人教八上：专题三 角平分线的性质与判定（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
专题三 角平分线的性质与判定
一、单选题
1．如图，在中，，平分交于点，若，且，则点到的距离为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
2．如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路和的距离也必须相等．发射塔应该修建在（ ）
A．、两角的角平分线的交点
B．的角平分线与线段的垂线平分线的交点
C．的角平分线与线段的垂线平分线的交点
D．、两角的角平分线分别与线段的垂线平分线的交点
二、填空题
3．AE是△ABC的角平分线，AD是BC边上的高，且∠B=40°，∠ACD=70°，则∠DAE的度数为 ．
4．如图，AD是的角平分线，，，则的面积与的面积之比是 ．
5．如图，在中，和的平分线相交于点O，，过O作于点D，且，则的面积是 ．
6．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E．若PE＝2，则两平行线AD与BC间的距离为 ．
7．在直角△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，BC＝5．在△ABC的内部找一点P，使得P到△ACB的三边的距离相等，则这个距离是 .
8．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠CPD的度数是 ．

9．如图，在的边、上取点、，连接，平分，平分，若，的面积是1，的面积是4，则的长是 ．

10．如图，中，，的角平分线交于点，过点作分别交，于，两点，，的周长是15．则的长为 ．
三、解答题
11．如图1，的两条外角平分线，相交于点O，．

(1)直接写出的大小；
(2)如图2，连接交于K．
①求的大小；
②如图3，作于F，若，求证：．
12．如图，四边形中，，平分，平分，若，，求的长．
13．如图，四边形中，，，M是边上的一点，且平分平分求证：

(1)；
(2)．
14．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．

(1)如图1，中，，求证：是倍角三角形；
(2)如图2，的外角平分线与的延长线相交于点D，延长到点E，使得，若，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．
15．如图，四边形中，，平分，平分，设．

(1)时，求的度数；
(2)证明：．
16．在中，、分别平分、．

(1)如图1，若，则________；
(2)如图2，连结，求证：平分；
(3)如图3，若，，，求的长．
17．如图，在中，D在边的延长线上，的平分线交的延长线于点E，已知，，求证：．

18．如图，在四边形中，，，点E为的中点，平分.
(1)求证：；
(2)若，，则四边形的面积为______.（直接写出结果）
19．如图，在中，平分，平分，经过点O与，分别相交于点M，N，且．
(1)若，请直接写出的度数：
(2)已知，，求的周长．
参考答案
题号 1 2
答案 B B
1．B
【分析】本题考查的是角平分线的性质，作于E，根据角平分线的性质得到，根据题意求出的长即可．
【详解】解：作于E，
∵，且，
∴，
∵平分，，，
∴，
故选B．
2．B
【分析】本题主要考查角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作图应用与设计作图．由线段垂直平分线的性质可知：要两个城镇，的距离，发射塔必须建在线段的垂直平分线上，再根据角平分线的性质可知要到两条高速公路和的距离相等需要建在的平分线上，即可知发射塔要在两线的交点位置．
【详解】解：要发射塔到两个城镇，的距离相等，发射塔必须建在线段的垂直平分线上，要到两条高速公路和的距离相等需要建在的平分线上，
发射塔应该修建在的平分线和线段的垂直平分线的交点处．
故选：B．
3．15°或35°
【详解】试题分析：本题需要分两种情况进行讨论：
如图1所示：根据∠B=40°，∠C=70°可得：∠BAC=70°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=35°，则∠DAE=35°-20°=15°；如图2所示：根据∠B=40°，∠ACD=70°可得：∠BAC=30°，根据高线以及角平分线的性质可得：∠DAC=20°，∠EAC=15°，则∠DAE=15°+20°=35°.
点睛：对于这种在三角形中求角度问题的时候，如果题目中没有给出图形，我们首先一定要根据题意画出图形，然后根据图形求出角的度数.特别要注意分类讨论的思想，在画图时一定要注意锐角三角形和钝角三角形两种情况.在画垂线的时候要注意高线在三角形内部和三角形外部两种情况.
4．3：2
【分析】过点D作于点E，由角平分线的性质得到DE=CD，再根据三角形面积公式解答即可．
【详解】解：过点D作于点E，
AD是的角平分线，
故答案为：3：2．
【点睛】本题考查角平分线的性质、三角形面积公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
5．27
【分析】作于于，连接，根据角平分线的性质求出和 ，根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：作于于，连接，
∵是的平分线， ，
∴，
同理，
．
的面积．
故答案为：27．
【点睛】本题主要考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6．4
【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．
【详解】解：过点P作MN⊥AD，
∵AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，PE⊥AB于点E，
∴AP⊥BP，PN⊥BC，
∴PM=PE=2，PE=PN=2，
∴MN=2+2=4．
故答案为：4．
7．2
【分析】连接PC、PB、PA，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】连接PC、PB、PA，作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，
由题意得，PE=PD=PF，
S△APC+S△APB+S△BPC=S△ACB，
∴AC·PE+AB·PD+BC·PF=AC·BC，
即×12·PD+×13 PD+×5 PD=×5×12，
解得，PD=2，
故答案为：2．

