人教九上：专题十一 圆相关计算与证明（含解析）

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专题十一 圆相关计算与证明
1．如图，在中，以为直径的交于，点在上，，连接交于．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
2．菱形的顶点B，C，D在上，O在线段上.
(1)如图1，若是的切线，求的大小；
(2)如图2，若，，与交于点E，求的长.
3．如图，在矩形中，经过点A，与矩形的两边相切，切点分别为E，F，与边相交于点G．连并延长交边于点P．
(1)求证：；
(2)若，直接写出的长．
4．如图，是的直径，是的弦，，垂足为，为上一点，且，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
5．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．
(1)求证：；
(2)如果，于．求证：．
6．如图，在中，，O为边上一点，过点C且经过边上的点D，．
(1)求证：为的切线；
(2)延长交于点E，连接，若且，求的半径．
7．如图，，，分别与相切于点，，，且∥，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，求的值．
8．如图，是圆的内接三角形，点在弦上，平分，．
(1)求证：平分；
(2)若为直径，且，，求的长．
9．如图1，，是的弦，且，连接，．
(1)求证：；
(2)如图2，连接，若，，，求的半径．
10．如图，在等腰中，，过点C作交于点D，

(1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，为半径作（保留痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）所作的图形中，
①求证：是的切线；
②若的半径为，问线段上是否存在一点P，使得以P，D，B为顶点的三角形与相似 若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
11．如图，是的直径，点、在上，平分，是弧的中点，连接交于．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
12．如图，是的两条弦，．
(1)在图（1）中，，直接写出图中阴影部分的面积；
(2)在图（2）中，E是的中点，判断与的数量关系，并证明你的结论．
13．如图，等腰中，以为直径的与、的延长线分别交于点、，垂直于．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
14．如图，为的直径，C是上一点， D是的中点，弦，垂足为F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
15．如图，是的直径，，C为上一点，连接，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)过点D作，分别交，于点E，F．若，求值．
16．如图，C，D是圆上的两点，，且C为弧的中点，，交于点E．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求圆的半径．
17．如图，以为直径的半圆经过斜边的两个端点，半圆与直角边交于点，且，两点是半圆弧的三等分点．
(1)在图1中，请仅用无刻度的直尺，按要求完成下列作图（作图过程用虚线，作图结果用实线）．
①画一条和平行的弦；②画的中点．
(2)如图2，已知的半径为，求图中两个阴影部分面积的和．
18．如图，是的直径，是的切线，连接，过作交于点，连接并延长，交延长线于．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
19．如图，已知是的外接圆，是的直径，D是延长线上的一点，交的延长线于E，于F，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
20．如图，是以为直径的半圆上的两点，，连结．
(1)求证：．
(2)若，，求阴影部分的面积．
21．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆交于点．
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，若，求证：．
22．如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；
（2）求证：PA＋PB＝PC．
23．四边形ABCD是菱形，⊙O经过B、C、D三点（点O在AC上）．
(1)如图1，若AB是⊙O的切线，求∠ADC的大小；
(2)如图2，若AB＝5，AC＝8，AB与⊙O交于点E．
①求⊙O的半径；
②直接写出BE的值．
24．如图，C是圆O被直径分成的半圆上一点，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点P，连接．
(1)若，求的度数
(2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积（结果保留和根号）．
参考答案
1．(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查了圆与三角形的综合题，涉及相似三角形的判定与性质，切线的判定，垂径定理，勾股定理．
（1）连接，由，证得，再通过证得即可；
（2）连接，交于点G，由（1）得，，利用勾股定理求出，，根据，推出，进而得到，易证，求出，再证，得到，求得，根据即可求．
【详解】（1）证明：连接，如图所示．
∵，
．
．
∵，
．
∵为直径，
．
．
，
．
．即．
又∵是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，交于点G，
由（1）得，，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
．
2．(1)
(2)
【分析】
（1）连接，则可得；由菱形的性质及等腰三角形的性质得，由此可求得，进而求得结果；
（2）连接，过点B作于F，过点O作于N；由菱形的性质及勾股定理可求得的长；设圆的半径的r，则在中由勾股定理可求得r的值；
由面积相等则可求得，再由勾股定理及等腰三角形的性质即可求得．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
即；
