人教八上：专题七 全等三角形压轴训练（期中）

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专题七 全等三角形压轴训练（期中）
1．如图1，△ABC的两条外角平分线，相交于点O，．

(1)直接写出的大小；
(2)如图2，连接交于K．
①求的大小；
②如图3，作于F，若，求证：．
2．已知等腰中，，，交延长线于点D，为的延长线，点P从A点出发以每秒的速度在射线上向右运动，连接，以为边，在的左侧作等边，连接AE．
(1)如图1，当时，求证：；
(2)当点P运动到如图2位置时，此时点D与点E在直线AP同侧，求证：；
(3)在点P运动过程中，连接，当点P运动______秒时，线段长度取到最小值．
3．如图，在中，，，为上一点，连接．
(1)若，
①如图（1），求的度数；
②如图（2），为上一点，，交于点，交的延长线于点，求证：；
(2)如图（3），，过作于点，若，，直接用含，的式子写出的面积．
4．如图 1，在五边形 ABCDE 中，∠E=90°，BC=DE.连接 AC，AD， 且 AB=AD，AC⊥BC.
（1）求证：AC=AE；
（2）如图 2，若∠ABC=∠CAD，AF 为 BE 边上的中线，求证：AF⊥CD；
（3）如图 3，在（2）的条件下，AE=6，DE=4，则五边形 ABCDE 的面积为
5．（1）如图1，在四边形中，与互补，且，求证：平分．
（2）已知等边中，D在边上，E在边上，且，与相交于点F．
①如图2，求证：，并直接写出的大小是________．
②如图3，过E作于G，连接并延长交于点H，若，求证：．

6．问题提出（1）如图1，已知：，，探究：和的数量关系并加以证明；
问题探究（2）如图2，在中，，过点C作射线，连结交边于点，点在边上，连接，若，探究和的数量关系并加以证明；
问题拓展（3）如图3，锐角中，，过点C作直线，点E为边上一点，连接并延长交直线于点，点在边上，若，直接写出和的数量关系．________________．

7．如图，是等边三角形，点D、E分别在、上满足，连接、交于点F．
(1)求的度数．
(2)如图2过点B作于G，若，求证．
(3)如图3，过点A作直线于点H，点M是直线l上的一个动点（不与点A、H重合），以线段为边构造等边（C、M、N按顺时针排列）连接，，，当是等腰三角形时，则的度数为______
8．完成下列各题：
(1)问题情境 如图1，和都是等边三角形，连接，，求证：．
(2)迁移应用 如图2，和都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是的中点，N是的中点，P在上，是等边三角形，求证：P是的中点．
(3)拓展创新 如图3，P是线段的中点，，在的下方作等边（P，F，H三点按逆时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当EF+BH的值最小时，直接写出等边边长的最小值．
9．完成下列各题：
(1)问题的提出：如图，中，，则求证：．

(2)知识的运用：如图，四边形是正方形，，，点是边上一点，，且，连．求的度数．

(3)拓展与延伸：如图，四边形中，，，，为四边形边上一点，连接，若，且，探究与的数量关系．直接写出结果，不需说明理由．

10．我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

【阅读材料】（1）如图2，在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E．使，连结，利用全等将边转化到，在△中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，则中线的取值范围是______；
【问题探索】（2）如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，请仿照上面材料中的方法，探索图1中与的数量关系，并给予证明；
【拓展运用】（3）如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，若，，试求解的取值范围．
11．和始终有公共角，连接，，，相交于点．
(1)如图1，若，，求证：．
(2)如图2，若，且，求的度数（用含的式子表示）
(3)如图3，若，过点作且，连接并延长交于点，过点作于点，请直接写出与的关系为：_____________．
12．在等边中，，点和点分别在边，上，以为边向右侧作等边，连接．
(1)如图1，当点和点重合时，试求的度数；
(2)当点D是边的中点时，
①如图2，判断线段与的数量关系并证明；
②如图3，在点从点沿运动到点的过程中，请直接写出点的运动轨迹的长度．
13．已知：如图，是的中线，．

