第十一章 三角形
一、选择题(每小题3分,共36分.每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确)
1.(2024·黔南州期末)下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是 ( )
A.2.5 cm,3.5 cm,7 cm B.4 cm,5 cm,10 cm
C.2.9 cm,4.1 cm,5 cm D.2 cm,4 cm,6 cm
2.(2024·遵义红花岗区期中)人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做的道理是 ( )
A.两点之间,线段最短 B.垂线段最短
C.两直线平行,内错角相等 D.三角形具有稳定性
3.(2024·遵义质检)用三角板作△ABC的边BC上的高,下列三角板的摆放位置正确的是 ( )
4.(2024·贵阳花溪区质检)如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,下列结论错误的是 ( )
A.图中有三个直角三角形 B.∠1和∠B都是∠A的余角
C.∠1=∠2 D.∠2=∠A
5.(2024·贵阳花溪区质检)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,DE∥AB,
若∠CDE=160°,则∠B的度数为 ( )
A.70° B.60° C.50° D.40°
6.如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点,且S△ABC=16 cm2,则S阴影等于 ( )
A.8 cm2 B.4 cm2 C.2 cm2 D.1 cm2
7.(2024·黔西南州期末)将一副含30°,45°的三角板按图中的方式放置,则∠α+∠β= ( )
A.45° B.50° C.55° D.60°
8.(2023·泰安中考)把一块直角三角板和一把直尺如图放置,若∠1=35°,则∠2的度数等于 ( )
A.65° B.55° C.45° D.60°
9.(2024·大同质检)如图,亭子的地基平面图是一个正五边形,记为正五边形ABCDE,连接AC和AD,已知∠BAC=∠BCA=∠EAD=∠EDA,则∠CAD的度数为 ( )
A.30° B.36° C.40° D.45°
10.(2024·贵阳花溪区质检)四边形剪去一个角后,内角和将 ( )
A.减少180° B.不变
C.增加180° D.以上都有可能
11.如图是可调躺椅示意图(数据如图),AE与BD的交点为C,且∠CAB,∠CBA,∠E保持不变.为了舒适,需将∠D=20°进行调整,使得∠EFD=130°,则∠D应调整为 ( )
A.10° B.30° C.40° D.50°
12.(2024·黔西南州期末)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是高,BE是中线,CF是角平分线,CF交AD于点G,交BE于点H,给出以下结论:①BF=AF;②∠AFG=∠AGF;③∠FAG=2∠ACF;④S△ABE=S△BCE;⑤BH=CH.其中结论正确的有 ( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2024·贵阳期末)已知△ABC中,三个内角的度数比为∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5,则△ABC中最大的内角度数是 .
14.(2023·杭州中考)如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE∥BC,点F在线段BC的延长线上.若∠ADE=28°,∠ACF=118°,则∠A= .
15.(2024·黔南州期末)禁令标志是交通标志中的一种,是对车辆加以禁止或限制的标志,如禁止通行、禁止停车、禁止左转弯、禁止鸣喇叭、限制速度、限制重量等.如图,该禁令标志的内角和是 .
16.(2024·遵义绥阳县期中)如图,五边形ABCDE中,AB∥CD,∠1,∠2,∠3分别是
∠BAE,∠AED,∠EDC的外角,则∠1+∠2+∠3= .
三、解答题(本大题共9题,共98分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图,已知钝角△ABC.
(1)请你画出AC边上的高BD,BC边上的高AE;
(2)在(1)的前提下求证:∠CBD=∠CAE.
18.(10分) (2024·遵义质检)如图,直线DE经过点A,DE∥BC,∠B=40°,∠C=57°.
(1)分别求∠DAB,∠EAC及∠BAC的度数;
(2)通过这道题,你能说明为什么三角形的内角和是180°吗
19.(10分)(2024·贵阳花溪区质检)佳园工艺店打算制作一批有两边长分别是7分米,3分米,第三边长为奇数(单位:分米)的不同规格的三角形木框.
(1)要制作满足上述条件的三角形木框共有 种.
(2)若每种规格的三角形木框只制作一个,制作这种木框的木条的售价为8元/分米,问:至少需要多少钱购买材料 (忽略接头)
20.(10分) (2024·遵义绥阳县期中)如图,在△ABC中,已知AD是角平分线,∠B=62°,
∠C=58°.
