第十五章 分式
一、选择题(每小题3分,共36分.每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确)
1.(2024·铜仁石阡县期末)下列式子中,是分式的是 (A)
A. B. C.- D.+y
2.(2024·铜仁印江县期中)若分式有意义,则a的取值范围是 (C)
A.a=0 B.a=1 C.a≠-1 D.a≠0
3.(2024·黔东南州期末)若分式的值为0,则x的值为 (B)
A.-1 B.1 C.±1 D.2
4.(2024·遵义期末)化简:+的结果是 (C)
A. B.1 C.2 D.0
5.(2024·安顺期末)在科幻小说《三体》中,有一种高强度的纳米材料“飞刃”,其直径不足头发丝直径的十分之一.根据描述,纳米材料“飞刃”的直径约为0.000 002 m,则数据“0.000 002 m”用科学记数法表示为 (D)
A.2×10-5 m B.0.2×10-6 m C.2×10-7 m D.2×10-6 m
6.(2024·黔西南州期末)对于分式,下列变形正确的是 (B)
A.- B. C. D.
7.(2023·深圳中考)某运输公司运输一批货物,已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物,且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同,设每辆大货车的货运量是x吨,则所列方程正确的是 (B)
A.= B.= C.= D.=
8.(2023·恩施中考)分式方程=的解是 (B)
A.x=3 B.x=-3 C.x=2 D.x=0
9.(2024·毕节期末)计算÷的结果是 (C)
A. B. C. D.
10.(2024·铜仁石阡县质检)已知+=4,则分式的值为 (C)
A. B. C. D.
11.(2024·安顺期末)若关于x的分式方程=-无解,则k的取值是 (B)
A.-3 B.-3或-5 C.1 D.1或-5
12.(2023·牡丹江中考)若分式方程=1-的解为负数,则a的取值范围是 (D)
A.a<-1且a≠-2 B.a<0且a≠-2
C.a<-2且a≠-3 D.a<-1且a≠-3
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2024·铜仁石阡县质检)分式,和-的最简公分母是 a2-1或1-a2 .
14.(2023·无锡中考)方程=的解是x= -1 .
15.当x= -1 时,与互为相反数.
16.(2023·重庆中考A卷)若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解,且关于y的分式方程+=2有非负整数解,则所有满足条件的整数a的值之和是 4 .
三、解答题(本大题共9题,共98分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)计算:(1)1-÷;
【解析】(1)1-÷
=1-·
=1-
=
=.
(2) (x-1-)÷.
【解析】(2) (x-1-)÷
=(-)÷
=÷
=·
=·
=.
18.(10分)(2024·黔东南州期末)下面某同学解分式方程的过程,请认真阅读并完成相应学习任务:+2=.
解:方程两边同乘x-2,得x-3+2=-3(第一步),
解得x=-2(第二步),
∴原分式方程的解为x=-2(第三步).
(1)上面的解题过程从第 步开始出现错误,这一步错误的原因是 ;
(2)请写出正确的解题过程.
【解析】(1)解题过程从第一步开始出现错误,这一步错误的原因是常数项漏乘最简公分母;
答案:一 常数项漏乘最简公分母
(2)+2=,
方程两边同乘x-2,
得x-3+2(x-2)=-3,
解得x=,
当x=时,
x-2=-2=-≠0,
∴原分式方程的解为x=.
19.(10分)(2024·遵义期末)先化简: (x+1-)÷,再从1,2,3中选取一个适当的数代入求值.
【解析】(x+1-)÷
=÷
=·
=·
=,
要使分式有意义,
必须x-1≠0且x-2≠0,
所以x不能为1和2,取x=3,
当x=3时,原式==5.
20.(10分)(2024·安顺期末)某水果店老板用3 000元购进了一批樱桃,由于樱桃刚在果园采摘比较新鲜,前三天他以高于进价40%的价格共卖出150千克,由于樱桃保鲜期短,第四天他发现店里的樱桃卖相已不大好,于是果断地将剩余樱桃以低于进价20%的价格全部售出,前后一共获利750元.设该水果店老板购进了x千克樱桃.
(1)这批樱桃的进价为元/千克;(用含x的式子表示)
【解析】(1)根据题意得:这批樱桃的进价为元/千克.
