（第6节）相似三角形的判定（3）
目标：使学生明确相似三角形的识别方法3，4并能简单应用
重点：相似三角形的识别
过程：
一、复习：相似三角形预备定理。
1、已知：DE∥BC，EF∥AB
求证：①△ADE∽△EFC
②若AD:DB=2:3，则BF:FC=
2、订正上节课作业5
作DE∥BC—→△ADE∽△ABC 作∠ADE=∠C—→△ADE∽△ACB
二、新课：
作图：书45页探究2
定理2：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两三角形相似。
（三边成比例，两三角形相似）
作用：由 △ABC～△A’B’C’
定理3：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）
作用：由△ABC～△A’B’C’
例1、依据下列条件，判定△ABC和△A’B’C’是不是相似，并说明为什么？
（1）∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm
∠A’=120°，A’B’=3cm，A’C’=6cm
（2）AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm
A’B’=12cm，B’C’=18cm，A’C’=21cm
解（1）∵，
∴
又∠A=∠A’=120°
∴△ABC∽△A’B’C’（ ）
（2）∵； ；
∴
∴△ABC与△A’B’C’不相似。
问题：要使△ABC与△A’B’C’相似，不改变AC的值，A'C'的长应该是多少？
点评：1、先求比值，再判断是否成比例。
2、如何确定对应线段呢？三条线段中，短、中、长分别对应求比。
例2：要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，现在有几个同学完成了这项工作，但他们的答案都不一样，这是为什么？（学生分组讨论）
图1
在△ABC中，AB=4，BC=5，AC=6。
在AB上取AD=2，作DE∥BC交AC于E
则△ADE∽△ABC
∴
∴DE=2.5 AE=3
①△ADE的三边长为2.5，3，2
同图1，如果AE=2 ③如果DE=2
②
∴
∴△ADE的三边长为2， ∴△ADE的三边长为2，
在AB上取一点E，使∠ADE=∠C
△ADE∽△ACB
④若AE=2 则 ，AD=3，DE= 同①
将△ADE绕点A
⑤若AD=2 则 ， 同②
⑥若DE=2 则 ， 同③
结论：与△ABC相似的三角形有3个
他们的边长分别为2，，3；，，2；，2，。
图1，图2所得到的结论是一样的。
例3、已知：D，E，F分别为△ABC各边中点，
求证：△DEF∽△ABC
讨论证明方法
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1（第2节）比例的性质
教学目标：使学生在掌握比例的基本性质的基础上，理解比例的八种变形，掌握等比定理及应用。
教学重点：等比定理的应用
教学过程
复习：1。下列各线线段中，能成比例的是（c）
（A）3，6，7，9（B）2，5，6，8
（C）3，6，9，18（D）1，2，3，4
2。若a=8cm，b=6cm，c=4cm，则a，b，c的第四比例项d=__3___。a，c的比例中项x=__4___。
3。若（2-x）：x=x：（1-x），则x=_______。
4。在比例尺为1：10000的地图上，距离为3cm的两地实际距离为___0.3___公里。
新课：（1）比例的基本性质： → bc=ad 等积式
比例式 — 转换
如果bc=ad 那么它的比例式是什么？
bc=ad → →
→ （ b,c作为内项 ）
对上一组同时交换比的前项和后项→ ，，，（b,c作为外项）
由等积式变形成比例式 形势不唯一。
1. 交换比例内项
2. 交换比例外项
3. 颠倒比例的前后项
练习1。若bc=ad 则 ， ， ，
2。如果2a=5b 则 ， 若 x= 则
（2）等比定理：
如果 =………= (b+d+…n ≠0)
那么 =
即：若干个相等的比，其分子的和与分母的和的比等于其中任一个比。
证明：令=………==k
那么a=bk,c=dk,…m=nk
∴ = = = k
例1。已知： ,求
（注：另一种形式 x:y:z=3:4:5 或 x:3=y:4=z:5）
解法1：设=k , ∴x=3k, y=4k, z=5k （比例的基本性质）
∴ = = 4
解法2：∵ ，∴ ∴= = 4 （等比定理）
解法3：= ，∵ ∴ ∵ ∴
∴原式 = 1+ = 4