(1)求∠BAD的度数;
(2)若DE⊥AC于点E,求∠ADE的度数.
21.(10分)(1)若多边形的内角和为2 340°,求此多边形的边数;
(2)一个n边形的每个外角都相等,如果它的内角与相邻外角的度数之比为13∶2,求n的值.
22.(12分)如图,已知CD是△ABC中∠ACB的外角平分线.
(1)若∠ACE=150°,∠BAC=100°,求∠B的大小;
(2)请说明∠BAC>∠B.
23.(12分)已知:如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点D,DE⊥BC于点E,∠BDE-∠DCE=n°.
(1)若n°=30°,求∠A的度数;
(2)试用含n°的式子表示∠A.
24.(12分)(2024·贵阳花溪区质检)现有一张△ABC纸片,点D,E分别是△ABC边上两点,若沿直线DE折叠.
(1)如果折成图①的形状,使点A落在CE上,则∠1与∠A的数量关系是 ;
(2)如果折成图②的形状,猜想∠1+∠2与∠A的数量关系是 ;
(3)如果折成图③的形状,猜想∠1,∠2和∠A的数量关系,并说明理由.
25.(12分)综合与实践
【知识生成】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分.
已知:如图1,在△ABC中,点D是BC边上的中点,连接AD.求证:S△ABD=S△ACD.
证明:过点A作AE⊥BC于E,
∵点D是BC边上的中点,∴BD=CD,
∵S△ABD=BD·AE,S△ACD=CD·AE,∴S△ABD=S△ACD.
(1)如图2,在△ABC中,点D是BC边上的中点,若S△ABC=6,则S△ABD= .
(2)如图3,在△ABC中,点D是BC边上的点且CD=2BD,S△ABD和S△ABC存在怎样的数量关系 请模仿写出证明过程.
【问题解决】
(3)现在有一块四边形土地ABCD(如图4),和都想问老熊要这块地,老熊让他们平分,可他们谁都没法平分,请你来帮帮忙.
要求:用不超过三条的线段画出平分方法,并对作法进行描述.可利用带刻度的直尺.第十一章 三角形
一、选择题(每小题3分,共36分.每小题均有A,B,C,D四个选项,其中只有一个选项正确)
1.(2024·黔南州期末)下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是 (C)
A.2.5 cm,3.5 cm,7 cm B.4 cm,5 cm,10 cm
C.2.9 cm,4.1 cm,5 cm D.2 cm,4 cm,6 cm
2.(2024·遵义红花岗区期中)人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做的道理是 (D)
A.两点之间,线段最短 B.垂线段最短
C.两直线平行,内错角相等 D.三角形具有稳定性
3.(2024·遵义质检)用三角板作△ABC的边BC上的高,下列三角板的摆放位置正确的是 (A)
4.(2024·贵阳花溪区质检)如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,下列结论错误的是 (C)
A.图中有三个直角三角形 B.∠1和∠B都是∠A的余角
C.∠1=∠2 D.∠2=∠A
5.(2024·贵阳花溪区质检)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在AC上,DE∥AB,
若∠CDE=160°,则∠B的度数为 (A)
A.70° B.60° C.50° D.40°
6.如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点,且S△ABC=16 cm2,则S阴影等于 (B)
A.8 cm2 B.4 cm2 C.2 cm2 D.1 cm2
7.(2024·黔西南州期末)将一副含30°,45°的三角板按图中的方式放置,则∠α+∠β= (A)
A.45° B.50° C.55° D.60°
8.(2023·泰安中考)把一块直角三角板和一把直尺如图放置,若∠1=35°,则∠2的度数等于 (B)
A.65° B.55° C.45° D.60°
9.(2024·大同质检)如图,亭子的地基平面图是一个正五边形,记为正五边形ABCDE,连接AC和AD,已知∠BAC=∠BCA=∠EAD=∠EDA,则∠CAD的度数为 (B)
A.30° B.36° C.40° D.45°
10.(2024·贵阳花溪区质检)四边形剪去一个角后,内角和将 (D)
A.减少180° B.不变
C.增加180° D.以上都有可能
11.如图是可调躺椅示意图(数据如图),AE与BD的交点为C,且∠CAB,∠CBA,∠E保持不变.为了舒适,需将∠D=20°进行调整,使得∠EFD=130°,则∠D应调整为 (B)
A.10° B.30° C.40° D.50°
12.(2024·黔西南州期末)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是高,BE是中线,CF是角平分线,CF交AD于点G,交BE于点H,给出以下结论:①BF=AF;②∠AFG=∠AGF;③∠FAG=2∠ACF;④S△ABE=S△BCE;⑤BH=CH.其中结论正确的有 (C)
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
二、填空题(每小题4分,共16分)
13.(2024·贵阳期末)已知△ABC中,三个内角的度数比为∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶5,则△ABC中最大的内角度数是 90° .