(2)该水果店老板这次购进樱桃多少千克
【解析】(2)根据题意得:
40%××150-20%××(x-150)=750,解得x=200,
经检验,x=200是所列方程的解,且符合题意.
答:该水果店老板这次购进樱桃200千克.
21.(10分)(2024·遵义质检)已知m,n互为相反数,且m≠n,p,q互为倒数.
(1)求+2pq-的值.
【解析】(1)∵m,n互为相反数,∴m+n=0,=-1,
∵p,q互为倒数,∴pq=1,
∴+2pq-=+2×1-(-1)=0+2+1=3;
(2)爱思考的璐璐发现其中的条件m≠n是多余的,你认为璐璐的想法对吗 为什么
【解析】(2)璐璐的想法不对,
理由是:∵当m=n时,必有m=n=0,
则式子与都没有意义,
∴m≠n这个条件不是多余的.
22.(12分)(2024·毕节期末)老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果,随后用手遮住了原代数式的一部分,如图:◆·(-)÷=.
(1)求被手遮住部分的代数式,并将其化简;
【解析】(1)被手遮住部分的代数式为·÷(-)
=··-=-;
(2)原代数式的值能等于-1吗 请说明理由.
【解析】(2)原代数式的值不能等于-1,
理由是:=-1,
x+1=-(x-1),
x+1=-x+1,
x+x=1-1,
2x=0,
x=0,
要使代数式-·-÷有意义,
x-1≠0且x≠0且x+1≠0,
即x不能为1,-1,0,
所以原代数式的值不能等于-1.
23.(12分)已知关于x的分式方程-=1.
(1)若分式方程的解是x=5,求a的值;
【解析】(1)∵分式方程的解是x=5,
∴-1=1,解得a=1,∴a的值为1;
(2)若分式方程有增根,求a的值;
【解析】(2)-=1,
去分母得x(x+a)-5(x-2)=x(x-2),
整理得ax-3x+10=0,
∵分式方程有增根,∴x=0或2,
当x=0时,0-0+10=0,此时不存在a的值,
当x=2时,2a-6+10=0,
∴a=-2,∴a的值为-2;
(3)若分式方程无解,求a的值.
【解析】(3)①∵ax-3x+10=0,
∴当a-3=0时,方程无解,∴a=3,
②当分式方程有增根时,a=-2,
∴若分式方程无解,a的值为3或-2.
24.(12分)(2024·铜仁碧江区质检)已知下面一列等式:
1×=1-;×=-;×=-;×=-;…
(1)请你根据上面这些等式的结构特征写出它的一般性等式;
(2)验证一下你写出的等式是否成立;
(3)利用等式计算:+++.
【解析】(1)·=-;
(2)∵-=-==·,
∴·=-;
(3)原式=(-)+ (-)+ (-)+ (-)=-=.
25.(12分)已知t=(a,b是常数,x≠-a)①.
(1)若a=-2,b=,求t;
【解析】(1)当a=-2,b=时,t===;
(2)试将等式①变形成“Ax=B”的形式,其中A,B表示关于a,b,t的整式;
【解析】(2)将t=两边都乘(x+a)得,
t(x+a)=bx-1,
去括号得,tx+ta=bx-1,
移项得,tx-bx=-1-ta,
两边都乘-1得,bx-tx=ta+1,
即(b-t)x=ta+1,
∴A=b-t,B=ta+1;
(3)若t的取值与x无关,请说明ab=-1.
【解析】(3)∵t的取值与x无关,
∴b-t=0,即b=t,
∴ta+1=0,即ab+1=0,
∴ab=-1.第十五章 分式
一、选择题(每小题3分,共36分.每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确)
1.(2024·铜仁石阡县期末)下列式子中,是分式的是 ( )
A. B. C.- D.+y
2.(2024·铜仁印江县期中)若分式有意义,则a的取值范围是 ( )
A.a=0 B.a=1 C.a≠-1 D.a≠0
3.(2024·黔东南州期末)若分式的值为0,则x的值为 ( )
A.-1 B.1 C.±1 D.2
4.(2024·遵义期末)化简:+的结果是 ( )
A. B.1 C.2 D.0
5.(2024·安顺期末)在科幻小说《三体》中,有一种高强度的纳米材料“飞刃”,其直径不足头发丝直径的十分之一.根据描述,纳米材料“飞刃”的直径约为0.000 002 m,则数据“0.000 002 m”用科学记数法表示为 ( )
A.2×10-5 m B.0.2×10-6 m C.2×10-7 m D.2×10-6 m
6.(2024·黔西南州期末)对于分式,下列变形正确的是 ( )
A.- B. C. D.
