人教九上：专题六 二次函数与实际问题（含解析）

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专题六 二次函数与实际问题
1．某商场以元/千克的价格购进一批产品进行销售，经过市场调查，日销售量（千克）是销售价格（元/千克）的一次函数，部分数据如表：
销售价格x（元/千克）
日销售量（千克）
(1)请求出与之间的函数表达式．
(2)求日销售利润为元时的销售价格．
(3)若商场每售出千克产品需另行支出元的人工费用，求商场日获利润的最大值．
2．某商家在购进一款产品时，由于运输成本及产品成本的提高，该产品第天的成本（元/件）与（天）之间的关系如图所示，并连续50天均以80元/件的价格出售，第天该产品的销售量（件）与（天）满足关系式．
(1)第5天，该商家获得的利润是________元；第40天，该商家获得的利润是________元；
(2)设第天该商家出售该产品的利润为元．
①求与之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在出售该产品的过程中，当天利润不低于1125元的共有________天？（直接填写结果）
3．任意球直接得分是足球比赛的重要得分手段之一，已知足球球门的高度是，某足球队员在球门正前方的A处练习踢任意球，防守队员组成的人墙站在离球门的处，人墙的最大防守高度可以达．把运行中的足球看作点，建立如图所示平面直角坐标系，发现运行过程中足球离地面的高度（单位：m）与足球离球门的水平距离（单位：m）满足函数关系式．

(1)若该队员踢出的任意球在运行过程中达到最大的高度为，
①求与的函数关系式；
②足球能否越过人墙的防守最高点直接射进球门内？请说明理由；
(2)若要确保踢出的任意球能直接射进球门内，请直接写出的取值范围．
4．如图，小明训练推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是．

(1)第一次推铅球时，铅球运行到水平距离为时，铅球行进的最大高度为 ，求铅球推出的水平距离；
(2)第二次推铅球时，推出的水平距离刚好与第一次相同，且 ，求推出铅球行进的最大高度；
(3)小明第三次推出的铅球运行路径的形状与第二次相同，推出的水平距离超过第一次，但不足10米，直接写出b的取值范围．
5．某商店经营某种小商品，该商品的进价为10元/件，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）之间满足一次函数．
(1)当每周销售利润为8元时，求这种商品的售价；
(2)若某周该商品的销售量不少于8件，求这周该商店销售这种商品获得的最大利润；
(3)若商品的进价每件提高m元（），为了加大销量，商店决定亏本销售，商店发现这种商品售价不超过进价的时，该商店每周销售这种商品的利润会随售价的增大而增大，请直接写出m的取值范围．
6．我市某企业安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲产品或1件乙产品．经测试，甲产品每件可获利15元，乙产品每件可获利120元，而实际生产中，生产乙产品需要额外支出一定的费用，经过核算，每生产1件乙产品，当天平均每件的生产成本增加2元（利润减少），设每天安排人生产乙产品．
(1)求每天生产甲产品可获得的利润（元）和乙产品可获得的利润（元）与之间的函数关系式；
(2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多1250元，求的值；
(3)设生产甲、乙两种产品的总利润为（元），求的最大值和相应的的值．
7．民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．
经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立平面直角坐标系如图1所示（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为，把锅盖纵断面所在的圆记作．

(1)直接写出抛物线解析式和弧所在的半径；
(2)锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度；
(3)如果将底面直径，高度为的圆柱形器皿若干个叠加起来组成一个新的圆柱形器皿（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形器皿多少个？（直接写出答案）
8．杭州亚运会羽毛球比赛项目中，中国队收获4金3银2铜共9枚奖牌，在一次羽毛球赛中，甲运动员在离地面1米的A点处发球，羽毛球的飞行路线为抛物线的一部分. 当球运动到最高点时，离甲运动员站立地点的水平距离为4米，其高度为米. 在离点水平距离5米处，放置一个高1.55米的球网，以点为原点建立如图所示的坐标系，回答下列问题.

