中小学教育资源及组卷应用平台
专题08 一元二次方程及其应用
一．选择题（共25小题）
1．（2024 凉山州）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为
A．2 B． C．2或 D．
2．（2024 东营）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为
A． B．2024 C． D．1
3．（2024 贵州）一元二次方程的解是
A．， B．， C．， D．，
4．（2024 赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为
A．17或13 B．13或21 C．17 D．13
5．（2024 吉林）下列方程中，有两个相等实数根的是
A． B． C． D．
6．（2024 上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是
A． B． C． D．
7．（2024 泰安）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
8．（2024 兰州）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则
A． B．4 C． D．1
9．（2024 广安）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
A．且 B． C．且 D．
10．（2024 北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为
A． B． C．4 D．16
11．（2024 黑龙江）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
12．（2024 济南）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
13．（2024 潍坊）已知关于的一元二次方程，其中，满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
14．（2024 宿迁）规定：对于任意实数、、，有【，】★，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★．若关于的方程【，】★有两个不相等的实数根，则的取值范围为
A． B． C．且 D．且
15．（2024 自贡）关于的方程根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
16．（2024 乐山）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为
A． B． C． D．6
17．（2024 绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是
A． B． C． D．
18．（2024 呼和浩特）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为步，则下列符合题意的方程是
A． B． C． D．
19．（2024 南通）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为，列方程为
A． B．
C． D．
20．（2024 眉山）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为
A． B．
C． D．
21．（2024 云南）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是
A． B． C． D．
22．（2024 内江）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是
A． B．
C． D．
23．（2024 河北）淇淇在计算正数的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案小1，则
A．1 B． C． D．1或
24．（2024 牡丹江）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为
A． B． C． D．
25．（2024 通辽）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为
A．或 B．或 C． D．
二．填空题（共20小题）
26．（2024 深圳）一元二次方程的一个解为，则 ．
27．（2024 凉山州）已知，，则的值为 ．
28．（2024 南充）已知是方程的一个根，则的值为 ．
29．（2024 湖南）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
30．（2024 南通）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的的值： ．
31．（2024 镇江）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
32．（2024 广东）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
33．（2024 河南）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
34．（2024 新疆）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．
35．（2024 临夏州）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
36．（2024 云南）若一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为 ．
37．（2024 连云港）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
38．（2024 山东）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
39．（2024 巴中）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ．
40．（2024 烟台）若一元二次方程的两根为，，则的值为 ．
41．（2024 眉山）已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
42．（2024 泸州）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
43．（2024 成都）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
44．（2024 重庆）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为 ．
45．（2024 重庆）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
三．解答题（共9小题）
46．（2024 安徽）解方程：．
47．（2024 齐齐哈尔）解方程：．
48．（2024 滨州）解方程：
（1）；
（2）．
49．（2024 青海）（1）解一元二次方程：；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
50．（2024 广州）关于的方程有两个不等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）化简：．
51．（2024 遂宁）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值．
52．（2024 南充）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围．
（2）若，且，，都是整数，求的值．
53．（2024 内江）已知关于的一元二次方程为常数）有两个不相等的实数根和．
（1）填空： ， ；
（2）求，；
（3）已知，求的值．
54．（2024 辽宁）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件与每件售价（元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价元 45 55 65
日销售量件 55 45 35
（1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题08 一元二次方程及其应用
一．选择题（共25小题）
1．（2024 凉山州）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为
