人教八上：专题二 全等三角形的性质与判定（含解析）

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专题二 全等三角形的性质与判定
一、单选题
1．下面四个三角形中，与图中的全等的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E，连接．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，图中的两个三角形全等，则为（ ）．

A． B． C． D．
4．如图，点E、F在上，，，相交于点G，添加下列哪一个条件，可使得（ ）
A． B． C． D．
5．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（ ）．

A． B． C． D．
6．已知，如图所示的两个三角形全等，则（ ）

A． B． C． D．
7．用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M，N作OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB．做法中用到证明△OMP与△ONP全等的判定方法是（ ）
A．SAS B．SSS C．ASA D．HL
8．如图，点E、F在上，，．添加一个条件后，不能证明，这个条件可能是（ ）

A． B． C． D．
9．已知图中的两个三角形全等，则等于（　　）
A． B． C． D．
10．如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（ ）

A． B． C． D．
11．如图，已知，老师要求同学们补充一个条件使，以下是四个同学补充的条件，其中错误的是（ ）

A． B． C． D．
12．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（ ）
A． B． C． D．
13．如图，厘米，厘米，，如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动．若经过t秒后，与全等，则t的值是（ ）

A．1 B．1.5 C．1或1.5 D．1或2
14．已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　）

A． B． C． D．
16．如图，点B、E、C、F在一条直线上，，，要使得，不能添加的条件是（ ）

A． B． C． D．
17．已知图中的两个三角形全等，图中的字母表示三角形的边长，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
18．如图，工人师傅设计了一种测量零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度．其依据的数学基本据实是（ ）

A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C．等角对等边
D．两点之间线段最短
19．如图，在等腰中，，，点，，，其中，则a，b之间的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
20．用尺规作图作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（ ）
A． B． C． D．
21．如图，点、在上，，，、相交于点，要使得，添加下列哪一个条件（ ）
A． B． C． D．
22．阅读以下作图步骤：
①在和上分别截取，使；
②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线，连接，如图所示．
根据以上作图，一定可以推得的结论是（ ）

A．且 B．且
C．且 D．且
23．如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是
A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC
24．如图，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
25．如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（　　）
A． B． C． D．
26．已知：如图，，，，则不正确的结论是（ ）
A． B．
C． D．
27．如图，已知，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与全等的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题
28．如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，，，若，则的度数为 ．

29．如图，三角形纸片中，，，．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，的周长为 ．
30．如图，，，垂足分别为B，D．，则图中和相等的线段是 ．
三、解答题
31．如图，点B，E，C，F在一条直线上，．求证：．
32．如图，AB与CD相交于点O，，求证：．
33．已知：如图，∠B＝∠C＝90°， AF=DE，BE=CF．求证：AB=DC．
34．如图，．求证：．
35．如图，四边形中，，，M是边上的一点，且平分平分求证：
(1)；
(2)．
36．如图，在中，，的角平分线相交于点P，过点P作交的延长线于点F，交于点H，求证：

(1)；
(2)．
37．如图，B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，BE＝CF，∠B＝∠DEF，求证：AC＝DF．

38．如图，，，垂足分别为、，、交于点，．求证：．
39．如图，在中，，、是边上的点，且，求证：．
40．如图，在四边形中，，为的中点，连接并延长交的延长线于点．

(1)求证：．
(2)连接，当时，，，求的长．
41．如图，点D、E在的边上，，求证：．
42．我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形是一个筝形，，，对角线交与点O.