(1)求抛物线的解析式（不要求写自变量的取值范围）
(2)试通过计算判断此球能否过网；
(3)乙运动员在球场上处接球（不能触网），乙原地起跳后使得球拍达到的最大高度为米，若乙因接球高度不够而失球，求的取值范围.
9．要修建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直安装一根水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之上下平移，水柱落地点A与点O在同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高时，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为．以O为原点，所在的直线为x轴，水管所在的直线为y轴，建立如图的直角坐标系．

(1)求水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式；
(2)求水柱落地点A到水池中心O的距离；
(3)若水池半径为，则喷头最大高度为____m才能使喷出的水流不至于落在池外．
10．某桥梁因交通事故导致拥堵．根据车流量监控统计，：时该桥梁上车辆共计辆，累计驶入车辆数(单位：辆)与累计驶出车辆数(单位：辆)随统计时间(单位：)变化的结果如表所示：
统计时间
累计驶入车辆数辆
累计驶出车辆数辆
在当前时段，我们可以把累计驶入车辆数与之间看作二次函数关系，把累计驶出车辆数与之间看作一次函数关系．
(1)直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)当桥梁上车辆累计到达辆时，将触发拥堵黄色预警．按照当前车流量计算，第几分钟将触发拥堵黄色预警？
(3)当桥梁上车辆累计到达辆时，将触发拥堵红色预警．从统计开始分钟时(即：时)，交通事故解除，驶出桥梁的车辆每增加辆．试计算拥堵红色预警是否会被触发？
11．某网店经营一种热销的小商品，若该商品的售价为每件元，第天（为正整数）的每件进价为元，与的对应关系如下（为所学过的一次函数或二次函数中的一种）：
第天 ……
每件进价（单位：元） ……
（1）直接写出与的函数关系式；
（2）统计发现该网店每天卖掉的件数，设该店每天的利润为元；
①求该店每天利润的最大值；
②若该店每卖一件小商品就捐元给某慈善组织，该店若想在第天获得最大利润，求的取值范围．
12．某网店销售一种儿童玩具，每件进价30元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于32元．试销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出500件，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10件，该网店决定提价销售．设销售单价为x元，每天销售量为y件．
(1)请直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)当销售单价是多少元时，网店每天获利8360元？
(3)网店决定每销件1件玩具，就捐赠a元（）给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为7280元，求a的值．
13．某公司销售一种商品，成本为每件20元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元） 40 60 80
日销售量y（件） 80 60 40
（1）求y与x的关系式；
（2）若物价部门规定每件商品的利润率不得超过100%，设日利润为w元，求公司销售该商品获得的最大日利润；
（3）若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，并且由于某种原因，该商品每件成本变成了之前的2倍，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求a的值．
14．如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度，H点是下边缘抛物线的最高点，下边缘喷水的最大射程，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为d（单位：m）．
(1)直接写出上、下边缘抛物线的函数解析式；（不写自变量的取值范围）
(2)此时，距喷水口水平距离为6.5米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到水？并写出你的判断过程；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d（米）的取值范围．
15．某公司投入20万元作为某种电子产品的研发费用，成功研制出后投入生产并进行销售．已知生产这种电子产品的成本为10元/件，公司规定该种电子产品每件的销售价格不低于22元，不高于32元．在销售过程中发现：销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图所示．设该公司销售这种电子产品的利润为S（万元）．
(1)求y（万件）与销售价格x（元/件）之间的函数关系式；
(2)求销售这种电子产品的利润的最大值（利润＝总售价﹣总成本﹣研发费用）；
(3)公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，求m的取值范围．
16．某商场购进一种每件成本为80元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：