14.(2023·杭州中考)如图,点D,E分别在△ABC的边AB,AC上,且DE∥BC,点F在线段BC的延长线上.若∠ADE=28°,∠ACF=118°,则∠A= 90° .
15.(2024·黔南州期末)禁令标志是交通标志中的一种,是对车辆加以禁止或限制的标志,如禁止通行、禁止停车、禁止左转弯、禁止鸣喇叭、限制速度、限制重量等.如图,该禁令标志的内角和是 1 080° .
16.(2024·遵义绥阳县期中)如图,五边形ABCDE中,AB∥CD,∠1,∠2,∠3分别是
∠BAE,∠AED,∠EDC的外角,则∠1+∠2+∠3= 180° .
三、解答题(本大题共9题,共98分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)如图,已知钝角△ABC.
(1)请你画出AC边上的高BD,BC边上的高AE;
【解析】(1)如图所示,BD,AE即为所求;
(2)在(1)的前提下求证:∠CBD=∠CAE.
【解析】(2)∵BD⊥AC,AE⊥BC,
∴∠CBD+∠BCD=90°,∠CAE+∠ACE=90°,
又∵∠BCD=∠ACE,∴∠CBD=∠CAE.
18.(10分) (2024·遵义质检)如图,直线DE经过点A,DE∥BC,∠B=40°,∠C=57°.
(1)分别求∠DAB,∠EAC及∠BAC的度数;
【解析】(1)∵DE∥BC,∴∠DAB=∠B=40°,∠EAC=∠C=57°;
∵直线DE过点A,∴∠DAB+∠EAC+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°-40°-57°=83°;
(2)通过这道题,你能说明为什么三角形的内角和是180°吗
【解析】(2)∵DE∥BC,∴∠B=∠DAB,∠C=∠EAC,
∵∠DAB+∠EAC+∠BAC=180°,
∴∠B+∠C+∠BAC=180°,即三角形内角和为180°.
19.(10分)(2024·贵阳花溪区质检)佳园工艺店打算制作一批有两边长分别是7分米,3分米,第三边长为奇数(单位:分米)的不同规格的三角形木框.
(1)要制作满足上述条件的三角形木框共有 种.
【解析】(1)三角形的第三边x满足:7-3(2)若每种规格的三角形木框只制作一个,制作这种木框的木条的售价为8元/分米,问:至少需要多少钱购买材料 (忽略接头)
【解析】(2)制作这种木框的木条的长为3+5+7+3+7+7+3+7+9=51(分米),∴51×8=408(元).
答:至少需要408元购买材料.
20.(10分) (2024·遵义绥阳县期中)如图,在△ABC中,已知AD是角平分线,∠B=62°,
∠C=58°.
(1)求∠BAD的度数;
【解析】(1)∵在△ABC中,∠B=62°,∠C=58°,∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°.
∵AD是△ABC的角平分线,∴∠BAD=∠BAC=30°;
(2)若DE⊥AC于点E,求∠ADE的度数.
【解析】(2)∵∠CAD=∠BAC=30°,DE⊥AC
∴在Rt△ADE中,∠EAD=30°,∴∠ADE=90°-∠EAD=60°.
21.(10分)(1)若多边形的内角和为2 340°,求此多边形的边数;
【解析】(1)设此多边形的边数为n,则
(n-2)·180°=2 340°,解得n=15.
故此多边形的边数为15;
(2)一个n边形的每个外角都相等,如果它的内角与相邻外角的度数之比为13∶2,求n的值.
【解析】(2)设多边形的一个外角为2x度,则一个内角为13x度,
依题意得13x+2x=180,解得x=12.
2x=2×12=24,360÷24=15.
故n的值为15.
22.(12分)如图,已知CD是△ABC中∠ACB的外角平分线.