7.(2023·深圳中考)某运输公司运输一批货物,已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物,且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同,设每辆大货车的货运量是x吨,则所列方程正确的是 ( )
A.= B.= C.= D.=
8.(2023·恩施中考)分式方程=的解是 ( )
A.x=3 B.x=-3 C.x=2 D.x=0
9.(2024·毕节期末)计算÷的结果是 ( )
A. B. C. D.
10.(2024·铜仁石阡县质检)已知+=4,则分式的值为 ( )
A. B. C. D.
11.(2024·安顺期末)若关于x的分式方程=-无解,则k的取值是 ( )
A.-3 B.-3或-5 C.1 D.1或-5
12.(2023·牡丹江中考)若分式方程=1-的解为负数,则a的取值范围是 ( )
A.a<-1且a≠-2 B.a<0且a≠-2
C.a<-2且a≠-3 D.a<-1且a≠-3
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2024·铜仁石阡县质检)分式,和-的最简公分母是 .
14.(2023·无锡中考)方程=的解是x= .
15.当x= 时,与互为相反数.
16.(2023·重庆中考A卷)若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解,且关于y的分式方程+=2有非负整数解,则所有满足条件的整数a的值之和是 .
三、解答题(本大题共9题,共98分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)计算:(1)1-÷;
(2) (x-1-)÷.
18.(10分)(2024·黔东南州期末)下面某同学解分式方程的过程,请认真阅读并完成相应学习任务:+2=.
解:方程两边同乘x-2,得x-3+2=-3(第一步),
解得x=-2(第二步),
∴原分式方程的解为x=-2(第三步).
(1)上面的解题过程从第 步开始出现错误,这一步错误的原因是 ;
(2)请写出正确的解题过程.
19.(10分)(2024·遵义期末)先化简: (x+1-)÷,再从1,2,3中选取一个适当的数代入求值.
20.(10分)(2024·安顺期末)某水果店老板用3 000元购进了一批樱桃,由于樱桃刚在果园采摘比较新鲜,前三天他以高于进价40%的价格共卖出150千克,由于樱桃保鲜期短,第四天他发现店里的樱桃卖相已不大好,于是果断地将剩余樱桃以低于进价20%的价格全部售出,前后一共获利750元.设该水果店老板购进了x千克樱桃.
(1)这批樱桃的进价为元/千克;(用含x的式子表示)
(2)该水果店老板这次购进樱桃多少千克
21.(10分)(2024·遵义质检)已知m,n互为相反数,且m≠n,p,q互为倒数.
(1)求+2pq-的值.
(2)爱思考的璐璐发现其中的条件m≠n是多余的,你认为璐璐的想法对吗 为什么
22.(12分)(2024·毕节期末)老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果,随后用手遮住了原代数式的一部分,如图:◆·(-)÷=.
(1)求被手遮住部分的代数式,并将其化简;
(2)原代数式的值能等于-1吗 请说明理由.
23.(12分)已知关于x的分式方程-=1.
(1)若分式方程的解是x=5,求a的值;
(2)若分式方程有增根,求a的值;
(3)若分式方程无解,求a的值.
24.(12分)(2024·铜仁碧江区质检)已知下面一列等式:
1×=1-;×=-;×=-;×=-;…
(1)请你根据上面这些等式的结构特征写出它的一般性等式;
(2)验证一下你写出的等式是否成立;
(3)利用等式计算:+++.
25.(12分)已知t=(a,b是常数,x≠-a)①.
(1)若a=-2,b=,求t;
(2)试将等式①变形成“Ax=B”的形式,其中A,B表示关于a,b,t的整式;
(3)若t的取值与x无关,请说明ab=-1.