(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？
(3)在试销过程中，受国家扶持，每销售一件新产品，国家补贴商场a元（），并要求包含补贴后每件的利润不高于36元，通过销售记录发现：每件补贴经费a元后，每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大，求出a的取值范围．
17．某商品每件进价为元，当每件售价为元，每天可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖5件．设每件涨价元，每天获利为元．
(1)直接写出与之间的函数关系式；
(2)每天获利是否可达到元，给出你的结论，并说明理由；
(3)某天购进件该商品，若先涨价销售部分商品，然后剩余的商品按每件元可当天售完，求当天获利的最大值．
18．某公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量件与时间天的关系如下表：
时间天 1 3 5 10 36
日销售量件 94 90 86 76 24
已知未来40天内，前20天该商品每天的价格元件与时间t的函数关系式为(，且t为整数)，后20天该商品每天的价格元件与时间t的函数关系式为(，且t为整数)．
求m与t之间的函数关系式；
未来40天内，后20天中哪一天的日销售利润最大最大日销售利润是多少．
在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品，就捐赠元给希望工程公司查阅销售记录发现，前20天中，扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围．
19．为了响应“乡村振兴”政策的号召，某农科所下乡为村民指导大棚种植．如图展示的是一个横截面为抛物线的大棚，有关尺寸如图所示．
如图1，已知大棚横截面最高点到地面的距离为2米，两端触地点、相距5米．
(1)以点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向构建平面直角坐标系，求此抛物线的解析式（不需要求自变量的取值范围）；
(2)一位身高米的菜农，若要在大棚内站直行走，求此菜农在横截面内横向活动范围为多少米；
(3)如图2，为了使大棚更牢固，在此横截面内从点起，沿地面每隔1米竖立一根钢杆连接到大棚外边缘上，则在此横截面内所有钢杆的长度和为_____米（直接写出答案即可）．
20．某公司计划购进一批原料加工为成品销售，加工费用（单位、万元），销售价（单位：万元/t）与原料的质量（单位：t）之间都满足一次函数关系．收集相关数据如下表．
原料的质量 12 15 18 27 30
加工费/万元 42.4 43 43.6 45.4 46
销售价/(万元/t) 16 15 14 11 10
(1)直接写出与之间、与之间的函数关系式；
(2)已知在加工过程中原料质量有40%的损耗率，该原料的进价为2.2万元/t．设销售总额为P（单位：万元）．
①直接写出与之间的函数关系式；（友情提示，销售总额＝成品的质量×销售价）
②问原料质量为多少吨时，获销售利润70.2万元？
③问原料质量为多少吨时，获最大销售利润，最大销售利润是多少万元？
21．疫情期间，某公司生产与销售口罩的总量（万只）在一年内（一年按12个月计算）的经营情况，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来生产与销售的口罩总量（万只）与时间（月）之间的关系，该图像经过原点，且有最低点．
(1)直接写出与的函数关系（不要写出自变量取值范围）；
(2)请你说明截止到几月末该公司就可使生产和销售的口罩总量为6万只？
(3)该公司计划一年内（一年按12个月计算）实现生产与销售口罩的总量为60（万只），是否可以完成？请你判断并说明理由．
22．如图，某校准备利用现成的一堵“L”字形的墙面（粗线表示墙面，已知，米，米）和总长为米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场（细线表示篱笆，小型农场中间也是用篱笆隔开），点D在线段上，设的长为x米．
(1)请用含x的代数式表示的长；
(2)若要求所围成的小型农场的面积为平方米，求的长；
(3)求小型农场的最大面积．
23．有一款自动热水壶，其工作方式是：常规模式下，热水壶自动加热到时，自动停止加热，随后转入冷却阶段，当水温降至时，热水壶又自动加热，______，重复上述过程；若在冷却过程中，按下“再沸腾”键，则马上开始加热，加热到后，又重复上述程序．
如图是常规模式下，冷却、加热过程中水温与时间x（min）之间的函数图象，其中AB段是抛物线的一部分（B是该抛物线的顶点），表示冷却过程；线段表示加热过程．