(1)请根据你学过的知识直接写出一组全等的三角形______；
(2)求证：.
43．如图，，于，于，若．

(1)求证：；
(2)求证：．
44．如图，，，垂足分别为点E，F，，，求证：．

45．如图，，，，，垂足分别为，E．

(1)求证：；
(2)延长至点，使得，连接交于点，若，，求的长．
46．如图，，求证：．
47．如图，在和中，点在边上，边交边于点，若，，．求证：．
48．（变图形—平移型）如图，点是的中点，，．
求证：．

49．如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
50．在中，，过直角顶点作直线于点于点．

(1)如图1，当与边不相交时，判断之间的数量关系，并说明理由；
(2)当与边相交时，请在图2中画出图形，并直接写出之间的数量关系．
51．如图，，，．求证：．
52．如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．
求证：OE垂直平分BD．
53．如图，点B，E，C，F在同一直线上，相交于点E，，，．求证：．
54．如图，点A、B、C、D在同一直线上，．求证： ．

55．如图，已知，，于M，于N，求证：
56．如图，中，，，将绕点C逆时针旋转角．得到，连接．设交于D，分别交、于E、F．
(1)在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以说明（与全等除外）；
(2)当是等腰三角形且时，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B D B C D D C A
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 B A C A D B A A D D
题号 21 22 23 24 25 26 27
答案 D A B B A D B
1．C
【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断．
【详解】解：由题可得，
∵A选项属于已知两边和其中一边的对角对应相等的情况，不能判定两个三角形全等，
故不符合题意；
∵B选项中角的对边不相同，不能判定两个三角形全等，
故不符合题意；
∵C选项中已知两边与其中一边的夹角对应相等，所以能判定全等，
故C选项符合题意；
∵D选项中两对应角的夹边不相等，不能判定两个三角形全等，
故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，牢记判定方法以及正确找出对应边或对应角是解决本题的关键．
2．C
【分析】由作图可知直线为边的垂直平分线，再由得到，利用等边对等角以及三角形内角和定理，进而得到．
【详解】解：由作图可知，直线为边的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
3．B
【分析】由全等三角形的对应角相等，结合三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】∵两个三角形全等，由全等三角形的性质可知，两幅图中边长为的夹角对应相等，
∴，
故选：
4．D
【分析】根据全等三角形的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：A、由，，，不能证明，不符合题意；
B、由，，，不能证明，不符合题意；
C、由，，，不能证明，不符合题意；
D、由即可证明，，，可以由 证明，符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．
5．B
【分析】此题考查了全等三角形的判定定理，三边对应相等的两个三角形全等，以及作一个角等于已知角，根据用尺规画一个角等于已知角的步骤，据此即可求解，正确理解题中的作图是解题的关键．
【详解】解：根据做法可知：，，，
∴，
∴，
故选：．
6．C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
【详解】解：∵，，