(1)若的面积为3，则的面积________；（直接写出结果）
(2)探究与证明：请探究线段与线段的大小关系，并证明你的结论；
(3)求证：．
14．【问题背景】如图，在与中，若，，．求证：；
【尝试运用】如图，在和中，，，，，延长交于点．求证：为的中点；
【拓展创新】如图，在中，，，边上的高为，点是直线上一动点，连接、在直线的右侧作等边，连接，则的最小值__________．
15．等边和等边中共线，连接和相交于点．

(1)如图1，当点分别在边上时，求证：；
(2)如图2，当点在的延长线上时，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，直接写出与之间的数量关系为__________．
16．（1）如图1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？猜想：在中，如果，则 （填写“＞”“＜”或“＝”），请证明你的猜想；
（2）如图2，在中，平分交于点，连接，．判断与的大小关系，并证明；
（3）如图3，在中，，的角平分线，交于点，若，则 ．
17．△ABC中，，，点D是直线A、B上的一动点（不和A、B重合），于E，交直线于F．
(1)如图1，当点D在边上时，猜想并证明线段、、的数量关系；
(2)当点D在AB的延长线时，（1）中关于、、数量关系的结论是否仍然成立？若不成立，请在图2中画出图形并直接写出它们数量关系的正确结论．
18．定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

(1)如图1所示，是中的遥望角，直接写出与的数量关系__________；
(2)如图1所示，连接，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，四边形中，，点E在的延长线上，连，若已知，求证：是中的遥望角．
参考答案
1．(1)；
(2)①；②证明见解析．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，则，再由角平分线的定义求出，根据四边形内角和求出即可；
（2）①过点O作于点M，于点N，于点P，根据角平分线的性质求解即可；
②先求出，过点A作交于点H，再求出，则，分别求出，，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图2，①过点O作于点M，于点N，于点P，
∵、分别平分、，
∴，，
∴，
∴平分，
∵，
∴；
②证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
如图3，过点A作交于点H，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握三角形内角和定理、四边形内角和、角平分线的性质及定义、平行线的性质是解题的关键．
2．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)12.5
【分析】（1）利用“”即可直接证明；
（2）在上取一点T，使得，先证明是等边三角形，再证明，即可；
（3）分当点D与点E在直线AP同侧时和当点D与点E在直线两侧时来讨论，确定点E在的角平分线l上运动，即当时，取到最短，问题随之得解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∵在和中，
，
∴；
（2）证明：如图，在上取一点T，使得，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴．
在和中
，
∴，
∴，
∴；
（3）①当点D与点E在直线AP同侧时，
由（2）中有：是等边三角形，即，
∴，
则根据可知：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
②当点D与点E在直线两侧时，如图，
在PC上截取，
∵，
∴结合对顶角相等，可得，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即运动过程中，所在的直线平分，
则有点E在的角平分线l上运动，
当时，取到最短．此时，，点D与点E在直线AP同侧时．
∵中，，，
∴．
∵中，，，
∴．
∴根据（2）的结论，有，
∴．
即：当点P运动时，线段长度取到最小值．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．
3．(1)①；②见解析；
(2)．
【分析】（1）①利用三角形内角和定理计算即可求解；
②延长到，使，连，利用证明，推出，，再证明，推出，据此计算即可得解；
（2）过点分别作的垂线，垂足分别为，求得，证明，求得，由，推出，得到，根据列式计算即可求解．
【详解】（1）①解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
；
②证明：延长到，使，连，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴
（2）解：过点分别作的垂线，垂足分别为，如图，
则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
4．（1）见解析；（2）见解析；（3）42
【分析】(1)由已知可得Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），可得结论；
（2）延长 AF，BC 交于点 G，连接CG，可得∠G=∠EAG，可证明得：△AEF≌△GBF（AAS），可得AE=BG，∠ABG=∠CAD，可证明得△ABG≌△DAC（SAS），∠G=∠ACD，可得结论；
(3) 在（2）的条件下，AE=6，DE=4，则五边形 ABCDE 的面积为42.
【详解】（1）∵AC⊥BC，，
∴∠ACB=90°=∠E． 在 Rt△ABC 和 Rt△ADE 中，
AB AD，BC DE，
∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL），
∴AC=AE.
（2）延长 AF，BC 交于点 G，
∵∠ABC=∠CAD，∠BAC=∠DAE，
∴∠CAD+∠DAE=∠ABC+∠BAC=90°=∠ACB，，
∴BG∥AE，
∴∠G=∠EAG，
在△AEF 和△GBF 中，
AFE GFB，EAF G，EF BF，
∴△AEF≌△GBF（AAS），
∴AE=BG，
∵AC= AE，
∴BG=AC．
∵∠2=∠3，
又∠ABG=∠1+∠2，
∠CAD=∠BAD+∠CAE-∠BAE，，
=180-∠BAE=180-（180-∠1-∠3）=∠1+∠3，
∴∠ABG=∠CAD，
在△ABG 和△DAC 中，
AB AD，ABG DAC，BG AC，
∴△ABG≌△DAC（SAS），
∴∠G=∠ACD，
∵∠ACG=∠ACB= 90° 即：∠ACD+∠GCD=90°，
∴∠G+∠GCD=90°，
∴AF⊥CD；
（3）在（2）的条件下，AE=6，DE=4，则五边形 ABCDE 的面积为42 .
【点睛】本题主要考查三角形全等及性质，综合性大，灵活构造辅助线是解题的关键.
5．（1）见详解；（2）①见详解；；②见详解；
【分析】（1）过C作，分别交、的延长线于，证明，即可证明；
（2）①根据等边三角形的性质证明，根据全等三角形的性质和三角形外角的性质即可求解；
②如图中，连接，过点作于点于点．证明，推出平分，可得结论．
【详解】（1）过C作，分别交、的延长线于，