(1)直接写出抛物线段，线段分别对应的函数解析式；
(2)从开始冷却，其间按下“再沸腾”键，马上加热到．
①若按下“再沸腾”键时，水温是，求该冷却、加热过程一共所用时间；
②若该冷却、加热过程一共所用时间比常规模式缩短了22min，直接写出按下“再沸腾”键时的水温．
24．燃放烟花是一种常见的喜庆活动．如图，武汉数学小杰燃放一种手持烟花，这种烟花每隔2 s发射一枚花弹，每枚花弹的飞行路径视为同一条抛物线，飞行相同时间后发生爆炸，小杰发射出的第一枚花弹的飞行高度h（单位：m）随飞行时间（单位：s）变化的规律如下表：
飞行时间t/s 0 0.5 1 4.5 ……
飞行高度h/m 2 9.5 16 33.5 ……
(1)求第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)当第一枚花弹到达最高点时，求第二枚花弹到达的高度；
(3)为了安全，要求花弹爆炸时的高度不低于30m．小杰发现在第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度，请分析花弹的爆炸高度是否符合安全要求．
25．如图，小明在一次高尔夫球赛中，从山坡下点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线．如果不考虑空气阻力，当球打到最大竖直高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡与水平方向的夹角为，、A两点相距米．在如图所建立的平面直角坐标系下．
(1)直接写出点A的坐标；
(2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；
(3)直接判断小明这一杆能够把高尔夫球从点直接打入球洞A点．
26．小红和小琪在玩沙包游戏，某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表．小红站在点处，在点处将沙包（看作点）抛出，其运动的路线为抛物线（为常数，）的一部分，小琪恰在点处接住沙包，然后跳起在点处将沙包回传，其运动的路线为抛物线（为常数）的一部分．

