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对数函数
苏教版必修1
华玲蓉仪征市第二中学
情境问题：
在细胞分裂问题中，细胞个数y是分裂次数 x的指数函数y＝2x.因此，知道x的值(输入值是分裂的次数)，就能求出y的值(输出值是细胞个数).
(1)用含有 y的代数式表示 x，如何表达？
x ＝log2y．
(2)上述关系式中， x是y的函数吗？
x
y＝2x
y
x
y
x＝log2y
类似地，前面提到的放射性物质，经过的时间x(年)与物质的剩余量y的关系为y＝0.84 x.反之，写成对数式为x＝log0.84 y.
数学建构：
2．对数函数的定义域是什么？
3．对数函数的值域是什么？
一般地，函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数．
对数函数的定义：
1．在对数函数的解析式y＝logax中，为什么要规定a＞0且a≠1？
思考问题：
数学应用：
例1．在同一个直角坐标系中分别画出下列函数的图象．
(1) y＝log2x与y＝2x；
x
y
O
y＝2x
y＝log2x
x
y
O
数学建构：
一般地，对数函数y＝logax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图象和性质如下表所示：
a＞1 0＜a＜1
图象
定义域
值域
性质
R
(0，＋ )
R上的减函数
图象恒过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
对数函数的图象与性质：
R上的增函数
x
y
O
1
x
y
O
1
数学建构：
x
y
O
y＝x
函数y＝ax与y＝logax (a＞0且a≠1)是互为反函数：
一般地，如果函数y＝f(x)存在反函数，
那么它的反函数记为y＝f －1(x)，且函数
y＝f －1(x)的图象与y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称．
x
y
O
y＝2x
y＝log2x
y＝x
数学应用：
例2．求下列函数定义域：
(1) y＝log0.2(4－x)
y＝log (5－x) (2x－3)
y＝log0.5x2
(2) y＝loga (a＞0且a≠1)
变式：
数学应用：
小结：
在解决比较两个数的大小问题时，一般情况下是将其看作一个函数的两个函数值，利用函数的单调性直接比较它们的大小，如(1)、(2)．当两个数不能直接比较时，我们可以将其与一个已知的过渡数进行比较大小，从而得出该两数的大小关系．常用来过渡的值有0或±1等，根据实际问题也可能是其它数值，此外还要心中有函数的图象．
例3．比较大小：
(1) log23.4，log23.8；
(2)log0.51.8，log0.52.1；
(3) log75，log67 ；
(4)log3 ，log0.31.5 ；
(5) log25，log748 ；
(6)log3.42；log1.12．
利用单调性
利用中间量“1”
利用中间量“0”
利用图象性质
利用中间量“2”
数学应用：
求函数y＝log0．5(1－x)＋log0．5 (x＋3)的最小值．
解下列方程：
(1)log2(3x)=log2(2x＋1)
(2)log5(2x＋1)=log5(x2－2)
(3) =lg (x－1)
小结：
对数函数的定义：
函数y＝logax(a＞0，a≠1)叫做对数函数．
对数函数的定义域为(0，＋ )，值域为R ．
对数函数的图象和性质：
对数函数的图象恒过点(1，0)，
当0＜a＜1时，对数函数在(0，＋ )上递减；
当a＞1时，对数函数在(0，＋ )上递增．
练习1 求函数y=loga(9-x2)的定义域
练习2: 比较下列各题中两个值的大小:
⑴ log106 log108 ⑵ log0.56 log0.54
⑶ log0.10.5 log0.10.6 ⑷ log1.50.6 log1.50.4
练习3：已知下列不等式，比较正数m，n 的大小：
(1) log 3 m < log 3 n
(2) log 0.3 m > log 0.3 n
(3) log a m < loga n (0
(4) log a m > log a n (a>1)
练习4：将0.32，log20.5，log0.51.5由小到大排列的顺序是：________________
作业：
课本 P87习题2，3，4.