A．2 B． C．2或 D．
【答案】
【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义
【解析】关于的一元二次方程的一个根是，
且，
解得：，
故选．
2．（2024 东营）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为
A． B．2024 C． D．1
【答案】
【考点】解一元二次方程配方法
【解析】由题知，
，
，
，
，
所以，，
所以．
故选．
3．（2024 贵州）一元二次方程的解是
A．， B．， C．， D．，
【答案】
【考点】解一元二次方程因式分解法
【解析】，
，
则或，
解得：，．
故选．
4．（2024 赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为
A．17或13 B．13或21 C．17 D．13
【答案】
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系；解一元二次方程因式分解法；一元二次方程的解
【解析】，
，
解得，，
当等腰三角形的边长是3、3、7时，，不符合三角形的三边关系，应舍去；
当等腰三角形的边长是7、7、3时，这个三角形的周长是．
故选．
5．（2024 吉林）下列方程中，有两个相等实数根的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】根的判别式
【解析】、化简为方程，
，，，
△，
此方程没有实数根，不符合题意；
、，化简为，
，，，
△，
此方程有两个相等实数根，符合题意；
、，化简为方程中，
，，，
△，
此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
、方程，化简为可化为，
，，，
△，
此方程有两个不相等的实数根，不符合题意．
故选．
6．（2024 上海）以下一元二次方程有两个相等实数根的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】根的判别式
【解析】的根为或，
有两个不等实数根，故不符合题意；
的根为或，
有两个不等实数根，故不符合题意；
由知△，
有两个不等实数根，故不符合题意；
由知△，
有两个相等实数根，故符合题意；
故选．
7．（2024 泰安）关于的一元二次方程有实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】根的判别式
【解析】因为关于的一元二次方程有实数根，
所以△，
解得．
故选．
8．（2024 兰州）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则
A． B．4 C． D．1
【答案】
【考点】根的判别式
【解析】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
解得：，
故选．
9．（2024 广安）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是
A．且 B． C．且 D．
【答案】
【考点】一元二次方程的定义；根的判别式
【解析】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得且；
故选．
10．（2024 北京）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为
A． B． C．4 D．16
【答案】
【考点】根的判别式
【解析】因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
所以△，
解得．
故选．
11．（2024 黑龙江）关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是
A． B． C．且 D．且
【答案】
【考点】一元二次方程的定义；根的判别式
【解析】根据题意得，
解得且．
故选．
12．（2024 济南）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】根的判别式
【解析】关于的方程有两个不相等的实数根，
△，
，
．
故选．
13．（2024 潍坊）已知关于的一元二次方程，其中，满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
【答案】
【考点】根的判别式
【解析】，
△
，
原方程有两个不相等的实数根，
故选．
14．（2024 宿迁）规定：对于任意实数、、，有【，】★，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★．若关于的方程【，】★有两个不相等的实数根，则的取值范围为
A． B． C．且 D．且
【答案】
【考点】解一元一次不等式；根的判别式
【解析】根据题意得，
整理得，
关于的方程【，】★有两个不相等的实数根，
△且，
解得且．
故选．
15．（2024 自贡）关于的方程根的情况是
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】
【考点】根的判别式
【解析】关于的方程中，
，，，
△，
方程有两个不相等的实数根．
故选．
16．（2024 乐山）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为
A． B． C． D．6
【答案】
【考点】根与系数的关系
【解析】关于的一元二次方程两根为、，
，，
，
，
即，
解得：．
故选．
17．（2024 绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解
【解析】设原来的方程为，
由题知，
，，
所以，，
所以原来的方程为，
则．
故选．
18．（2024 呼和浩特）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为步，则下列符合题意的方程是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】数学常识；由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】若设长为步，则宽为步，
，
故选．
19．（2024 南通）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为，列方程为
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】由题意可得，
，
故选．
20．（2024 眉山）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】根据题意得：．
故选．
21．（2024 云南）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】根据题意得：．
故选．
22．（2024 内江）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是
A． B．
C． D．
【答案】
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】根据题意得：，
故选．
23．（2024 河北）淇淇在计算正数的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案小1，则
A．1 B． C． D．1或
【答案】
【考点】一元二次方程的应用
【解析】根据题意得，，
解得，
，
．
故选．
24．（2024 牡丹江）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为
A． B． C． D．
【答案】
【考点】一元二次方程的应用
【解析】设每次降价的百分率为，由题意，得：
，
解得：（舍去）；
故选．
25．（2024 通辽）如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为
A．或 B．或 C． D．
【答案】
【考点】一元二次方程的应用
【解析】设长为 ，则的长为，
根据题意得，，
解得或（舍去），
答：长为，
故选．
二．填空题（共20小题）
26．（2024 深圳）一元二次方程的一个解为，则 2 ．
【答案】2．
【考点】一元二次方程的解
【解析】由题知，
将代入一元二次方程得，
，
解得．
故答案为：2．
27．（2024 凉山州）已知，，则的值为 3 ．
【答案】3．
【考点】一元二次方程的解
【解析】，
，
，
，
即，
解得：，（舍去），
即的值为3，
故答案为：3．
28．（2024 南充）已知是方程的一个根，则的值为 ．
【答案】．
【考点】一元二次方程的解
【解析】把代入，
，
，
故答案为：．
29．（2024 湖南）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 2 ．