则，
，
，
，
，
，
在的平分线上，
平分；
（2）①是等边三角形，
②证明：如图中，连接，过点作于点于点．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
平分
垂直平分

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
6．（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）或
【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）由“”可证，可得，可得结论；
（3）由“”可证，可得，，分两种情况讨论，由角的数量关系可求解．
【详解】解：（1），理由如下：如图1，连接，

，，
，，
又，
，
；
（2），理由如下：
如图2，过点作，交于，

，，
，，
，，
，
又，，
，
，
；
（3）在上截取，连接，交于点，

，，，
，
，，
又，
，
，
，
当时，则，
，
当不平行，则四边形是等腰梯形，
，
，
，
故答案为：相等或互补．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，截长补短，分类讨论．
7．(1)
(2)见解析
(3)或．
【分析】对于（1），先根据等边三角形的性质得出，，再根据证明≌，进而得出，然后由，可知，最后根据三角形外角的性质得出答案；
对于（2），先根据直角三角形的性质得，再根据（1）中的结论得，，由已知得，可得，即可得出，然后根据证明≌，可得答案；
对于（3），分，，三种情况讨论，并求出答案.．
【详解】（1）∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴≌，
∴．
∵，
∴．
∵是的外角，
∴；
（2）在中，，
∴，
∴．
∵≌，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴≌，
∴；
（3）当时，点A和点M重合，如图所示．
根据题意可知，
∴．
∵，
∴；
当时，如图所示，
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴．
∵是等边三角形，是等边三角形，
∴，，．
∵，
∴．
∵，
∴≌，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．

不存在的情况．
∴的度数是或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定等，两个三角形全等是证明边长相等的常用方法，注意多种情况讨论是解题的关键．
8．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据等边三角形的性质推得，再利用即可证明；
（2）在上截取点K，使得，连接，先证明是等边三角形，得出，再利用证明，得出，再根据线段中点的关系求解；
（3）作，使，连接，证明，可得，故，则当点H在线段上时，的值最小时，又当，的值最小即可求解．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，．
∴，
∴．
在和中，
∴，
（2）证明：在上截取点K，使得，连接，

∵和都是等边三角形，
∴，，．
∴是等边三角形，
∴，．
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，即．
在和中，
∴，
∴，
∴．
∵M为中点，点N为中点，
∴，，
设，，则，，
∴，，
∴，
∴，
∴点P为中点．
另解思路1
在上截取点K，使得，在上截取点G，使得，
证，
则，，
所以，即，所以点P为中点．