(1)若∠ACE=150°,∠BAC=100°,求∠B的大小;
【解析】(1)∵∠ACE=150°,∠BAC=100°,
∴∠B=∠ACE-∠BAC=150°-100°=50°.
(2)请说明∠BAC>∠B.
【解析】(2)∵CD是△ABC中∠ACB的外角平分线,∴∠ACD=∠ECD,
∵∠BAC是△ACD的外角,∴∠BAC>∠ACD,
∴∠BAC>∠ECD,
∵∠ECD是△BCD的外角,∴∠ECD>∠B,∴∠BAC>∠B.
23.(12分)已知:如图,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点D,DE⊥BC于点E,∠BDE-∠DCE=n°.
(1)若n°=30°,求∠A的度数;
【解析】(1)∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点D,
∴设∠ABD=∠CBD=x,∠ACD=∠BCD=y,
∵DE⊥BC,∴∠DEB=90°,
∴∠BDE=90°-∠CBD=90°-x,
∵∠BDE-∠DCE=n°,
∴90°-x-y=n°,
∴x+y=90°-n°,当n°=30°时,x+y=60°,
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2(x+y)=60°;
(2)试用含n°的式子表示∠A.
【解析】(2)由(1)可知x+y=90°-n°,
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2(x+y)=180°-2(90°-n°)=2n°.
24.(12分)(2024·贵阳花溪区质检)现有一张△ABC纸片,点D,E分别是△ABC边上两点,若沿直线DE折叠.
(1)如果折成图①的形状,使点A落在CE上,则∠1与∠A的数量关系是∠1=2∠A;
【解析】(1)如题图①,∠1=2∠A,理由是:由折叠得:∠A=∠DA'A,
∵∠1=∠A+∠DA'A,∴∠1=2∠A;
(2)如果折成图②的形状,猜想∠1+∠2与∠A的数量关系是∠1+∠2=2∠A;
【解析】(2)如题图②,猜想:∠1+∠2=2∠A,理由是:
由折叠得:∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED,
∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A'DE-∠AED-∠A'ED=360°-2∠ADE-2∠AED,
∴∠1+∠2=2(180°-∠ADE-∠AED)=2∠A;
(3)如果折成图③的形状,猜想∠1,∠2和∠A的数量关系,并说明理由.
【解析】(3)∠2-∠1=2∠A,理由是:
∵∠2=∠AFE+∠A,∠AFE=∠A'+∠1,
∴∠2=∠A'+∠A+∠1,
∵∠A=∠A',
∴∠2=2∠A+∠1,
∴∠2-∠1=2∠A.
25.(12分)综合与实践
【知识生成】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分.
已知:如图1,在△ABC中,点D是BC边上的中点,连接AD.求证:S△ABD=S△ACD.
证明:过点A作AE⊥BC于E,
∵点D是BC边上的中点,∴BD=CD,
∵S△ABD=BD·AE,S△ACD=CD·AE,∴S△ABD=S△ACD.
(1)如图2,在△ABC中,点D是BC边上的中点,若S△ABC=6,则S△ABD= .
(2)如图3,在△ABC中,点D是BC边上的点且CD=2BD,S△ABD和S△ABC存在怎样的数量关系 请模仿写出证明过程.
【问题解决】
(3)现在有一块四边形土地ABCD(如图4),和都想问老熊要这块地,老熊让他们平分,可他们谁都没法平分,请你来帮帮忙.
要求:用不超过三条的线段画出平分方法,并对作法进行描述.可利用带刻度的直尺.
【解析】
(1)S△ABD=S△ABC=×6=3.
答案:3
(2)S△ABC=3S△ABD.理由如下:
过点A作AE⊥BC于E,
∵CD=2BD,∴BC=3BD,
∵S△ABD=BD·AE,S△ABC=BC·AE,
∴S△ABC=3S△ABD.
(3)方法一:如图,连接BD,取BD的中点E,连接AE,CE,则四边形ADCE就是四边形ABCD的一半.
由BE=DE知S△ABE=S△ADE,S△BEC=S△DEC,
∴S四边形ABCE=S四边形ADCE.
方法二:如图,取AD的中点H,取BC的中点F,连接AF,CH,AC,则四边形AFCH就是四边形ABCD的一半.
∵点H是AD的中点,点F是BC的中点,
∴S△ABF=S△ACF,S△ACH=S△DCH,
∴S四边形AFCH=S△ACF+S△ACH=S四边形ABCD.