例2 已知： x:y:z=2:3:4 且x+y-z=6
求 x,y,z
解：设x:y:z=2:3:4=k, ∴ x=2k , y=3k, z=4k （碰到比例设比值）
∵x+y-z=6 ∴2k+3k-4k=6 （构造关于k的方程）
∴k=6 ∴ x=12, y=8, z=24
小结：1。掌握等积式和比例式的互换，尽管形式多样但要保证正确运用比例的基本性质。
若 →（交换内项）
→ （交换外项）
→ （前后颠倒）
2。掌握等比定理。
作业：1。如果ab=cd 写出以a为第四比例项的比例式。
2。若 求出 ， 的值
3。若x：y：z=2：7：5 且 x-2y+3z=6
求 x，y，z的值
4。若：x：y：z=2：3：4 求 ， 的值
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2（第8节）相似三角形的性质（1）
目标：在巩固相似三角形基本性质的基础上通过观察、推理探究推导出相似三
角形的性质，并会应用。
重点：相似三角形性质的应用
过程
复习、引入：
问题：相似三角形的基本性质是 ，识别方法是 。
△ABC∽△A’B’C’，AD⊥BC于D，
A’D’⊥B’C’于D’，试想AD、A’D’之
间有什么关系？
∵AD⊥BC于D，A’D’⊥B’C’于D’
∴∠ADB=∠A’D’ B’=Rt∠
又△ABC∽△A’B’C’
∴∠B=∠B’
∴△ADB∽△A’ D’ B’
∴AD：A’D’=AB：A’B’
即：相似三角形对应高的比等于相似比。相似三角形面积的比等于相似比的平方。
相似三角形的性质：
概括为：1、相似三角形周长的比等于相似比。
2、相似多边形周长的比等于相似比。
3、相似三角形面积的比等于相似比的平方。
4. 相似多边形面积的比等于相似比的平方。
练习1、书P54—练习1~3
练习2、 如图，DE∥BC，且AD：DB=1：2
则△ABC与△ADE的相似比为 ；
面积比为 ；若S△ADE=3，
则梯形DBCE的面积为 。
如图，∠ACB=∠CDB=90°
且S△BCD：S△CAD=1：3
则BD：CD= 。
例1、已知：△ABC∽△A’B’C’，它们的周长分别为60cm和72cm，
且AB=15cm，B’C’=24cm，求出BC、AC、A’B’、 A’C’的长。
解：∵△ABC∽△A’B’C’
∴（ ）
∵AB=15cm，B’C’=24cm
∴；
∴A’B’=18cm，BC=20cm
∴AC=60-15-20=25cm
A’C’=72-24-18=30cm
例2：如图：△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，△ABC
的周长是24，面积是48，求△DEF的周长和面积。
练习3、△ABC和△A’B’C’中，∠C=∠C’=90°，∠A=∠A’，BC=6
AC=8，且△A’B’C’的周长为72，求 △A’B’C’的各边长。
小结：1、相似三角形的性质。
2、会根据性质求出两个相似三角形的相似比。
作业：
1、
2、已知：△ABC∽△A’B’C’，它们的周长分别为144cm和120cm，且BC=48cm，
A’B’=30cm，求AB、AC、B’C’ 、A’C’的长。
3、△ABC中，AB=12cm，BC=18cm，CA=24cm，另一个和它相似的△A’B’C’
的周长为81cm，求△A’B’C’的各边长。
4、已知：四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ACD=∠ABC，
求证：
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2（第10节）相似三角形的应用
教学目标：
1． 在学生认识相似三角形性质和识别的基础上，通过在实际问题中应用对所学知识进行不断巩固和提高。
2． 通过教学培养学生的合作、交流、探索的优良品质和运用数学建摸以及化归的意识。
教学重点和难点：
对所学知识的灵活应用和体会数学建摸在初中数学中的应用。
教学过程：
1．知识回顾：相似三角形的性质：
相似三角形的对应边成比例，对应角相等；
相似三角形的对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比；
相似三角形的周长比等于相似比；
相似三角形的面积比等于相似比的平方；
2．知识应用：
例 1．( 书49页例3) 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部里一根木杆，借助太阳光线过程两个相似三角形，来测量金字塔的高度。
如图，求金字塔的高度OB.