另解2思路2
过点N作，，证，
设，，
则，，，．
易求，，，．
所以，所以点P为中点．
（3）解：作，使，连接．
，
，
在和中，
，
，
，
当点H在线段上时，的值最小，
此时若，的值最小，
，
，
又P是线段的中点，
，
，
，
，
在中，，
即当的值最小时，边长的最小值为．
【点睛】本题考查的是旋转问题，三角形全等的判定与性质，三点共线求最小值，以及垂线段最短的问题，解题的关键是能正确作出辅助线，证明三角形全等．
9．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）取中点，连接，则，证明得到即可得证；
（2）由同角的余角相等得出，在上取一点，使，连接，得到，由问题的提出知：，推出，证明即可得证；
（3）由三角形内角和定理可得，在上取一点，使，连接，得到，由问题的提出知：，推出，证明得到，由平行线的性质可得，由此计算即可得到答案．
【详解】（1）证明：取中点，连接，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
在上取一点，使，连接，如图，
，
，
，
，
由问题的提出知：，
，
，
．
在和中，
，
，
；
（3）解：，，，
，
如图，在上取一点，使，连接，
，
，即，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，即．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、平行线的性质、同角的余角相等等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，证明三角形全等是解此题的关键．
10．（1），（2）；（3）
【分析】（1）先证明可得，再结合三角形的三边关系可得答案；
（2）延长至点E使，连接，证明，可得，，求出，再证，根据全等三角形的性质可得结论；
（3）作于H，作交延长线于F，求出，证明，可得，同理证明，可得，求出，可证，根据全等三角形的性质可得，然后可得是的“旋补中线”，从而可得范围．
【详解】解：（1）∵是中线，
∴，
∵，，
∴，
∴，而，
∴，，，
由三角形三边关系可得：，即，
∴，
（2）；理由如下：
如图1，延长至点E使，连接，

∵是的“旋补中线”，
∴是的中线，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵是的“旋补中线”，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）如图，作于H，作交延长线于F，

∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是的中线，
∵，，
结合（1）的结论可得：，即．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，旋转的性质，三角形的中线的含义与取值范围的确定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
11．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用证明即可；
（2）过点作于，作的延长线于，证明，根据全等三角形的性质得到，根据角平分线的判定得到，再根据平角的定义可得结论；
（3）连接，，，过点作于点，交的延长线于点，证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，根据三角形面积公式得到，根据角平分线的判定得到平分，得到，根据直角三角形两锐角互余得到，继而得到，再根据平角的定义得到，可得结论．
【详解】（1）证明：在和中，
，
∴；
（2）解：过点作于，作的延长线于，
∵，
∴，即
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∴的度数为；
（3）与的关系为：．
理由如下：
连接，，，过点作于点，交的延长线于点，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，平行四边形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，三角形的面积等知识点，难度较大．通过作辅助线构造全等三角形的是解题的关键．
12．(1)；
(2)①，证明过程见解答；②点的运动轨迹的长度为4．
【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，通过手拉手模型证明三角形全等确定点F的运动轨迹是解题的关键．
（1）证明，可得；
（2）①如图2中，连接，取的中点，连接，．证明，可得结论；②如图2所示（图2和图3中的点T均为中点），由（2）①可得，则点F在过点T且与直线的夹角为的直线上运动， 根据等边三角形的性质求出，如图3所示，设当点E与点C重合时，点F与点G重合，先求出，再求出，则，由于点E从点B运动到点C的过程中，点F从点T沿着线段运动到点G，则点F的运动轨迹即为线段，即可得到点F的运动轨迹的长度为4．
【详解】（1）证明：∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：①，证明如下：
如图2中，连接，取的中点T，连接，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴同（1）法可证，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
②如图2所示（图2和图3中的点T均为中点），由（2）①可得，
∴点F在过点T且与直线的夹角为的直线上运动，
当点E与点B重合时，点F与点T重合，
∵是等边三角形，点D为的中点，
∴，
如图3所示，设当点E与点C重合时，点F与点G重合，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点E从点B运动到点C的过程中，点F从点T沿着线段运动到点G，
∴点F的运动轨迹即为线段，
∴点F的运动轨迹的长度为4．
13．(1)12
(2)，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形中线的性质，三角形三边关系定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
（1）根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分求出的面积，继而求出的面积；
（2）如图，延长到，使，利用证得和全等，得出，再根据三角形三边关系定理得出，从而问题得证；
（3）结合（2）中的条件先证和全等，得出，从而问题得证．
【详解】（1）解：∵是的中线，的面积为3，
是的中线，
故答案为：12；
（2），
证明：如图，延长到，使，连接，