【点睛】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式是解题的关键．
8．60
【分析】根据五边形的内角和求出∠BCD和∠CDE的和，再根据角平分线及三角形内角和求出∠CPD．
【详解】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝300°，
∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣300°＝240°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD＝（∠BCD+∠CDE）＝120°，
∴∠CPD＝180°﹣120°＝60°．
故答案是：60．
【点睛】本题解题的关键是知道多边形内角和定理以及角平分线的性质．
9．5
【分析】本题考查角平分线的性质定理，过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，利用角平分线的性质可得，然后根据三角形的面积求出，再利用的面积的面积的面积，进行计算即可解答．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，

∵平分，平分，
，
，的面积是1，
，
，
，
的面积是4，
的面积的面积的面积，
，
．
故答案为：5．
10．9
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可得和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，从而进行计算即可解答．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
的周长是15，
，
，
，
，
，
故答案为：9．
11．(1)；
(2)①；②证明见解析．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，则，再由角平分线的定义求出，根据四边形内角和求出即可；
（2）①过点O作于点M，于点N，于点P，根据角平分线的性质求解即可；
②先求出，过点A作交于点H，再求出，则，分别求出，，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图2，①过点O作于点M，于点N，于点P，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
∴平分，
∵，
∴；
②证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图3，过点A作交于点H，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形内角和定理、四边形内角和、角平分线的性质及定义、平行线的性质是解题的关键．
12．5
【分析】根据四边形内角和定理与三角形角平分线的定义推出，再根据含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，平分，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
直角三角形中，，，
∴．
故．
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，四边形内角和定理，含角的直角三角形的性质等知识，解题关键是熟练掌握各性质与定理．
13．(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）作，根据角平分线的性质得到，等量代换得到答案．
（2）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到 ，根据垂直的定义得到答案；
【详解】（1）作交于，
平分平分

（2）证明：∵，
平分平分
即；
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握平行线的性质和角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)和是倍角三角形，见解析
【分析】（1）利用等边对等角及三角形的内角和求出，得到即可；
（2）根据证明，得到，证明，得出，可得出．则结论得证．
【详解】（1）证明：∵，
，
，
，
，
即是倍角三角形；
（2）解：和是倍角三角形，证明如下：
平分，
，
∴，
．
又，，即．
．
．
是倍角三角形．
，
，
，
，．
是倍角三角形
【点睛】本题是三角形的综合问题，考查了“倍角三角形”的定义，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用等知识点，注意数形结合思想的应用．
15．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，多边形的内角和定理的应用，平行线的判定，角平分线的定义， (1)根据四边形内角和求出，利用角平分线得出，即可求出答案；(2) 根据四边形内角和求出，利用角平分线得出，证出即可得出结论．
【详解】（1）解：在四边形中，
，，，
，
∵平分，
∴ ，
∵，
；
（2）证明：在四边形中，
，，
，
∵平分，
∴，
，
平分，
，
，
∴．
16．(1)；
(2)见解析；
(3)3；
【分析】（1）本题考查与角平分线有关的三角形内角和关系，根据得到，再结合角平分线求出，即可得到答案；
（2）本题考查角平分线判定与性质，过作，，，根据角平分线性质得到，结合角平分线的判定即可证明；
（3）本题主要考查三角形全等的性质与判定，解题的关键是根据截长补短作出辅助线，在上截取一点D，使，连，证明，即可得到答案；
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵、分别平分、，
∴，
∴；
（2）证明：过作，，，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
∴平分 ；

（3）解：在上截取一点D，使，连，

设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴．
17．证明见解析
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质以及等腰三角形的判定和三角形内角和定理的应用，根据外角的性质求出，由角平分线的定义得，根据三角形内角和定理求出，可得，从而可得结论．
【详解】证明：，，
∴，
∵平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
18．(1)见解析
(2)14
【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．
（1）过点E作于F，根据角平分线的性质得出，再证明，，根据全等三角形的性质得出，，进而得出结论；
（2）由，，推出，，据此求解即可．
【详解】（1）证明：如图，过点E作于F，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，，
∴四边形的面积为，
故答案为：14．
19．(1)；
(2)的周长为13．
【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识点．
（1）先根据角平分线的定义求得的度数，据此求解即可；
（2）先根据角平分线的定义和平行线的性质可得，然后根据等腰三角形的判定可得，，从而可得，最后根据三角形的周长公式即可得．
【详解】（1）解：∵平分，平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：平分，
，
，
，
，
，
同理可得：，
，
，
的周长是．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)