∵四边形是菱形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，过点B作于F，过点O作于N；
∵四边形是菱形，，
∴，
由勾股定理得；
设圆的半径的r，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴；
∵，
∴；
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线性质，菱形的性质，勾股定理及等腰三角形的性质，综合运用这些性质与定理是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的定义，矩形的性质，正方形的判定和性质，正确画出辅助线，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）连接，通过证明，四边形是正方形，即可求证；
（2）连接，过点O作，则，通过证明四边形是矩形，得出，再根据勾股定理得出，易得，最后根据，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵与相切，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∴；
（2）解：连接，过点O作，
∵，四边形是正方形，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
根据勾股定理可得：，
∵，，
∴，
∴．
4．(1)详见解析
(2)
【分析】（1）由垂径定理可得，由此可得，根据同弧或等弧对的圆周角相等可得；
（2）连接，由勾股定理可得，则，设，则，在中，根据勾股定理列方程求出x的值，即可知的长．
本题主要考查了圆的相关性质，垂径定理，同弧或等弧对的圆周角相等以及勾股定理，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：是的直径，，
，
又，
，
，
．
（2）解：连接，
，
，
又，，
，
，，
，
由（1）可知，
∴；
设，
，
在中，
，
解得：，
，
．
5．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，全等三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键．
（1）根据圆周角定理和角平分线的定义得到，然后根据等角对等边即可得到结论；
（2）先求得，证明，然后证明，再根据全等三角形的对应边相等得到结论．
【详解】（1）连接，
∵点是的内心，
．
．
．
（2）连接交于，连接．
同（1）得
点在线段的垂直平分线上．
又点在的垂直平分线上
垂直平分，即：，且．
．
．
6．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意连接，利用全等三角形判定及性质即可判定切线；
（2）根据题意判定为等腰直角三角形，利用勾股定理即可得到本题答案．
【详解】（1）解：连接，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵为半径，
∴为的切线；
（2）解：∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，，
则，，，
在和中，和，
即，
解得：，
∴的半径为．
【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形判定及性质，等腰直角三角形判定及性质，勾股定理．
7．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，如图所示，由切线长定理及三角形全等的判定与性质得到，，再由平行性质即可得证；
（2）由（1）中，利用勾股定理得到，进而运用等面积法求出，再运用勾股定理及切线长定理即可得到答案．
【详解】（1）解：连接，如图所示：
，，分别与相切于，，三点，
由切线长定理可得，
在和中，
，
，
；
同理可得；
，
，
，
，
；
（2）解：连接，如图所示：
由（1）可知，
在中，，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
由切线长定理得，，
．
【点睛】本题考查圆综合，涉及切线性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、垂直判定、勾股定理、等面积法求线段长等知识，熟练掌握切线性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理是解决问题的关键．
8．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分内线的定义，可得，再由，可得，然后根据三角形外角的性质可得，再根据圆周角定理可得，即可求证；
（2）分别过点A，D作，垂足分别为F，G，设交于点P，为直径，可得，根据勾股定理可得，再由可得，，，然后根据，可得，，从而得到，然后根据，可得，再由勾股定理可得，，即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即平分；
（2）解：如图，分别过点A，D作，垂足分别为F，G，设交于点P，
∵为直径，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质，熟练掌握圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形外角的性质是解题的关键．
9．(1)证明见解析
(2)13
【分析】本题考查了圆心角，弧，弦之间的关系以及垂径定理，解题的关键是熟练掌握相关基本知识．
（1）欲证明，只要证明即可；
（2）过点O作于点E，交于点F，连接，根据
得出，在中利用勾股定理求出，设的半径为r，则，利用勾股定理求出r即可．
【详解】（1）证明：，
，
，即，
；
（也可通过证明三角形全等解决）
（2）解：如图，过点作于点，交于点F，连接，，
，，
又，，
，
，
在中，，
设的半径为，中，，
，
解得，即的半径为13．
10．(1)见解析
(2)①见解析；②存在，或1
【分析】（1）因为，所以以为直径作圆即为；
（2）①过半径外端点C，要证是过A，D，C三点的圆的切线，只证即可；②通过证明，再利用相似比即可求得的长．
【详解】（1）作的垂直平分线，交于点O，

以点O为圆心，长为半径作圆即为所作的．
（2）①∵，
∴，
∴是的直径．
连接，
∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴．