【答案】2．
【考点】根的判别式
【解析】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
解得：．
故答案为：2．
30．（2024 南通）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请写出一个满足题意的的值： （答案不唯一） ．
【答案】（答案不唯一）．
【考点】根的判别式
【解析】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
解得：．
故答案为：（答案不唯一）．
31．（2024 镇江）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 9 ．
【答案】9．
【考点】根的判别式
【解析】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，即，
解得．
故答案为：9．
32．（2024 广东）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则 1 ．
【答案】1．
【考点】根的判别式
【解析】一元二次方程有两个相等的实数根，
△，即，
解得
故答案为：1．
33．（2024 河南）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】．
【考点】根的判别式
【解析】因为关于的方程有两个相等的实数根，
所以△，
解得．
故答案为：．
34．（2024 新疆）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．
【考点】根的判别式
【解析】由题意得：
△，
解得：，
故答案为：．
35．（2024 临夏州）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【考点】根的判别式
【解析】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
即：，
解得：，
故选答案为．
36．（2024 云南）若一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为 ．
【答案】．
【考点】根的判别式
【解析】一元二次方程无实数根，
△，
，
故答案为：．
37．（2024 连云港）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】．
【考点】根的判别式
【解析】一元二次方程有两个相等的实数根，
△，即，
解得；
故答案为：．
38．（2024 山东）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
【答案】．
【考点】根的判别式
【解析】关于的方程有两个相等的实数根，
△，
解得：．
故答案为：．
39．（2024 巴中）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 4 ．
【答案】4．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解
【解析】令方程的另一个根为，
因为方程的一个根为，
所以，
解得，
所以方程的另一个根为4．
故答案为：4．
40．（2024 烟台）若一元二次方程的两根为，，则的值为 6 ．
【答案】6．
【考点】根与系数的关系
【解析】一元二次方程的两根为，，
，，，
．
故答案为：6．
41．（2024 眉山）已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
【答案】．
【考点】根与系数的关系
【解析】方程的两根分别为，，
，，
．
故答案为：．
42．（2024 泸州）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 14 ．
【答案】14．
【考点】根与系数的关系
【解析】，是一元二次方程的两个实数根，
，．
．
故答案为：14．
43．（2024 成都）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 7 ．
【答案】7．
【考点】根与系数的关系
【解析】，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
．
故答案为：7．
44．（2024 重庆）重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为，根据题意，可列方程为 ．
【答案】．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【解析】根据题意得：．
故答案为：．
45．（2024 重庆）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元．该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
【答案】．
【考点】一元二次方程的应用
【解析】设该公司这两年缴税的年平均增长率是，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
该公司这两年缴税的年平均增长率是．
故答案为：．
三．解答题（共9小题）
46．（2024 安徽）解方程：．
【考点】解一元二次方程因式分解法
【解析】，
，
，
，．
47．（2024 齐齐哈尔）解方程：．
【考点】解一元二次方程因式分解法
【解析】，
，
则或，
解得，．
48．（2024 滨州）解方程：
（1）；
（2）．
【考点】解一元二次方程因式分解法；解一元一次方程
【解析】（1）去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：；
（2），
，
或，
，．
49．（2024 青海）（1）解一元二次方程：；
（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．
【考点】解一元二次方程因式分解法；勾股定理
【解析】（1），
，
或，
，；
（2）当3是直角三角形的斜边长时，第三边，
当1和3是直角三角形的直角边长时，第三边，
第三边的长为或．
50．（2024 广州）关于的方程有两个不等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）化简：．
【考点】绝对值；分式的乘除法；根的判别式
【解析】（1）根据题意得△，
解得；
（2），
，
．
51．（2024 遂宁）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系
【解析】（1），
这里，，，
△
．
，
△．
无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根为，，
则，．
，即，
．
整理，得．
．
解得，．
的值为或1．
52．（2024 南充）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围．
（2）若，且，，都是整数，求的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系
【解析】（1）原方程有两个不相等的实数根，
△，
△，
解得．
（2），
整数的值为2，3，4，
当时，方程为，解得，，
当或4时，此时方程解不为整数．
综上所述，的值为2．
53．（2024 内江）已知关于的一元二次方程为常数）有两个不相等的实数根和．
（1）填空： ， ；
（2）求，；
（3）已知，求的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式
【解析】（1）由根与系数的关系得：，，
故答案为：，1；
（2），，
；
关于的一元二次方程为常数）有两个不相等的实数根和，
，
，即；
（3）由根与系数的关系得：，，
，
，
，
解得：，，
当 时，△；
当 时，△；
．
54．（2024 辽宁）某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量（件与每件售价（元之间满足一次函数关系，部分数据如表所示：
每件售价元 45 55 65
日销售量件 55 45 35
（1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由．
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用
【解析】（1）由题意，设一次函数的关系式为，
又结合表格数据图象过，，
．
．
所求函数关系式为．
（2）由题意，销售额，
又销售额是2600元，
．
．
△
．
方程没有解，故该商品日销售额不能达到2600元．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