又∵图中两个三角形全等，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7．D
【分析】根据直角三角形全等的判定HL定理，可证△OPM≌△OPN．
【详解】解：∵OM=ON，OP=OP，∠OMP=∠ONP=90°，
∴△OPM≌△OPN
所用的判定定理是HL．
故选D.
【点睛】本题考查学生的观察能力和判定直角三角形全等的HL定理，本题是一操作题，要会转化为数学问题来解决．
8．D
【分析】
本题主要考查三角形全等的判定，根据，，，逐个判断即可得到答案；
【详解】解：∵，，
当构成，能得到，不符合题意，
当得到构成，能得到，不符合题意，
当构成，能得到，不符合题意，
当不能得到三角形全等的判定，符合题意，
故选：D．
9．C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，先根据三角形内角和为180度求出的度数，再根据全等三角形对应角相等即可求出的度数．
【详解】解：如图所示，
由三角形内角和定理得，
由全等三角形的性质可得，
故选：C．
10．A
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．
【详解】解： ，，，条件为边边角，不能证明，故A符合题意；
，，，条件为边角边，能证明，故B不符合题意；
，，，条件为角角边，能证明，故C不符合题意；
，，，条件为边角边，能证明，故D不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
11．B
【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵，
∴添加的条件是：，根据可证明，故选项A不符合题意；
添加的条件是：，无法判断，故选项B符合题意；
添加的条件是：，根据可证明，故选项C不符合题意；
添加的条件是：，根据可证明，故选项D不符合题意；
故选：B
12．A
【分析】本题主要考查了基本作图、全等三角形的判定与性质等知识点，明确作图过程成为解答本题的关键．
通过分析作图的步骤，发现与的三条边分别对应相等，于是利用边边边判定，根据全等三角形对应角相等得．
【详解】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点C、D；
②作射线，以为圆心， 长为半径画弧，交于点；
③以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点；
④过点作射线．
所以就是与相等的角．
在与中，
，
，
，即运用的判定方法是．
故选：A．
13．C
【分析】本题考查了全等的性质，解一元一次方程的应用．运用分类讨论的思想是解题的关键．
由题意知，，，由与全等，分，两种情况，列方程求解即可．
【详解】解：由题意知，，，
∵与全等，
∴分，两种情况求解；
当时，，即，解得；
当时，，即，解得；
综上所述，t的值是1或1.5，
故选：C．
14．A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等去判定对应关系后计算．熟练掌握对应角的判定方法是解题的关键．
【详解】解：∵两个三角形全等，是边a的对角，即边b、c夹角，
∴的度数是．
故选：A．
15．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，两直角三角形全等还有等．根据求出，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
，
∴当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，利用可得；
当时，无法证明；
故选：D．
16．B
【分析】本题考查的是添加条件证明三角形全等，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；本题根据已有的条件，，再逐一分析添加的条件结合，，可得答案.
【详解】解：∵，，
∴补充，可利用证明，故A不符合题意；
补充，不能证明，故B符合题意；
补充，
∴，可利用证明，故C不符合题意；
补充，
∴，可利用证明，故D不符合题意；
故选B
17．A
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
【详解】解：∵两个三角形全等，
∴，
故选：A．
18．A
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．
【详解】解：O为、的中点，
，，
（对顶角相等），
在与中，
，
，
，
故选：A．
19．D
【分析】本题考查坐标与图形性质，过点C作坐标轴的垂线，利用证明，即可求解，解题的关键是构造全等三角形．
【详解】解：过点C作x轴和y轴的垂线，垂足分别M和N，