解：
想一想：怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度
方法1：利用阳光下的影子.
测量数据：身高AC、影长BC、旗杆影长EF.
找相似：△ABC∽△DEF.
方法2：利用标杆.
测量数据：身高AD、标杆BE、旗杆与标杆之间距离BC、
人与标杆间距离AB.（D、E、F共线）
找相似：△DGE∽△DHF
找比例：
方法3：利用镜子的反射.
测量数据：身高DE、人与镜子间的距离AE、旗杆与镜子间距离AC.
找相似：△ADE∽△ABC.
练习1：（练习册52—2）
例2：（书50—例4）
小结：借助建筑物垂直地面，太阳光线互相平行，光的折射等条件确定相似三角形，再利用对应边的比，列方程求解。
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2（第5节）相似三角形的识别（AA）
目标：使学生理解并掌握相似三角形的识别方法（AA）。并能简单应用。学生初识双垂直定理
重点：定理“两角相等，两三角形相似”的应用。
过程：
一、复习：相似三角形预备定理。
1.在△ABC，DE∥BC，且AD：DB=2：3，DE=1.5，求BC的长。
2. 在△ABC，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=2：3，△ADE与△EFC
相似吗？相似比k= .
二、探究：
在△ABC和△A’B’C’中，如果：∠A=∠A’， ∠B=∠B’→
△ABC∽△A’B’C’（AB>A’B’）
在AB上截取AD=A’B’。做DE∥BC，交AC与E
则△ADE∽△ABC
又∵∠1=∠B，∠B=∠B’ ∴∠1=∠B’
在△ADE和△A’B’C’中
∠A=∠A’
AD=A’B’
∠1=∠B’
∴△ADE≌△A’B’C’
∴△ABC∽△A’B’C’
定理：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
练习：１、两个等腰三角形在什么条件下是相似三角形，为什么？
顶角相等的两个等腰三角形；底角相等的两个等腰三角形
2、 如图，DE⊥AB于E，BC⊥AD于C，DE、BC相交于F
找出图中的相似三角形
→分离出基本图形
双垂直图形
公共锐角 对顶角
应用：
例1：已知：△ABC中∠C=90°，ED⊥AB于D你能得出什么结论？
解：∵ED⊥AB于D
∴∠1=90° ∴∠1=∠C
又 ∠A=∠A
∴△AED∽△ABC（里角对应相等，两三角形相似）
∴
双垂直图形 ∴AE·AC=AB·AD
（点评：①观察图形特征：在两个Rt△必有一旦锐角对应相等，这两个直角三角形相似；②看结论，AE·AC，AB·AD积中的两条线段共线，此时图中不存在平行线，即ED不可能与CB平行，等积式的成立应从相似三角形入手③如果比例前项后项共线则必存在平行线；）
例2：将ED平移，形成Rt△斜边上的高。
又会有什么结论？
这三组相似三角形不仅有公共角还有公共边。
△ACD∽△ABC AC2=AD·AB
△BCD∽△BAC BC2=BD·AB
△ACD∽△CBD CD2=AD·BD 双垂直图形
例3：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D若BC=3，AC=4
试求出AD·BD和CD
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3
∴
∵CD⊥AB
∴ ∴
∵∠1=∠ACB=90°，∠B=∠B ∴△BCD∽△BAC（ ）
∴BC：AB=BD：BC ∴
∴9=5BD ∴ ∴
练习：已知，如图：∠ACD=∠B，且AD=4，BD=5
求：AC的长
小结：1、两组对应角相等—→两三角形相似—→对应边成比例；
2、在Rt△中，只需一组锐角相等，即可证出相似三角形。
3、 熟识双垂直图形，会证明AC2=AD·AB， BC2=BD·AB
CD2=AD·BD。并能应用他们做到六条线段知二求四。
