人教八上：专题十二 解分式方程和分式化简求值（含解析）

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专题十二 解分式方程和分式化简求值
1．化简： ．
2．（1）解分式方程：
（2）先化简，再求值：，其中．
3．先化简，再求值．
(1)，其中；
(2)，其中．
4．解分式方程：
(1)； (2)．
5．先化简，再求值：÷，其中x＝．
6．先化简，再求值：，其中．
7．先化简，再求值：，其中x=3．
8．先化简，再求值：，其中.
9．先化简，再求值：，其中．
10．解方程：
（1）； （2）．
11．设，，求值.
12．解下列方程：
(1) (2)
13．（1）化简：； （2）解方程：．
14．解分式方程：
(1) (2)
15．先化简，再求值：，其中．
16．解下列方程：
(1) (2)
17．先化简，再求值：，其中x=20160+4
18．先化简，再求值：，其中．
19．先化简，再求值：，其中，．
20．计算：
(1) (2)
21．先化简，再求值：
，其中是方程的解．
22．关于x的方程
(1)若，则解这个分式方程；
(2)若这个关于x的方程无解，直接写出a的值．
23．先化简，再求值：，其中．
24．先化简，再求值：，从，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．
25．先化简，再求值：，其中．
26．探索（1）如果，则______；
（2）如果，则______；
总结（3）如果（其中为常数），则______；
应用（4）若代数式的值为整数，求满足条件的整数的值．
参考答案
1．
【分析】根据分式的混合运算规则进行计算，即可得到答案.
【详解】
=
=
=
【点睛】本题考查分式混合运算，解题的关键是掌握分式的运算规则.
2．（1）；（2）；
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【详解】解：（1）
方程两边乘，得
解得
经检验，
所以，原分式方程的解为
（2）
当时，原式
【点睛】此题考查了分式的化简求值，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．(1)；0
(2)；
【分析】（1）直接利用整式的混合运算法则化简，进而把x的值代入得出答案；
（2）将分式中能分解因式的进行因式分解，再化简求出答案．
【详解】（1）解：原式=，
=，
，
当时，原式．
（2）解：，
，
；
把代入上式得∶
原式
【点睛】此题主要考查了整式及分式的化简求值，正确分解因式进而化简分式是解题关键．
4．(1)
(2)无解
【分析】（1）去分母，等式两边同时乘以，然后去括号，移项，合并同类项，系数化为，检验根，即可求解；
（2）根据分式的性质，先约分化简，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，检验根，即可求解．
【详解】（1）解：
方程两边乘，得
解得：
检验：当时，
∴原分式方程的解为．
（2）解：
方程两边乘，得
解得：
检验：当时，，因此不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解．
【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，检验根是否满足分式方程有意义是解题的关键．
5．，．
【分析】先将分式的分子和分母分解因式，将分式约分化简得到最简结果，再将未知数的值代入计算即可.
【详解】,
=,
当x＝时，原式＝.
【点睛】此题考查分式的化简求值，化简时需先分解因式约去公因式得到最简分式，再将未知数的值代入求值即可.
6．化简结果为，值为．
【分析】先计算括号里的以及对分式进行分解，然后进行乘法运算可得化简结果，最后将值代入求解即可．
【详解】解：
将代入得，
∴化简结果为，值为．
【点睛】本题考查了分式的化简求值．解题的关键在于熟练掌握平方差公式与完全平方公式．
7．，
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=
．
当x=3时，原式=．
【点睛】本题考查分式的化简求值、完全平方公式、平方差公式，熟练掌握分式的混合运算法则是解答的关键.