，
四边形是矩形，
，
，
，
，
,
在和中，
，
，
，
又点C坐标为，
点M坐标为，点N坐标为．
即．
故选：D．
20．D
【分析】此题主要考查对尺规作图作一个角等于已知角的理解，利用全等三角形的判定方法判断即可．
【详解】解：由作法得，，，
在和中，
，
，
∴（全等三角形的对应角相等）．
故选：D．
21．D
【分析】
本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法依次进行判断即可．
【详解】
解：A、添加，不能使得，不符合题意；
B、添加，不能使得，不符合题意；
C、添加，不能使得，不符合题意；
D、添加，利用，可以使得，符合题意；
故选：D．
22．A
【分析】由作图过程可得：，再结合可得，由全等三角形的性质可得即可解答．
【详解】解：由作图过程可得：，
∵，
∴．
∴．
∴A选项符合题意；
不能确定,则不一定成立，故B选项不符合题意；
不能确定,故C选项不符合题意，
不一定成立，则不一定成立，故D选项不符合题意．
故选A．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质等知识点，理解尺规作图过程是解答本题的关键．
23．B
【分析】利用全等三角形的判定依次证明即可．
【详解】解：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF．
∴AF=CE．
A．在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意．
B．根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项符合题意．
C．在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项不符合题意．
D．∵AD∥BC，
∴∠A=∠C．由A选项可知，△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查了添加条件证明三角形全等，解题的关键是熟练运用判定三角形全等的方法．
24．B
【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，找准对应角是解题的关键．根据全等三角形的对应角相等可知，给等式的两边同时减去，可得到．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
25．A
【分析】根据题目中的已知条件， ，再结合题目中所给选项中的条件，利用全等三角形的判定定理进行分析即可．
【详解】解；由图形可知：，，
A.再加上条件，不能证明， 故此选项合题意；
B. 再加上条件，可利用可证明， 故此选项不合题意；
C. 再加上条件，可利用可证明， 故此选项不符合题意；
D. 再加上条件，可利用可证明，故此选项不合题意．
故选：A
【点睛】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
26．D
【分析】本题主要考查全等三角形的性质．先根据角角边证明，再根据全等三角形对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质对各选项判断后，利用排除法求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
在和中，
，
，
故B、C选项正确，不符合题意；
，
，
故A选项正确，不符合题意；
，
，
，
但不一定等于，
故D选项错误，符合题意．
故选：D．
27．B
【分析】根据三角形全等的判定逐个判定即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
B选项符合边角边判定，
故选B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的几个判定．
28．/48度
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质．利用可证明，从而得到，，再利用三角形外角性质即可求出最后结果．
【详解】解：在与中，
，
，
，，
在中，由三角形性质得：，
，
，
故答案为：．
29．7
【分析】
先根据折叠的性质可得，，再求出的长，然后根据的周长进行计算．
【详解】解：由折叠的性质得：，，
∴，
∴的周长，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，翻折变换保留原有图形的性质，而且可以使得原有的分散条件相对集中，从而有利于问题的解决．
30．/
【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．由判断出即可得到答案．
【详解】解： ，，
，
在，中，
，
，
．
故答案为：．
31．证明见解析
【分析】根据平行得出，然后用“边角边”证明即可．
【详解】证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在和中，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用已知条件，推导证明出全等三角形判定所需条件，运用全等三角形判定定理证明．
32．见解析
【分析】利用AAS证明，即可得到结论．
【详解】解：证明：在和中
∴．
∴．
∴
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
33．详见解析
【分析】运用定理证明直角三角形全等即可．
【详解】∵BE=CF，∴BF=CE
在与中：
∴
∴AB =DC
【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握定理是解题关键．
34．见解析
【分析】根据已知条件得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：，
即．
在和中，
．
【点睛】本小题考查等式的基本性质、全等三角形的判定与性质等基础知识，考查几何直观、推理能力等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
35．(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）作，根据角平分线的性质得到，等量代换得到答案．
（2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到 ，根据垂直的定义得到答案；
【详解】（1）作交于，
平分平分

