人教九上：专题二 解一元二次方程（含解析）

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专题二 解一元二次方程
1．用配方法解方程：
2．解方程：．
3．解方程：
(1)； (2)．
4．解方程：．
5．解方程x2﹣4x+1=0．
6．解方程：．
7．解方程：
(1)（配方法）； (2)．（公式法）；
8．解方程：（用公式法）
9．解方程：
（1）x2+x﹣12＝0； （2）5x（x﹣1）＝2（x﹣1）．
10．解下列方程：
(1) (2)；
11．解下列一元二次方程．
(1) (2)
12．解方程：．
13．解方程：．
14．解方程：．
15．解方程：
16．解方程：
17．解方程：x2﹣3x﹣2＝0．
18．解方程：
19．解方程：x2－2x－4＝0．
20．解方程：
（1）x2+2x﹣1=0 （2）x（x+4）=3x+12．
参考答案
1．，
【分析】先移项，再配方，最后开方，即可求出答案．
【详解】解：，
，
配方得：，
，
开方得：x-2=，
，．
【点睛】本题考查解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
2．，
【分析】利用公式法求解可得．
【详解】解：
，，，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了公式法解一元二次方程；根据系数特点选择适当的方法是解题的关键．
3．(1)，；
(2)，．
【分析】（1）利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴，；
（2）解：∵，
移项得，
配方得，即，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
4．
【分析】利用公式法即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
5．x1=2+，x2=2-.
【分析】根据完全平方公式和配方法解出方程即可．
【详解】解：移项得，x2﹣4x=﹣1，
配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4，
∴（x﹣2）2=3，
∴x﹣2=±，
∴x1=2+，x2=2-.
6．
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用公式法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
7．(1)，
(2)，
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【详解】（1）解：，
移项：，
配方：，即，
开方：，
解得：，；
（2）解：，
移项：，
，，，
，
，
解得：，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法与配方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
8．，
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
∴方程有两个不相等的实数根
∴
∴，
9．（Ⅰ）x1＝﹣4，x2＝3；（Ⅱ）x1＝1，x2＝
【分析】（Ⅰ）利用因式分解法解方程；
（Ⅱ）先移项得5x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【详解】解：（Ⅰ）（x+4）（x﹣3）＝0，
x+4＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝﹣4，x2＝3；
（Ⅱ）5x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（5x﹣2）＝0，
x﹣1＝0或5x﹣2＝0，
所以x1＝1，x2＝．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
10．(1)
(2)
【分析】（1）先化为一般形式，然后根据公式法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：，
∴，
即，
∴，，
∴，
解得：，
（2）解：，
∴，
即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
11．(1)，
(2)，
【分析】（1）本问考查的利用公式法解一元二次方程，先计算根的判别式，再求解；
（2）本问考查的是利用因式分解法解方程，先把方程左边分解因式，再求解．
【详解】（1）解：
∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
即，；
（2）解：，
∴，
∴或，
解得：，．
12．，
【分析】利用公式法：求解即可．
【详解】解：，，，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
13．
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：
∴
∴
解得：
14．，
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：将原方程的左边进行因式分解得：
则或
所以，
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是对二次三项式进行正确的因式分解．
15．，
【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法：将各项系数代入求根公式求解即可．
【详解】解：，，
方程有两个不相等的实数根
，
16．.
【分析】直接应用公式求解.
【详解】解：∵，
∴.
∴原方程的解为：.
【点睛】根据方程的特点选择解一元二次方程的方法可以简化计算．
17．x1＝，x2＝
【分析】公式法的步骤：①化方程为一般形式；②找出a，b，c；③求b2﹣4ac；④代入公式x=．
【详解】∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==，∴x1=，x2=．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法．要会熟练运用公式法求解一元二次方程．
18．，
【分析】根据配方法以及公式法即可解一元二次方程．
【详解】解：
（解法一）移项、配方得：
∴
∴
∴
∴，
（解法二）解：∵，
∴
∴方程有两个不相等的实数根
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．
19．x=1±
【详解】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
解：原方程化为：x2-2x+1=5，
（x-1）2=5，
x-1=±，
x1=1+，x2=1-．
“点睛”配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
20．（1）x1=﹣1+，x2=﹣1﹣；（2）x1=﹣4，x2=3
【详解】试题分析：根据解一元二次方程的方法解方程即可.
试题解析：（1）
所以
（2）
或
所以
点睛：一元二次方程的常用解法：直接开方法，公式法，配方法，因式分解法.
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