∴是的切线．
②存在．
∵，
∴．
∴．
在中，，
∴．
过点D作，则，
∴．
∵，
∴．
②过点D作，则，
∴．
∵，
∴．
综上，的长为或1．
【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，外接圆作法及切线的判定的综合运用．
11．(1)见解析
(2)6
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，=，利用三角形外角的性质及相等弧所对的圆周角相等得出，再由等角对等边即可证明；
（2）连接，利用等量代换得出，再由等角对等边可得，由弧、弦之间的关系得出，再由圆周角定理及勾股定理求出直径为10，设，则，继续利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：连接，如图所示：
∵平分，
∴，
∴，
∵是弧的中点，
∴，
∴，
∵与所对均为，
∴=，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）连接，如图所示：
由（1）知，，
∴，
∴，
∵，是弧的中点，
∴，
∵为直径，
∴，，
∴，
由（1）得
∴，
∴，
设，则，
∴，即，
解得：（负根舍去），
∴
【点睛】题目主要考查圆周角定理及等腰三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用圆周角定理是解题关键．
12．(1)
(2)
【分析】（1）作，先证明是等边三角形，再证明，求出的长度，再求出和的面积，即可得答案；
（2）延长交圆与点F，连接，先求出，再根据三角形中位线的性质，．
【详解】（1）解：作，如下图，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：延长交圆与点F，连接，如下图，
，
，
，
是的中位线，
．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角函数，扇形的面积，圆，三角形的中位线，解题的关键是掌握圆的性质．
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，首先得到是等腰三角形，然后结合，证明，进而得到，即可证明出是的切线；
（2）连接，首先根据勾股定理求出，然后证明出，得到，代入求出，然后证明出，得到，求出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵，
∴是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，而，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵为的直径，
∴，，
∴，
如图所示，连接，
∵，，，
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，即
解得，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质和判定，等腰三角形三线合一性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
14．(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用垂径定理得到，根据题意得到，结合等量代换和弧、弦、圆心角的关系，即可证明；
（2）连接，交于点，得到，证明，利用相似三角形性质和勾股定理求出，，，进而即可求出的长．
【详解】（1）解： 为的直径，弦，
，
D是的中点，
，
，
；
（2）解：连接，交于点，
D是的中点，
，
为的直径，
，
，
，
弦，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查的是垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理，圆周角定理，以及相似在圆中的综合运用，解决此题的关键是正确作出辅助线，利用相似求出半径．
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用三线合一线构造直角三角形解题即可．
（1）连接，证明，得到，即可得到结论；
（2）作于, 于,设为,根据解直角三角形得到和长解题即可．
【详解】（1）证明: 连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）作于, 于,
，
，
又∵
，
，
，
，
设为, 则，，
，
，
∴，
又∵
，
．
16．(1)
(2)5
【分析】本题考查圆周角定理、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．
（1）由已知条件可得出，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得出， 根据角的和差关系可得出， 最后根据三角形内角和即可得出答案．
（2）由，可得出为直径，过点E作，证明，由全等三角形的性质可得出，，设，则，由勾股定理可得出，即可得出圆的半径．
【详解】（1）解：∵C为弧的中点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴为圆的直径．
过点E作，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
设，则，
在中，
，
即，
解得，
∴，
即半径为5．
17．(1)①见详解；②见详解
(2)图中两个阴影部分面积的和为
【分析】（1）①连接，则线段即为所求；
②连接，，设，相交于，连接并延长交于点，点即为所求；
（2） 连接，，，利用圆周角定理和等边三角形的性质与判定得出和是等边三角形，解，求出线段的长，再根据垂径定理求出的长，再解，求出的长，进而求出的长，最后根据题意可知两个阴影部分的面积的和为的面积，从而得出结果．
【详解】（1）①连接，如图
为半圆的直径，
，
，
．
故线段即为所求；
②如图，连接，，设，相交于，连接并延长交于点，
，两点是半圆弧的三等分点，
，
，
，
为半圆的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
点平分，
故点即为所求；
（2）连接，，，
，两点是半圆弧的三等分点，
，，
和是等边三角形
的半径为，，
，
，
，
，，
，
，
，
由题意：两个阴影面积之和等于的面积，
，