8．（1）；（2）；
【分析】（1）先提公因式，然后根据完全平方公式因式分解即可求解；
（2）根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，根据分式的性质化简，最后将字母的值代入进行计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
当时，原式．
【点睛】本题考查了因式分解，分式的化简求值，掌握因式分解与分式的混合运算法则是解题的关键．
9．，
【分析】先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．
10．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】本题考查的是分解因式及解分式方程，熟练掌握分解因式的方法及解分式方程的一般步骤是关键，要注意，分式方程必须检验．
（1）先提公因式，再用平方差公式分解；
（2）先分组，再提公因式分解即可；
（3）先去分母变分式方程为整式方程，然后去括号、移项合并同类项、系数化为1的步骤计算后，检验即可；
（4）先去分母变分式方程为整式方程，然后去括号、移项合并同类项、系数化为1的步骤计算后，检验即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
；
（3），
去分母，得：，
去括号，得：，
移项并合并，得：；
检验：把代入得：，
∴是原方程的根；
（4），
去分母，得：，
去括号，得：，
移项并合并，得：，
系数化为1，得：．
检验：把代入得：，
∴是原方程的根．
11．31
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，整式的乘法的运算公式及运算法则对二次根式的运算同样适应．先把，化简，再把变形为代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
12．(1)
(2)方程无解
【分析】本题主要考查解分式方程，
（1）根据解分式方程的去分母、整理、系数化为1及检验步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的去分母、整理、系数化为1及检验步骤求解即可；
【详解】（1）解：方程两边乘，得，
解得，
检验：当时，，
所以，原分式方程的解为．
（2）方程两边乘，得，
解得，
检验：当时，，
因此，不是原分式方程的解．
故方程无解．
13．（1）；（2）原分式方程无解
【分析】本题考查了分式的混合运算、解分式方程，熟练掌握运算法则以及运算步骤是解此题的关键．
（1）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简；
（2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
当时，，
原分式方程无解．
14．(1)
(2)
【分析】
本题主要考查了解分式方程：
（1）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可；
（2）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
【详解】（1）解：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．
15．，
【分析】
本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，然后把除法变成乘法 ，再约分化简，最后代值计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式
16．(1)；
(2)无解．
【分析】（）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，代入到最简公分母检验即可；
（）先对分式方程变形，再分母分式方程把转化为整式方程，求出整式方程的解，代入到最简公分母检验即可；
本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解方程并进行检验是解题的关键．
【详解】（1）解：方程两边同时乘以得，
，
解得，
把代入最简公分母得，
，
∴是原分式方程的解；
（2）原方程可变为，，
方程两边同时乘以得，
，
解得，
把代入最简公分母得，
，
∴原分式方程无解．
17．，.
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后求出x的值代入进行计算即可．
【详解】解：原式，
∵x=20160+4=5，
∴原式=.
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题关键．
18．，
【分析】本题主要考查分式的化简求值，先将括号中两项通分，同时利用除法法则变形，利用完全平方公式约分化简得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
19．（1）；
（2），
【分析】此题考查了因式分解和分式的化简求值，熟练掌握提公因式法及分式的运算法则是解题的关键．
（1）原式提取公因式即可；
（2）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，约分得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
，，，，
原式．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的化简，
（1）分母相同，直接相减，进行计算即可得；
（2）先算除法，再算除法即可得；
掌握分式的计算是解题的关键．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
21．，1
【分析】本题考查了分式化简求值，解分式方程，先运用因式分解和逆用完全平方公式进行化简得，再解分式方程并检验，将分式方程的解代入进行计算即可得，掌握因式分解，完全平方公式，解分式方程是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
，
，
，
，
，
检验：当时，，
∴是分式方程的解，
当时，原式．
22．(1)
(2)或
【分析】本题考查了解分式方程和分式方程的无解问题，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．
（1）把代入方程得出，再方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都横得出，整理得出，分为两种情况：①，②，再求出即可．
【详解】（1）解：把代入方程，得，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以分式方程的解是；
（2）解：，
方程两边都乘，得，
整理得：，
①当时，分式方程无解，解得：，
②要使分式方程有增根（此时方程无解），，
即，
所以，
解得：，
所以当或时，分式方程无解．
23．，．
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当时，原式．
24．，4.
【分析】根据分式的运算法则和乘法公式将原式化简，根据分式存在有意义的条件选取合适的数代入代数式计算即可.
【详解】原式
．
∵x2﹣1≠0，x﹣2≠0，∴取x＝3，原式＝＝4．
【点睛】本题考查的是分式的运算和分式存在有意义的条件，根据分式有意义的条件挑选出合适的值代入是解题的关键.
25．，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算乘法，再计算减法，然后把代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：
，
当时，原式
26．（1）；（2）2；（3）；（4）0或2
【分析】本题考查了分式的加减运算．熟练掌握同分母分式的加减是解题的关键．
（1）由题意知，，然后求解作答即可；
（2）同理（1）；
（3）同理（1）；
（4）由题意知，，由代数式的值为整数，可知为整数，然后求解作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：由题意知，，
∵，
∴，
故答案为：2；
（3）解；由题意知，，
∵，
∴，
故答案为：；
（4）解：由题意知，，
∵代数式的值为整数，
∴为整数，
∴的值为0或2．
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