因为411=(22)11=222,且3>2,所以322>222,即322>411. 解:因为82=(23)2=26,且8>6,所以28>26,即28>82.
小结:指数相同的情况下,通过比较底数的大小,来确定两个幂的大小. 小结:底数相同的情况下,通过比较指数的大小,来确定两个幂的大小.
解决下列问题:
(1)比较344,433,522的大小;
(2)比较8131,2741,961的大小.
25.(12分)(2023·贵阳南明区期中)八年级课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
将2a-3ab-4+6b因式分解.
【观察】经过小组合作交流,小明得到了如下的解决方法:
解法一:原式=(2a-3ab)-(4-6b)
=a(2-3b)-2(2-3b)
=(2-3b)(a-2);
解法二:原式=(2a-4)-(3ab-6b)
=2(a-2)-3b(a-2)
=(a-2)(2-3b);
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时,我们可以将多项式分为若干组,再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的,这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用.
【类比】(1)请用分组分解法将x2-a2+x+a因式分解;
【挑战】(2)请用分组分解法将ax+a2-2ab-bx+b2因式分解;
(3)将a4-2a3b+2a2b2-2ab3+b4因式分解.第十四章 整式的乘法与因式分解
一、选择题(每小题3分,共36分.每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确)
1.(2024·遵义绥阳县期末)下列计算正确的是 (A)
A.(-2a)2=4a2 B.x3·x3=x9
C.(-b)7÷b5=b2 D.(m2)3·m4=m9
2.(2024·黔南州期末)式子(-ab)4·a2化简后的结果是 (B)
A.a2b4 B.a6b4 C.a8b4 D.a16b4
3.(2024·黔南州期末)下列等式中,从左到右的变形是因式分解的是 (D)
A.a(a-3)=a2-3a B.(a+1)2=a2+2a+1
C.a+2=a(1+) D.a2-9=(a+3)(a-3)
4.(2024·遵义红花岗区期中)若(x+4)(x-2)=x2+mx+n,则m,n的值分别是 (C)
A.2,8 B.-2,-8 C.2,-8 D.-2,8
5.(2024·遵义播州区期末)已知实数n满足n2-n+1=0,则4n3-5n2+5n+11的值为 (A)
A.12 B.10 C.8 D.6
6.(2024·黔南州期末)若x2-nx+36是关于x的完全平方式,则n的值为 (C)
A.6 B.12 C.±12 D.36
7.若a+b=-5,ab=3,则a2+b2的值为 (B)
A.25 B.19 C.31 D.16
8.(2023·六盘水期中)小明在做作业的时候,不小心把墨水滴到了作业本上,■×3ab=6ab-3ab3,阴影部分即为被墨汁弄污的部分,那么被墨汁遮住的是 (D)
A.(2ab+b2) B.(3ab+2b2) C.(2+2b) D.(2-b2)
9.如图,两个正方形边长分别为a,b,已知a+b=7,ab=9,则阴影部分的面积为 (B)
A.10 B.11 C.12 D.13
10.已知a,b,c为△ABC的三边长,且a2+ac=b2+bc,则△ABC是 (D)
A.等腰直角三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.等腰三角形
11.(2023·黔西南州期末)在日常生活中取款、上网等都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便.原理是:对于多项式x4-y4,因式分解的结果是(x+y)(x-y)(x2+y2),若取x=9,y=9,则各个因式的值是x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式x3-xy2,取x=20,y=10,用上述方法产生的密码不可能是 (C)
A.102030 B.103020 C.305010 D.201030
12.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差,那么称该正整数为“和谐数”,比如8=32-12,16=52-32,即8,16均为“和谐数”.在不超过2 023的正整数中,所有的“和谐数”之和为 (A)
A.255 024 B.253 008 C.257 048 D.255 054
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2024·遵义绥阳县期末)计算:(2a)3·(-3a2)= -24a5 .
14.(2023·沈阳中考)因式分解:a3+2a2+a= a(a+1)2 .
15.(2024·遵义红花岗区期中)若xm=5,xn=10,则x2m-n= .
16.如图,点C是线段BG上的一点,以BC,CG为边向两边作正方形,面积分别是S1和S2,两正方形的面积和S1+S2=20,已知BG=6,则图中阴影部分面积为 4 .
三、解答题(本大题共9题,共98分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)计算下列各题:
(1)-12x2y·(x3y2-x2y+);
(2)(x+3y-2z)(x-3y+2z);
(3)(2x-1)2-(2x+5)(2x-5).
【解析】(1)原式
=-12x2y·x3y2+12x2y·x2y-12x2y·
=-4x5y3+9x4y2-2x2y.
(2)原式
=(x+3y-2z)[x-(3y-2z)]
=x2-(3y-2z)2
=x2-9y2+12yz-4z2.
(3)原式
=4x2-4x+1-(4x2-25)
=4x2-4x+1-4x2+25=-4x+26.
18.(10分)分解因式:
(1)9a2(x-y)+4b2(y-x);
(2)a2-2a(b+c)+(b+c)2.
【解析】(1)9a2(x-y)+4b2(y-x)
=9a2(x-y)-4b2(x-y)
=(x-y)(9a2-4b2)
=(x-y)(3a+2b)(3a-2b);
(2)a2-2a(b+c)+(b+c)2
=[a-(b+c)]2
=(a-b-c)2.
19.(10分)(2024·遵义红花岗区期中)先化简,再求值:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4),其中a=-2.