作业：1、△ABC和△A’B’C’中，∠A=40°，∠B=70°，∠A’=40°，
∠C’=70°； 求证：△ABC∽△A’C’B’
2、已知：△ABC和△A’B’C’中，∠B=25°，∠C=50°，∠B’=105°，
∠C’=25°；这两个三角形相似么？为什么？
3、已知：如图，D、E是△ABC中AB，AC上的点
且∠C=85°，∠A=35°，∠AED=60°
求证：AD·AB=AE·AC
4、已知：如图，AB∥A’B’，BC∥B’C’，
AC∥A’C’
求证：△ABC∽△A’B’C’
5、已知△ABC，在BC上取一点D做一直线，与AC相交于E，使新构成的三角形与原三角形相似（画出图形，说明理由）
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3（第3节） 图形的相似
教学目标：
通过生活中的实例让学生经历、观察、操作、欣赏认识图形的相似，探索它的基本特征，理解“对应线段成比例但不一定相等，对应角相等”等基本性质．毛
能根据移动两个相似的图形准确的找出对应角、对应线段；
能根据要求作出简单的平面图形的相似图形．
教学重点、难点
重点：相似的基本特征是形状相同．
难点：找出相似图形平移的对应角与对应边．
教学过程
1、 相似图形
播放多媒体——教材中的情境图观察相似是一种常见的几何变换·
把形状相同的图形叫作相似形。
两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到。
讨论：两个等边三角形是相似图形吗？
两个正方形呢？矩形呢？国旗上的五角星呢？
2、 相似图形的性质
以等边三角形：正方形为例,
性质：相似多边形对应角相等，对应边成比例。
利用几何本纸中方格作图并练习相似变换.（书39页）
例（书39页）
5．学习小结
①相似定义在平面内，如果两个图形的形状相同，我们就称这两个图形相似．
②作相似图形必须做到对应角相等、对应边成比例．
课后动手作业．
（1）利用几何作业本小方格纸画一个图形，然后放大2倍和缩小为原来的．
（2）补充习题
①相似变换两个图形的 对应角 相等，对应边 成比例 。
②已知四边形AB CD∽四边形A’B’c’D’相似，则点A的对应点是点 A’ ，点B的对应点是点 B’，线段AB的对应线段是线段 A’B’． ∠DAB的对应角是∠D’A’B’
③如图所示，△DEF∽△ABC，∠ABC＝53 ，则 ∠DEF= 53 ．
④在如图18－l－2所示的五个图案中，图案（2）（3）（4）（5）中与图案（1）相似的是（C）
A．（2）（3） B（3）（4） C．（2）（4） D．（2）（5）
⑤下列图形不相似的是（D）
（1）两个直角三角形;（2）不同距离观看到的同一建筑物;（3）所有的等边三角形;
（4）两个等腰直角三角形;（5）两个等腰三角形;（6）人的两只眼睛.
A.（1）（2） B.（3）（4） C.（4）（6） D．（1）（5）
- 2 -（第12节）位似
教学目标：使学生了解位似图形和为似图形的画法；了解位似变化也是图形之间的一个基本变换。会按要求画出位似图形。
教学重点：画位似图形。
教学过程：
复习：1、如图，要测量A、B两点间距离，在O点打桩，取OA中点C，OB中点D，测得CD=31.4米，则AB=_______________米。
2、一根竹竿的高为 ，影长为 ，同一时刻，某塔楼影长是 ，则塔楼的高度为 .
3、如图所示，在 中， ， ， ， ，则 ， ，.=
了解位似图形
动手操作
现在要把多边形ABCDE放大到1.5倍，即新图与原图的相似比为1.5．
按照下面的方法画图，看看能不能将原来的多边形放大？
1．任取一点O；
2．以点O为端点作射线OA、OB、OC、…；
3．分别在射线OA、OB、OC、 …上分别 取点A’、B’、C’、 … ，使得
OA’:OA=OB’:OB=OC’:OC= …=1.5;
4．连接A’B’、B’C’、 …，得到所要画的 多边形A’B’C’D’E’.
