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§2.3幂函数
高中数学必修 ①
一、幂函数的定义：
一般地，我们把形如 的函数叫做幂函数，其中 为自变量， 为常数。
练习1：判断下列函数哪几个是幂函数？
答案（2）（5）
思考：指数函数y=ax与幂函数y=xα有什么区别？
中 前面的系数是1，后面没有其它项。
式子 名称
常数 x y
指数函数: y=a x
（a>0且a≠1)
幂函数: y= xα
a为底数
指数
α为指数
底数
幂值
幂值
二、幂函数与指数函数比较
判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点
看未知数x是指数还是底数
幂函数
指数函数
例2：已知函数 是幂函数,并且是偶函数，求m的值。
（指数函数）
（幂函数）
（指数函数）
（幂函数）
快速反应
（指数函数）
（幂函数）
已知函数 是幂函数,并且是偶函数，求m的值。
练习1：
练习3：已知幂函数f(x)的图像经过点（3，27）， 求证：f(x)是奇函数。
二、五个常用幂函数的图像和性质
(1) (2) (3)
(4) (5)
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：
函数 的图像
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：
函数 的图像
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：
函数 的图像
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：
函数 的图像
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y=x3 … …
y=x1/2 … …
-8
-1
0
1
8
27
0
1
0
x
y
1
2
3
4
-1
-2
-3
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
y=x3
/
/
64
y=
x
2
定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：
函数 的图像
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同.
y= x3
定义域
值 域
单调性
公共点
y = x
R
R
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
在R上是增函数
在（－∞,0]上是减函数，在(0, +∞）上是增函数
在R上是增函数
在(0，+∞)上是增函数
在( －∞,0)，(0, +∞）上是减函数
（1，1）
奇偶性
y = x2
下面将5个函数的图像画在同一坐标系中
(1) (2) (3)
(4) (5)
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-2
2
4
6
(1,1)
(2,4)
(-2,4)
(-1,1)
(-1,-1)
y=x
在第一象限内，
a >0,在(0,+∞)上为增函数;
a <0,在(0,+∞)上为减函数.
幂函数的图象都通过点(1,1)
α为奇数时,幂函数为奇函数,
α为偶数时,幂函数为偶函数.
下列结论中正确的是
A 幂函数图像都经过点（0,0），（1,1）
B幂函数图像不可能出现在第四象限
C 当n＞0的时候，幂函数y=xn的值随x的增大而增大。
D 当n=0的时候，幂函数y=xn的图像是一条直线。
练习：利用单调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3 与 0.30.3
(3)
解:(1)y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8
(2)y=x0.3在(0,∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3
(3)y=x-2/5在(0,∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5
比较各组数的大小
练习3: 如图所示，曲线是幂函数 y = xk 在第一象限内的图象，已知 k分别取 四个值，则相应图象依次为:________
一般地，幂函数的图象在直线x=1
的右侧，大指数在上，小指数在下，
在Y轴与直线x =1之间正好相反。
C4
C2
C3
C1
1
a<0
a>1
0
0
x
y
1
1
归纳：幂函数 y=xa 在第一象限的图象特征
a=1
理论
指数大于1,在第一象限为
抛物线型（凹）；
指数等于1,在第一象限为
上升的射线；
指数大于0小于1,在第一象
限为抛物线型（凸）；
指数等于0,在第一象限为
水平的射线；
指数小于0,在第一象限为
双曲线型；
归纳：幂函数图象在第一象限的分布情况
在上 任取一点作 轴的垂线，与幂函数的图象交点越高， 的值就越大。
α>1
0<α<1
a=1
小结： 幂函数的性质:
１.所有幂函数的图象都通过点(1,1);
幂函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，随常数α取值的不同而不同.
如果α<0,则幂函数
在(0,+∞)上为减函数。
α<0
3.如果α>0,则幂函数
在(0,+∞)上为增函数;
2.当α为奇数时,幂函数为奇函数,
当α为偶数时,幂函数为偶函数.
作业:
利用单调性判断下列各值的大小。