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函数专题复习
函数的概念与性质
平凉五中 梁爱花
学习目标
1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，会用集合与对应的语言描述函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。
2.了解函数的构成要素，会求简单函数定义域和值域，会根据实际情境的不同需要选择恰当的方法表示函数。
3.通过已学过的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性的含义，会用函数图象理解和研究函数的性质。
命题角度
1.给出函数关系式求定义域。 如2014山东，3；2013山东，5等。
2.给出分段函数表达式，求函数值或参数值。 如2014江西，4；2014浙江，15等。
3.已知具体函数的解析式判断单调性或求单调区间。 如2014湖南，4；2012辽宁8等。
4.判断已知函数的奇偶性。 如2014重庆，4；2012陕西，2等。
5.与函数的单调性等相结合，考查函数性质的综合应用。 如2014安徽，14；2013江苏，11等。
一 . 要点回顾
1.函数的概念
设A，B都是非空的数集，f是从A到B的一个对应法则.那么，从A到B的映射f：A→B就叫做从A到B的函数.记做y=f(x)，其中x∈A，y∈B，A叫做函数f(x)的定义域.
B.
2.构成函数的三要素：
在函数y=f(x)， x∈A中，
定义域：自变量x的取值范围A叫做定义域；
值域：与x的值对应的y值叫做函数值，函数值得集合｛ f(x) |x∈A｝叫做值域，值域是集合的子集。
定义域，值域，对应关系是构成函数的三要素。
注意：
只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才是同一个函数，换言之就是：
定义域不同，两个函数不同。
对应关系不同，两个函数也不同。
即使定义域和值域都分别相同的两个函数它们也不一定是同一函数，如函数y=2x+3和y=-2x+3
3 .函数的单调性
函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D上的函数f(x)，若对于任意x1、x2∈D，当x1f(x2))，则称f(x)在区间D上为单调增(或减)函数．
反映在图象上，若函数f(x)是区间D上的增(减)函数，则图象在D上的部分从左到右是上升(下降)的．如果函数f(x)在给定区间(a，b)上恒有
f ′(x)>0(f ′(x)<0)，则f(x)在区间(a，b)上是增(减)函数，(a，b)为f(x)的单调增(减)区间．
判定单调性方法主要有定义法、图象法、导数法等.
4.函数的奇偶性
奇偶性
设函数f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集.若对任意的x∈D，都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(－x)=f(x),则称f(x)是偶函数.
奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
5.函数的周期性
对于函数f(x),如果存在一个不为零的正数T，使得当x取定义域中的每个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数。T称做这个周期函数的周期.
如果函数f(x)的所有周期中存在最小值T0 ，称T0为周期函数f(x)的最小值正周期.
6.函数的最值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M (或f(x)≥M)；
②存在x0∈I，使f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大值(或最小值)．
例1.下列各组函数表示相等函数的是( )
A.f(x)=x-2,g(x)=
B.f(x)= ,g(x)=1
C.f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1
D.f(x)= ,g(x)=
二、 典型例题
c
解析：选项A中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠-2}，故定义域不同，因此不是相等函数；
选项B中f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为R，故定义域不同，因此不是相等函数；
选项D中f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠1}，定义域不同，因此不是相等函数；
而C只是表示变量的字母不一样，表示的函数是相等的.
【解析】由f(x)是R上周期为5的奇函数，
则f(0)＝0且满足f(2010)＝f(0)＝0，
f(2011)＝f(5×402＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－1.
故f(2010)－f(2011)＝1.
例5:已知函数y=x2+2x+2,x D,求此函数在下列各D中的最值：
① [-3,-2]； ② [0,1]
x
y
x
y
O
-1
-1
O
1
-3
-2
2
5
5
2
已知函数y=x2+2x+2,x D,求此函数在下列各D中的最值：
③ [-2,1] ；④[-3, ]
x
y
-1
x
O
-1
y
-2
1
-3
1
5
5
1
三 . 课堂练习
2.已知f(x)=x2+mx+n(m,n)，当f(x)=0时，对应x的值得集合为
{-2，-1}
（1）求m,n的值；
（2）当 x 为何值时， f(x)取最小值 最小值是多少？
四.课时小结
本节主要是用历届高考题型来探讨函数的概念、单调性、奇偶性、周期性的性质以及分段函数的题型。
1.下列各组函数表示相等函数的个数是( )
① y= 与y=x+3(x≠3)
②y= 与y=x-1
③y=2x+1,x∈Z与y=2x-1,x∈Z
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
五.课后作业
