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第1讲 函数的概念及其表示
考试要求 1.映射、函数的概念，求简单函数的定义域和值域，B级要求；2.选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，B级要求；3.简单的分段函数及应用，A级要求．
知 识 梳 理
1．函数的基本概念
(1)函数的定义
设A，B是两个非空的 ，如果按某种对应法则f，对于集
合A中的每一个元素x，在集合B中都有 元素y和它
对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，记
作 .
唯一
y＝f(x)，x∈A
数集
(2)函数的定义域、值域
在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有的输入值x组成的集合A称为
函数y＝f(x)的 ；将所有输出值y组成的集合叫做函数
的 ．
(3)函数的三要素： 、 和 ．
(4)函数的表示法
表示函数的常用方法有 、 和 ．
定义域
值域
定义域
对应法则
值域
解析法
图象法
列表法
(5)分段函数
在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不
同的 ，这种函数称为分段函数．
分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域
的 ，值域是各段值域的 ．
2．映射的概念
设A，B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的
每一个元素，在B中都有 的元素与之对应，那么这样
的单值对应叫做从集合A到集合B的一个 ．
对应法则
并集
并集
唯一
映射
3．函数定义域的求法
f(x)≠0
f(x)＞0
诊 断 自 测
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．( )
(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( )
(3)函数是特殊的映射．( )
(4)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )
×
×
√
×
2．给出下列函数：①f(x)＝|x|；②f(x)＝x－|x|；③f(x)＝x＋1；④f(x)＝－x.其中满足f(2x)＝2f(x)的是______(填序号)．
解析 将f(2x)表示出来，看与2f(x)是否相等．
对于①，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；
对于②，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；
对于③，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)；
对于④，f(2x)＝－2x＝2f(x)，
故只有③不满足f(2x)＝2f(x)．
答案 ①②④
答案 (2，＋∞)
4．已知f(2x＋1)＝3x－4，f(a)＝4，则a＝________.
解析 g(π)＝0，f(g(π))＝f(0)＝0.
答案 0
答案 (1)(－3,0] (2)(－1,1)∪(1，＋∞)
规律方法 (1)给出解析式的函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合 ，在求解时，要把各个部分自变量的限制条件列成一个不等式(组)，这个不等式(组)的解集就是这个函数的定义域，函数的定义域要写成集合或者区间的形式．(2)对于实际问题中求得的函数解析式，在确定定义域时，除了要考虑函数解析式有意义外，还要使实际问题有意义．
答案 (1)(2,3)∪(3，＋∞) (2)(0,1]
答案 (1)－3 (2)(－∞，8]
规律方法 (1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
微型专题 抽象函数的定义域问题
抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感觉棘手，在高考中一般不会单独考查，但从提升能力方面考虑，还应有所涉及．
点拨 先利用换元法求出函数f(x＋1)的定义域，则函数g(x)的定义域为f(x＋1)的定义域与不等式x－1≠0的解集的交集．
答案 [0,1)∪(1,2 014]
点评 函数的定义域是函数解析式中自变量的取值范围，即f(x)与f(g(x))的定义域都是自变量x的取值范围，常见有如下两种类型：(1)已知函数f(x)的定义域为D，则函数f(g(x))的定义域就是不等式g(x)∈D的解集；(2)已知函数f(g(x))的定义域为D，则函数f(x)的定义域就是函数y＝g(x)(x∈D)的值域.
[思想方法]
1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应法则是否相同．
2．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质和图象的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先意识．
3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、方程法．