想一想：两图形中对应边有何关系？对应角呢
这两个多边形相似吗？相似比是多少
结论：我们所画的 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点O叫做位似中心．
位似中心到对应顶点的距离比叫作位似比，等于这两个图形的相似比。
思考：1. 位似由哪些因素决定？（位似中心，位似比）
2. 位似变换后所得到的图形与原图形具有什么关系？
利用位似，可以将一个图形放大或缩小。
练习：把一个四边形缩小到原来的1/2，
讨论如何选取位似中心：
观察一：要画四边形ABCD的位似图形，可以在四边形得外部任取一点O，如图，作直线OA、OB、OC、OD，在点O的另一侧取点A′、B′、C′、D′，使 OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝2，也可以得到放大到2倍的四边形A′B′C′D′．
观察二：如图所示，画多边形的位似图形，如果把位似中心取在多边形内部，那么也可以把一个多边形放大或缩小，而且较为简便．
观察三：画多边形的位似图形时，如果把位似中心取在多边形边上或顶点，能否将多边形进行放大或缩小？
由以上观察 您发现了什么？
明确：进行位似变换时，位似中心可以在图形的内部，可以是图形边上的一点，还可以是图形外部的任意一点。
总结
1. 进行位似变换后所得到的图形与原图形相似，对应顶点的连线都经过位似中心.位似中心到对应顶点的距离比等于位似比
2. 进行位似变换时，位似中心可以在图形的内部，可以是图形边上的一点，还可以是图形外部的任意一点。
3. 画已知图形的位似图形时，要明确位似的两个因素，即位似中心和位似比。
课堂练习
1 观察下面三组图形，看看哪两个图形是位似图形，并指出位似图形的位似中心．
2 如图，工人师傅为了在废旧三角形铁片上截取一个面积最大的正方形铁片，先用正方形模板在ΔABC内画一个正方形，然后过正方形在三角形内的一个顶点画射线交边AC于点G，再作GF⊥BC，F为垂足，GD∥BC交AB于D， DE⊥BC， E为垂足，则四边形DEFG就是最大的正方形，这里用到了两个正方形位似的问题，它们的位似中心是_______。
3 由位似变换得到的图形与原图形是（ B ）
A，全等 B ，相似 C，不一定相似 D ，肯定不全等。
4 下列运动形式中：
（1）传送带上的电视机
（2）电梯上的人的升降。
（3）照相时底片上的投影与站在照相机前的人 。
（4）国旗上的五角星。
上述运动形式中是位似变换的有（ C ）
A 0个 B 1个 C 2个 D3个
5 如图，AB与CD交于O,AC∥BD,若CO：CD= 1：4，AC=2cm，则BD= cm；
6 如图，△ABC中，EF∥BC，EF:BC=1:3且BF与CE相交于O，则FO:BO= ；
A
B
C
D
E
A'
B'
C'
D'
E'
O
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2（第9节）相似三角形的性质（2）
教学目标：巩固相似三角形的性质，能应用性质解决相关问题
教学重点：性质的应用
教学过程：
1、 复习：相似三角形的性质
1．如图：DE∥BC ，AN⊥BC于N交DE于M，
若AD：DB=1：2，则AN：AM=1：3 ，
S△ADE ：S提醒DBCE = 1：8
2． 如图□ABCD，且DE：EC=1：2，
OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，
则OM：ON= 3：2 ，
如果S△COE =，则S△AOB=
3． DE是△ABC的中位线，
M为DE中点，BM交AC于N，
则S△NME ：SNBC = 1：16 ，
S△NME ：S四边形ADMN = 1：5
2、 例题与练习
例1 两个相似三角形最长边分别7cm和28cm
（1） 若它们的周长和为105cm，求较小的三角形的周长
（2） 若它们的面积差为105cm2，求较大的三角形的面积
解：（1）由题意：两个相似三角形的相似比K==
设较小三角形的周长为Xcm，则较大的三角形的周长为4Xcm，
∴X+4 X=105 ，∴X=21
(2） 设较小三角形的面积为Y cm2，则较大的三角形的面积为16Y cm2
∴16Y—Y=105，∴Y=7
答：较小的三角形的周长为21cm，较大的三角形的面积为112 cm2
练习1. 两个相似三角形的面积比为1：9，其中一个三角形的周长为15CM，则另一个三角形的周长为 5cm 或 45cm