（2）证明：∵，
平分平分
即；
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
36．(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）根据三角形内角和以及角平分线定义得出，易得，可得，即可证明；
（2）由（1）结论可得，，即可求得，即可证明，可得，即可解题．
【详解】（1）分别平分，，
，
在和中，
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证和是解题的关键．
37．见解析
【分析】由BE＝CF可得BC＝EF，即可判定，再利用全等三角形的性质证明即可．
【详解】∵BE＝CF，
∴，
即BC＝EF，
又∵AB＝DE，∠B＝∠DEF，
∴在与中，
，
∴，
∴AC＝DF．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解决本题的关键.
38．见解析
【分析】先证明，得到OD=OE，再根据角的平行线性质判定即可．
【详解】证明：于点，于点，
，
在和中，
，
，
，
，，
平分，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角的平分线的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定和角的平分线的判定是解题的关键．
39．见解析
【分析】利用等腰三角形的性质可得，再由证明，从而得．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
40．(1)证明见解析
(2)
【分析】此题主要考查全等三角形的判定和性质，解题关键是根据证明和全等．
（1）根据 证明和全等即可；
（2）根据全等三角形的性质结合线段垂直平分线性质解答即可．
【详解】（1）证明：，
，
∵点是中点，
∴，
在和中，
，
；
（2）由（1）知，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴．
41．证明见解析
【分析】本题主要考查了三线合一定理，过点A作C于P，利用三线合一得到P为及的中点，再根据线段之间的关系即可得证．
【详解】证明：如图，过点A作C于P．
∵
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
42．(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟记等腰三角形的三线合一是解本题的关键.
（1）直接利用证明即可；
（2）由可得，再结合等腰三角形的性质可得结论.
【详解】（1）解：，理由如下：
在和中，
，
；
（2）∵，
∴，
∵，
∴.
43．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查直角三角形的全等判定和性质，
（1）根据题意得，由得，则有，结合全等的性质即可证明；
（2）利用得到对应的角度相等，结合内错角相等两直线平行的判定即可证明；
【详解】（1）证明：于，于，
，
，
，
∴，
在与中，
，
∴
，
（2）由（1）可知
，
∴，
．
44．证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，证，即可得出结论．
【详解】证明：∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴，
∴．
45．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键.
（1）先证明，然后根据证明；
（2）由（1）得，进而得出，证明，则，即可求解．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
在和中，
∴
（2）由（1）得
∴，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴
在和中，
∴，
∴．
46．证明见解析
【分析】本题考查三角形全等的判定，先证明，在用证明即可，掌握判定三角形全等是解题的关键．
【详解】证明，
，
在和中，
，
．
47．见解析
【分析】先根据SSS定理得出（SSS），故，再根据是的外角，可知，可得出，故可得出答案．
【详解】解：在和中，
∴（SSS）
∴；
∵，
∴
【点睛】此题考查全等三角形的判定和性质，同时涉及三角形外角和定理，掌握相关定理知识是解题的关键．
48．见解析
【分析】根据中点的定义得出，即可根据证明．
【详解】证明：点是的中点，
．
在和中，
．
【点睛】本题主要考查了的三角形全等的判定，解题的关键是掌握三边都相等的两个三角形全等．
49．见解析
【分析】由BE＝CF可得BF＝CE，再结合AB＝DC，∠B＝∠C可证得△ABF≌△DCE，问题得证．
【详解】解∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE．
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE，
∴∠A＝∠D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质．
50．(1)，见解析
(2)见解析，或
【分析】（1）由于点于点，得，则，而，即可证明，得则；
（2）分两种情况讨论，一是与边相交且，同理可证，得，则；二是与边相交且，同理可证，得，则．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
在和中，
；
，
，
；
（2）解：或，
理由：如图2，与边相交且，
∵于点于点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
如图3，与边相交且，
∵于点，于点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
∴．

【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
51．见解析
【分析】根据，可得出，然后利用证明，继而可得出．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握证三角形全等是解题的关键．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
52．证明见解析
【分析】先利用ASA证明△AOB≌△COD，得出OB=OD，根据线段垂直平分线的判定可知点O在线段BD的垂直平分线上，再由BE=DE，得出点E在线段BD的垂直平分线上，即O，E两点都在线段BD的垂直平分线上，从而可证明OE垂直平分BD．
【详解】在△AOB与△COD中，
∠A＝∠C，OA＝OC，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB=OD，
∴点O在线段BD的垂直平分线上，
∵BE=DE，
∴点E在线段BD的垂直平分线上，
∴OE垂直平分BD．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，同时考查了全等三角形的判定与性质．
53．见解析
【分析】根据题意可以证得，所以，即可得到结论．
【详解】根据题意，在和中，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
54．见解析
【分析】本题考查了全等三角形 的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
根据全等三角形的判定和性质定理和平行线的判定定理即可得到结论．
【详解】证明：，
，
即：，
在和中，
∵，
，
，
．
55．见详解
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，利用角平分线的性质证明边相等是解决这个问题的关键，属于中考常考题型．欲证明，因为于M，于N，所以只要证明，可以通过证明来实现．
【详解】证明：连接，
，，，
，
于M，于N，
．
56．(1)或或；
(2)
【分析】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质；
（1）由旋转的性质可得，，证明，得到，，进而可证，；
（2）由等腰三角形的性质可得，再根据得出即可求解．
【详解】（1）
解：全等的三角形有：或或；
由旋转得，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
∴
．
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