故图中两个阴影部分面积的和为．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理的推论，等腰三角形和等边三角形的性质与判定，还有平行线的判定，灵活运用所学知识是解本题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆切线的判定与性质
（1）连接，利用求证即可求证即得证；
（2）通过勾股定理,再通过勾股定理即可求出的长．
【详解】（1）解：证明：如图，连接OD
∵
∴，
∵
∴
∴
在与中
∴(SAS)
∴
∵AC是切线．
∴
∴
∵点D在上，OD为半径，且
∴CE是的切线
（2）解：∵CE是的切线
∴
设半径为，在Rt中，，由勾股定理得：
∵，
∴
解得：
∵
∴
设，在Rt中，，由勾股定理得：
∴
解得：
∴CD的长为6
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数等知识点．熟练运用相关知识是解题的关键．
（1）如图：连接OC，由角平分线的判定定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，则，然后结合即可证明结论；
（2）根据圆的定义可得，再在中运用三角函数可得，最后根据直角三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：如图：连接OC；
∵，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴．
在中，，
∴,
∴．
在中，，
∴．
20．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD＝∠DBA，根据 ∠CAB＝∠DBA得到∠CAB＝∠ACD，进而得到结论；
（2）连结OC，OD，证明所求的阴影部分面积与扇形的面积相等，继而得到结论．
【详解】（1）证明：∵=，
∴∠ACD＝∠DBA，
又∠CAB＝∠DBA，
∴∠CAB＝∠ACD，
∴；
（2）解：如图，连结OC，OD．
∵∠ACD＝30°，
∴∠ACD＝∠CAB＝30°，
∴∠AOD＝∠COB＝60°,
∴∠COD＝180°-∠AOD-∠COB＝60°．
∵，
∴S△DOC=S△DBC，
∴S阴影=S弓形COD+S△DOC=S弓形COD+S△DBC=S扇形COD，
∵AB＝4，
∴OA＝2，
∴S扇形COD=．
∴S阴影=．
【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形的内心是三角形的内角平分线的交点得到，，再根据圆周角定理和三角形的外角性质得到，进而利用等腰三角形的等角对等边证得结论；
（2）延长至F，使，证明，和得到，，再根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵点是的内心，
∴，，
∵，
∴，
∴ ，
∴；
（2）解：如图2，延长至F，使，
∵点是的内心，，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
过D作于G，则，
在中，，则，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形的内心和外接圆，圆周角定理、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、圆内接四边形的两对角互补，熟练掌握相关知识的联系与运用，灵活添加辅助线构造全等三角形求解是解答的关键．
22．（1）△ABC是等边三角形，证明见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）如图所示，在PC取一点E使得AE=AP，先证明△APE是等边三角形，得到AP=PE，∠AEP=60°，可以推出∠AEC=∠APB，然后证明△APB≌△AEC得到BP=CE，即可证明PC=PE+CE=AP+BP．
【详解】解：（1）△ABC是等边三角形．证明如下：
由圆周角定理：∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°．
∴△ABC是等边三角形．
（2）如图所示，在PC取一点E使得AE=AP，
∵∠APE=60°，AP=AE，
∴△APE是等边三角形，
∴AP=PE，∠AEP=60°，
∴∠AEC=120°，
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠APB=120°，
∴∠AEC=∠APB，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
又∵∠ABP=∠ACE，
∴△APB≌△AEC（AAS），
∴BP=CE，
∴PC=PE+CE=AP+BP．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键是掌握圆周角定理，正确求出∠ABC=∠BAC=60°．
23．(1)
(2)① ②
【分析】（1）根据切线的性质可得，根据菱形的性质可得，等边对等角，所以，根据同弧所对圆周角是圆心角的2倍可知，所以，因为，所以，得到，因为，所以， ，所以．
（2）①连接BD，OB，BD与AC交于点F，由菱形的性质可得，，，在中由勾股定理得，设半径为，在中，由勾股定理列方程可解得；
②连接，在中， ，过点作，则，，在中， ，可解出，再由勾股定理，所以．
【详解】（1）解：连接
是的切线
四边形ABCD是菱形
四边形ABCD是菱形
（2）解：①连接BD，OB，BD与AC交于点F
四边形是菱形
，
在中
设，则
在中
解得：
的半径为
②连接
在中，
过点作，则
由①知：
在中
【点睛】本题考查了圆的综合知识，菱形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
24．(1)的度数是；
(2)阴影部分的面积是．
【分析】本题考查圆的切线性质，直角三角形性质等知识．
（1）由是半圆O的直径，是半圆O的切线，可得，即得，可得，从而，可得的度数；
（2），可得，，即得，再利用阴影部分的面积等于半圆减去即可解题．
【详解】（1）解：∵是半圆O的直径，
∴，
∵是半圆O的切线，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：的度数是；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，，
∴，
∴阴影部分的面积是-2=2π-2，
答：阴影部分的面积是．
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