2. 两个相似三角形的面积比为1：2，且周长差为12cm，这两个三角形的周长分别是 12（+1）或12（+2）
解：K=1： ，X—X=12 X= 12（+1）
例2 有一块三角形的钢板，如图所示. △ABC中，BC=120mm，高AD=80mm要截出一个内接正方形PQMN ，求正方形的边长
解：∵正方形PQMN，AD⊥BC
∴PN∥BC ，AF⊥PN 且PN=PQ=FD=X
又∵△APN∽△ABC
∴PN：BC=AF：AD
即X：120=（80-X）：80
2X=3（80-X）
5X=240
X=48 （MM）
答：正方形的边长为48mm
练习3： 已知如图△ABC中BC=48CM，高AD=16CM，
它的内接矩形MNPQ，两邻边之比为5：9，
求矩形的周长
解：= X=2
周长=2（5X+9X）=····=56（CM）
例3 已知如图△ABC中BC=8，高AD=4，做一个内接矩形PQMN，若设PQ=X，矩形PQMN的面积为Y
（1） 写出Y与X之间的关系式
（2） X为何值时，矩形的面积是△ABC 面积的一半
解：（1）∵矩形PQMN，AD⊥BC
∴PN∥BC ，AE⊥PN且PQ=ED=X
又∵△APN∽△ABC
∴AE：AD=PN：BC
即（4－X）：4 = PN：8
∴PN=8－2X
∴Y=PQ·PN=X·（8－2X）=8X－2X2
（2）S△ABC=xx 8 x 4=8
∴8X—2X2 =8
X2—4X+4=0
X=2
答：当X=2时，S矩形=S△ABC
小结：1 三角形中内接矩形、正方形是一典型题，利用△APN∽△ABC 从而得到= ，是解决此类问题最简捷的方法
a) 设元后，利用相似三角形的性质列比例式，构造方程是求线段长、面积的常用方法
作业：1 两个相似三角形一对对应边长分别35CM和14CM，它们的周长差为60CM，求这两个三角形的周长
2 两个相似三角形的面积比为1：4，且周长和为24CM，求这两个三角形的周长
3 已知如图△ABC中BC=120，高AD=80，
PQMN为内接矩形，如果PQ：PN=1：2，
求矩形的周长
4 **如图：△ABC中，AH为高，
四边形DEFG为内接矩形，
AH与DG相交于K，求的值
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2（第4节）相似三角形预备定理
目标：使学生理解并掌握相似三角形的预备定理。并能简单应用。学生初识A型8字形图形
重点：理解定理，会应用。
过程：
1、 相似三角形
（书42页）相似三角形：
若△ABC～△A′B′C′，则对应角相等，对应边成比例。相似比为k= AB：A′B′；
那么△A′B′C′～△ABC，则相似比为1：k= A′B′：AB
例如 AB：A′B′=2：3，那么△ABC与△A′B′C′的相似比为2：3，而△A′B′C′与△ABC的相似比为3：2；
如AB：A′B′=1：1，那么△ABC与△A′B′C′是全等三角形。
2、 探究三角形相似的判定方法
复习：三角形中位线定理。
问题1： D、E是△ABC中AB、AC的中点，那么△ADE与△ABC相似吗？为什么？
△ADE相似于△ABC记作：△ADE～△ABC，对应边的比叫做相似比。k=1:2
问题2：在△ABC中， D是AB边的中点，DE∥BC交AC于E，那么△ADE与△ABC相似吗？为什么？
结论：1* E是AC的中点。
定理：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。
若AD=DB， DE∥BC 则AE=EC
2*若AD=DB， DE∥BC 则 △ADE～△ABC， 相似比k=1:2
问题3：在△ABC中， D是AB边上人一点，且DE∥BC交AC于E，那么△ADE与△ABC相似吗？
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
？平行于三角形一边的直线和其他两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形是否也相似呢？
基本图形：
与两边相交 与两边的延长线相交
写出相似三角形及它们的相似比。
例题：
1 如图1，已知：DE∥FG∥BC，D、F将AB三等分，
写出图中的相似三角形及对应边的比；
如果BC=6，则DE=___________，FG=_________。
2 已知DE∥BC，CD、BE相交于点O，写出图中的相似三角形及对应边的比；