∵是的中线，
∴，
在和中，
在中，由三角形三边关系定理得，
即；
（3）证明：由（2）知，
是的外角，
在和中，
由（2）知，
14．【问题背景】见解析；【尝试运用】见解析；【拓展创新】．
【分析】（1）由 可证；
（2）由可证，，可得 ， 由 可证可得 ，即可求解；
（3）由可证，，可得，则点在的中垂线上移动，由直角三角形的性质可求解，
本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.
【问题背景】∵，
∴，
在和中，
，
∴
【尝试运用】过点作交的延长线于点，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴为的中点；
【拓展创新】取的中点，连接，，，过点作于，
∵，，，
∴，，，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴点在的中垂线上移动，
∴，
∴，
∴当点，点，点三点共线时，有最小值为的长，
∴的最小值．
故答案为：．
15．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明得到，从而得到，即，即可推出；
（2）过作于点于点，在上截取，连接，证明得到，由三角形内角和定理得出，根据全等三角形对应边上的高相等，，得到，从而推出平分，证明为等边三角形，得到，，再证明得出，即可得证；
（3）过作于点于点，作于点，根据，，，可得，再由，，，即可得到答案．
【详解】（1）证明：和是等边三角形，
，，，
在和中，
，
，
，
，即，
；
（2）解：过作于点于点，在上截取，连接，
，
和是等边三角形，
，，，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
∵全等三角形对应边上的高相等，，，
，
平分，
，
为等边三角形，
，，
，即，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：过作于点于点，作于点，
，
由（2）可得，
，，，
，
，，，
．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的判定、三角形面积公式等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线是解此题的关键．
16．（1）>，见解析；（2），见解析；（3）
【分析】（1）在上截取，连接，则，由，得，因为，所以，于是得到问题的答案；
（2）延长到点，使，连接，则，因为，所以，再证明，得，所以；
（3）在上截取，连接，可证明，则，，所以，由，得，则，作于点，于点，则，所以，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：（1），
证明：如图1，在上截取，连接，则，
，
，
，
，
故答案为：；
（2），
证明：如图2，延长到点，使，连接，则，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）如图3，在上截取，连接，
，的角平分线，交于点，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
作于点，于点，
平分，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角、三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
17．(1)
(2)（1）中结论不成立，当点D在的延长线上时，
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，当条件没有改变仅仅是图形的位置发生变化时，常常可以通过借鉴已有的解题经验来解决问题．
（1）易证，结合条件容易证到，从而有，进而可得出结论．
（2）由于点D的位置在变化，因此线段、、之间的大小关系也会相应地发生变化，只需画出图象并借鉴（1）中的证明思路就可解决问题．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
在和中，
即；
（2）解：（1）中结论不成立，当点D在的延长线上时，，
理由如下，如图所示，
同（1）可得：
．
18．(1)
(2)，理由见解析
(3)见解析
【分析】（1）运用角平分线的定义，以及三角形外角的性质，推导得到，，进而可得；
（2）过点E作交的延长线于点M，作交于点N，作交的延长线于点H，由角平分线的性质定理和判定定理可得，根据可得；
（3）过D作交于点M，过D作交的延长线于点N，先证四边形是矩形，再证，最后证得平分，平分即可．
【详解】（1）解：是中的遥望角，
平分，平分，
，，
，
，
又，
，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图，过点E作交的延长线于点M，作交于点N，作交的延长线于点H，
平分，，，
，
同理，
，
，，
平分，即，
，
；
（3）证明：如图，过D作交于点M，过D作交的延长线于点N，
，，，
，
四边形是矩形，
，即，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
平分，
，
，，
，
，
，
，
，
平分，
平分，
是中的遥望角．
【点睛】本题考查角平分线的性质及判定，全等三角形的性质及判定，三角形外角的定义和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键．
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