【解析】3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)
=6a3-12a2+9a-6a3-8a2
=-20a2+9a,
当a=-2时,
原式=-20×4-9×2=-98.
20.(10分)(2023·毕节七星关区期中)如图所示,某地区有一块长为(2a+3b)米、宽为(2a-b)米的长方形地块,角上有四个边长均为(a-b)米的小正方形空地,开发商计划将阴影部分进行绿化.
(1)用含a,b的代数式表示绿化的面积是多少平方米
(2)若a=20,b=10,求出绿化面积.
【解析】(1)绿化的面积:(2a-b)(2a+3b)-4(a-b)2
=4a2+6ab-2ab-3b2-4(a2-2ab+b2)
=4a2+4ab-3b2-4a2+8ab-4b2
=(12ab-7b2)平方米.
答:绿化的面积是(12ab-7b2)平方米.
(2)当a=20,b=10时,
原式=12×20×10-7×102
=1 700(平方米),
答:绿化面积为1 700平方米.
21.(10分)(2024·上海期中)已知x-y=-5,xy=3,求下列各式的值:
(1)x2+y2;
(2)(3x+2)(3y-2);
(3)(x+y)2.
【解析】(1)∵x-y=-5,xy=3,
∴x2+y2=(x-y)2+2xy=(-5)2+2×3=25+6=31;
(2)∵x-y=-5,xy=3,
∴(3x+2)(3y-2)=9xy-6x+6y-4=9xy-6(x-y)-4=9×3-6×(-5)-4=27+30-4=57-4=53;
(3)∵x-y=-5,xy=3,
∴(x+y)2=(x-y)2+4xy=(-5)2+4×3=25+12=37.
22.(12分)(2024·黔西南州期末)先阅读材料,再解答问题:
材料:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.
解:将“x+y”看成整体,令x+y=m,
则原式=m2+2m+1=(m+1)2.
再将x+y=m代入,得原式=(x+y+1)2.
上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:
(1)因式分解:1-2(x-y)+(x-y)2= ;
(2)因式分解:9(x-2)2-6(x-2)+1.
【解析】(1)将“x-y”看成整体,令x-y=m,
则原式=1-2m+m2=(m-1)2.
再将x-y=m代入,
得原式=(x-y-1)2;
答案:(x-y-1)2
(2)将“x-2”看成整体,令x-2=t,
则原式=9t2-6t+1=(3t-1)2.
再将x-2=t代入,
得原式=[3(x-2)-1]2=(3x-7)2.
23.(12分)甲、乙两人共同计算一道整式乘法题(2x+a)(3x+b).甲由于把第一个多项式中的“+a”看成了“-a”,得到的结果为6x2+11x-10.乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数,得到的结果为2x2-9x+10.
(1)求正确的a,b的值;
(2)计算出这道整式乘法题的正确结果.
【解析】(1)由题意得
(2x-a)(3x+b)=6x2+(2b-3a)x-ab=6x2+11x-10,∴2b-3a=11①,
∵乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数,
得到的结果为2x2-9x+10,
∴(2x+a)(x+b)=2x2+(2b+a)x+ab=2x2-9x+10,∴2b+a=-9②,
由①②联立方程组,解得a=-5,b=-2;
(2)(2x-5)(3x-2)=6x2-19x+10.
24.(12分)(2023·铜仁石阡县期中)阅读下面的材料:
材料一:比较322和411的大小. 材料二:比较28和82的大小.
解:因为411=(22)11=222,且3>2,所以322>222,即322>411. 解:因为82=(23)2=26,且8>6,所以28>26,即28>82.
小结:指数相同的情况下,通过比较底数的大小,来确定两个幂的大小. 小结:底数相同的情况下,通过比较指数的大小,来确定两个幂的大小.
解决下列问题:
(1)比较344,433,522的大小;
(2)比较8131,2741,961的大小.
【解析】(1)∵344=(34)11=8111,
433=(43)11=6411,
522=(52)11=2511,
81>64>25,
∴344>433>522;
(2)∵8131=(34)31=3124,
2741=(33)41=3123,
961=(32)61=3122,
124>123>122,
∴8131>2741>961.
25.(12分)(2023·贵阳南明区期中)八年级课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
将2a-3ab-4+6b因式分解.
【观察】经过小组合作交流,小明得到了如下的解决方法:
解法一:原式=(2a-3ab)-(4-6b)
=a(2-3b)-2(2-3b)
=(2-3b)(a-2);
解法二:原式=(2a-4)-(3ab-6b)
=2(a-2)-3b(a-2)
=(a-2)(2-3b);
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时,我们可以将多项式分为若干组,再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的,这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用.
【类比】(1)请用分组分解法将x2-a2+x+a因式分解;
【挑战】(2)请用分组分解法将ax+a2-2ab-bx+b2因式分解;
(3)将a4-2a3b+2a2b2-2ab3+b4因式分解.
【解析】(1)原式=(x2-a2)+(x+a)
=(x+a)(x-a)+(x+a)
=(x+a)(x-a+1);
(2)原式=(ax-bx)+(a2-2ab+b2)
=x(a-b)+(a-b)2
=(a-b)(x+a-b);
(3)原式=(a4+2a2b2+b4)-(2ab3+2a3b)
=(a2+b2)2-2ab(a2+b2)
=(a2+b2)(a2+b2-2ab)
=(a2+b2)(a-b)2.