③ 已知：平行四边形ABCD，写出图中的相似三角形及相似比；
如果 AB=6，BC=8，若AE=2 求：AF。
提示：相似三角形又一性质：
如果△1～△2，△2～△3 则 △1～△3
预备定理的作用：平行线相似三角形 比例线段（知3求1）
练习：1、如图，DG∥EH∥FM∥BC且AD=DE=EF=FB。
指出图中的相似三角形及他们的相似比。
2、平行四边形ABCD，指出图中的相似三角形，
分析：
AD∥BC→1∽（1+2），3∽（3+4）
→1∽3；（1+2）∽（3+4）
AB∥DC→1∽（3+4），（1+2）∽3
共有6组相似三角形
3．已知：如图，GF∥DE∥BC，写出图中的相似三角形以及
每组相似三角形对应边的比例式。
4．填空：已知：如图□ABCD（1）图中与△EAF相似三角形有 ；
（2）△DFG∽ ；（3）△DCG∽ 。
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2（第1节）线段的比与比例线段
目标：了解线段的比，比例线段的意义；掌握比例的基本性质。
重点：比例的基本性质。
教学过程：
1、 两条线段的比：
问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则AB= 。
那么：
定义：如果选用同一长度单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n.
那么就说这两条线段的比是a:b=m:n, 或写成 。（其中a叫作比的前项，b叫作比的后项）
例1：正方形的对角线m与边长a的比是： 。
练习1：填空,在等边三角形ABC中,AD⊥BC与D,求下列各比的值:
AB:AC= AB:BD= BD:AD=
或：
注意：AB：BD=2：1，其中的1不能省略；但分式中分母1可以省略；AB是BD的2倍。
BD：AD=1：，其中可以，但在分式中要化简成 。
线段的比要注意：1：数的比可以是正数也可以是负数，但线段的比都是正数；
2：两条线段的比与所采用的长度单位无关，讨论线段的比时一般不止明单位，但度量两条线段的单位要一致。
例如：若 a=5m,b=70㎝，则a:b= .
二：比例线段
（在小学学过比例，比例的性质？比例的内项？比例的外项？）
定义：对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等。那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段。
其中a,b,c,d叫作组成比例的项，如果a；b=c；d,那么线段a,d叫作比例的外项，b，c叫作比例的内项。线段d叫作a,b,c的第四比例项。（注意a,b,c,d是有序的）
如果a:b=b:c,那么线段b叫作比例中项。
例2：线段a=3㎝， b=8㎝,c=4㎝,d=6㎝；它们是否是比例线段，如果是，写出表达式。
练习2：在△ABC中D、E分别是AB，AC的中点，线段AD、DB，AE，EC是否是比例线段，为什么？线段DE、BC和那两条线度成比例，为什么？
三、比例的基本性质
如果a:b=c:d 那么 bc=ad即：比例的内项积等于外项积。
例3：解答下列各题
1. 已知线段a,b,c,d成比例，且a=1.3㎝,b=2.4㎝,c=3.9㎝,求的第四比例项。
2. 已知线段a=, c=,求a,c的比例中项b，
3. 在比例尺为1：100000地图上量得AB两地间的距离为2㎝ 求AB的实际距离。（通常距离大于1千米时用千米作单位，小于1千米时用米作单位。）
4. 已知：，求x的值。
四、小结：五、作业
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1（第11节） 相似三角形应用2
教学目标：
1． 在学生认识相似三角形性质和识别的基础上，通过在实际问题中应用对所学知识进行不断巩固和提高。
2． 通过教学培养学生的合作、交流、探索的优良品质和运用数学建摸以及化归的意识。
教学重点和难点：
对所学知识的灵活应用和体会数学建摸在初中数学中的应用。
教学过程：
复习：相似三角形的性质
1. 如图，DE∥BC，且AD：DB=1：3，
则△ABC与△ADE的相似比为 ；面积比为 ；
若S△ADE=3，则梯形DBCE的面积为 。
2．（2005重庆）DE是△ABC的中位线，M是DE的中点，CM的延长线交AB于点N，则△DMN∶四边形ANME = .
3.利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆BE长1.1m，AB=1.5m，
BC=8.5m, 求该建筑物高CD的高。
例题，测量河宽：
例1 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D．此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB．
解 ∵ ∠ADB＝∠EDC， ∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴ △ABD∽△ECD
∴
∴(米)
答： 两岸间的大致距离为100米．
例2：（书50—例4）为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R。如果测得QS=45m，ST=90m，QR=60m,求河的宽度PQ。
注意：1.测量时那些点应该共线；
2.可度量的线段；
3.相似三角形，对应线段；
练习：1. 如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米。小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高。请你计算，电线杆AB的高为（ ）
（A） 5米 （B）6米
（C）7米 （D）8米
2、如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的
光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图．
已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米．若灯泡距
离地面3米，则地面上阴影部分的面积为（ ）．
A．0.36π平方米 B． 0.81π平方米
C．2π平方米 D． 3.24π平方米
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2（第7节）相似三角形的识别（hl）
目标：通过推论论证推导出直角三角形相似的识别方法；能利用直角三角形的识别方法证明等积式和相似三角形。
重点：定理的推导与应用
难点：培养学生推理论证的能力
过程
复习：
回顾：相似三角形的识别方法
练习1：已知如图，∠ABC=∠CDB=90°且AC∥BD，如果AC=13，BC=12
求：BD的长
解：∵AC∥BD
∴∠ACB=∠CBD
又∵∠ABC=∠CDB=90°
∴△ABC∽△CDB（ ）
∴
∴
*练习2：如图所示，三个边长为1的正方形拼成一个矩形
（1）计算AC、AF、AG的长度
（2）证明△ACF∽△GCA
解：（1）根据题意AB=BC=1，BF=2，BG=3
在Rt△ABC中，
在Rt△ABF中，
在Rt△ABG中，
（2）在△ACF和△GCA中
∠ACF=∠GCA
∵，
∴AC：CG=CF：AC
∴△ACF∽△GCA（ ）
方法2.（三边对应成比例……）
新课：探究：在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，
若，是否可以推证Rt△ABC∽Rt△DEF
证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中
∵∠C=∠F=90°
∴ ，
设 分析：利用勾股定理求出BC、EF
∴AB=k·DE，AC= k·DF 再证
∴
∵BC＞0，EF＞0
∴ 即
∴Rt△ABC∽Rt△DEF
定理：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
归纳：直角三角形相似的识别方法
（1）利用一对锐角相等；
（2）利用两对应边成比例
两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似；
斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似；
（3）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。
定理的应用：
例：已知：∠ABC=∠CDB=90°，AC=a，BC=b，
当BD与a、b之间满足什么关系时，△ABC∽△CDB
解：∵∠ABC=∠CDB=90°
∴当时
△ABC∽△CDB（ ）
即 ∴
答：时，△ABC∽△CDB。
点评：注意题目中指定“△ABC∽△CDB”这时两个三角形的对应顶点已确定，如果题目改为“当BD与a、b之间满足什么关系时，图中的两个直角三角形相似”解题方法上会有什么改变吗？
除上述情况外，还应有：
即
∴
练习：已知：△ABC中，BD⊥AB于D，CE⊥AC于E
（1）求证：AD·AC=AE·AB
（2）连结DE，则△ADE与△ABC相似吗？为什么？
小结：Rt△相似的识别方法
作业：
1、如图，AD是△ABC的高，∠EAB=∠DAC，EB⊥AB
求证：AD·AE = AC·AB
2、已知：如图，△ABC中，∠C=90°，
四边形DEFG是△ABC的内接正方形
求证：
3、如图，△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB于D，
DE⊥AC于E，DF⊥BC于F
（1）图中与△ADE相似的三角形有 个；
（2）求证：CE·AC = CF·CB
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