(1)求，的值；
(2)若小红在与点的竖直距离不超过的范围内可以直接接到回传的沙包，当时，小红能否接住沙包？请说明理由．
(3)若小红可以接到回传的沙包的范围为与的水平距离不超过，与点的竖直距离不超过的矩形，请直接写出的取值范围．
27．如图1，一钢球P从斜面顶端A静止滚下，斜面与水平面的夹角为，斜面顶端到水平线的距离为．钢球P在斜面上滚动的路程是滚动时间t的二次函数，部分对应值如下表，钢球P在斜面上滚动的速度是时间的正比例函数，函数图像如图2所示．
0 0.5 1 1.5 …
0 1.25 5 11.25 …
(1)求关于t的函数解析式；
(2)求钢球P滚至底端B的速度；
(3)钢球P滚动至有阻力的水平线上时，滚动路程与时间的关系式为，指的是钢球P在点B的速度大小，T指的是从B开始滚动的时间．若在水平线上的点M处（M在B左侧）有另一钢球Q，当钢球P从A出发时钢球Q同时从M开始向右滚动，已知，且钢球Q滚动的平均速度为，请直接写出两球出发后______秒相撞．（忽略两球半径大小）
28．如图，某公园的一组同步喷泉由间隔等距的若干个一样的喷泉组成，呈抛物线形的水流从垂直于地面且高出湖面的喷头中向同一侧喷出，每个喷头喷出的水流可看作同样的抛物线．若记水柱上某一位置与喷头的水平距离为，喷出水流与湖面的垂直高度为．
下表中记录了一个喷头喷出水柱时与的几组数据：
0 1 2 3 4.5
1
(1)如图，以喷泉与湖面的交点为原点，建立如图平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；
(2)现有一个顶棚为矩形的单人皮划艇，顶棚每一处离湖面的距离为．顶棚刚好接触到水柱，求该皮划艇顶棚的宽度．
(3)现公园管理方准备通过只调节喷头露出湖面的高度，使得游船能从抛物线形水柱下方通过，为避免游客被喷泉淋湿，要求游船从抛物线形水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于，已知游船顶棚宽度为，顶棚到湖面的高度为，那么公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动多少才能符合要求？（直接写出结果）
参考答案
1．(1)
(2)日销售利润为元时的销售价格是或元
(3)公司日获利润的最大值是元
【分析】（1）设，根据表格数据待定系数法求解析式，即可求解；
（2）根据日销售利润为元，列出一元二次方程，解方程，即可求解；
（3）设日获利润为元，根据题意，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：设，则
解得：
∴
（2）解：依题意，
∴
∴
∴，
∴日销售利润为750元时的销售价格是15或25元．
（3）解：设日获利润为元，依题意得，
∴对称轴
∵
∴抛物线开口向下
∴当时，W有最大值
∴（元）
即公司日获利润的最大值是810元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式与方程是解题的关键．
2．(1)450，1000
(2)①，第30天利润最大，最大利润1200元； 8
【分析】（1）求出的解析式，即可；
（2）①先求出与之间的函数关系式，结合一次函数与二次函数的性质，即可求解；②利用每件利润乘以总销量等于总利润，进而求出二次函数最值即可．
【详解】（1）解：根据题意得：第5天，该商家获得的利润是元；
设的解析式为，
把代入得：
，解得：，
∴，
当时，，
即第40天时该产品的成本是60元/件，
利润为：元；
故答案为：450；1000
（2）解：①根据题意得：
化简得
当时，，
∵，
∴随增大而增大，
当时，，
当时，，
∵开口向下，
∴对称轴，
时，随增大而减小，
又为整数，
∴时，，
∵，
∴，此时，
即第30天利润最大，最大利润1200元，
②
当时，
又且为整数
∴或29或30
当时，
令
∴，
∴
又
∴且为整数，
∴或32或33或34或35
综上所述，第28，29，30，31，32，33，34，35天共计8天利润不低于1125元，
故答案为：8
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．根据每天的利润等于一件的利润乘以销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
3．(1)；足球能越过人墙的防守最高点直接射进球门内
(2)
【分析】（1）根据抛物线经过点和即可求出；把代入和比较即可；
（2）根据足球能直接射进球门和足球能越过人墙分别求出h的值即可．
【详解】（1）解：∵任意球在运行过程中达到最大的高度为，
∴，
由题意得：抛物线经过点，
∴，解得：，
∴，
解：由①得：，
当时，，
∴足球能越过人墙的防守最高点直接射进球门内；
（2）解：∵足球球门的高度是，抛物线经过点，
∴，得，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
∴的取值范围是；
【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，解不等式组等，解题的关键是理解构建的二次函数模型，学会用不等式解决实际问题．
4．(1)8m
(2)m
(3)
【分析】（1）运用待定系数法求出函数解析式，然后令，求出铅球推出的水平距离即可；
（2）运用待定系数法求出函数解析式，配方为顶点式写出最大值即可；
（3）把代入（2）中的解析式，求出b值，结合题意写出取值范围即可．
【详解】（1）解：设，
即，
∵，
∴，
∴，
令，则，
解得：，（舍去），
∴铅球推出的水平距离米；
（2）解：设抛物线的解析式为，把代入得：
，
解得：，
∴，
∴推出铅球行进的最大高度为米；
（3）解：抛物线的解析式为，
当过时，，
解得：，
∵推出的水平距离超过第一次，但不足10米，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的实际问题，运用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
5．(1)11元或14元
(2)8元
(3)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用：
（1）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出方程，即可求解；
（2）设每周销售的利润为W元，根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，结合二次函数的性质，即可求解；
（3）根据题意可得，设每周销售的利润为元，根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，再由该商店每周利润随售价的增大而增大，得到，再由销量，可得，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
解得：，
即这个商品的售价为11元或14元；
（2）解：设每周销售的利润为W元，根据题意得：
，
由题意得，
，
当时，，即最大利润为8元；
（3）解：
该商品的售价不超过进价的，
，
设每周销售的利润为元，根据题意得：，
抛物线的对称轴为直线：，
该商店每周利润随售价的增大而增大，
，
解得：，
销量，
，即，
，
，
又，
∴m的范围为．
6．(1)，
(2)
(3)当或23时，最大
【分析】本题主要考查了一元二次方程、二次函数的应用，问题的难点是第（1）问中，得出：每件乙商品的成本增加为：元，是解答本题的关键．
（1）根据题意题意直接列式即可作答；
（2）令，可得，解方程即可求解；
（3）根据题意有：，即（为整数），化为顶点式：，结合二次函数的性质，即可作答．
【详解】（1）解：∵设每天安排人生产乙产品，
∴每天安排人生产甲产品，
∵每人每天生产2件甲产品或1件乙产品，每生产1件乙产品，当天平均每件的生产成本增加2元（利润减少），
∴每人每天生产甲商品的利润为30元，每件乙商品的成本增加为：元，
∴，；
（2）解：由题意，令，
可得，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去）
∴．
（3）解：根据题意有：，
即（为整数），
化为顶点式：，
∴对称轴为，不为整数，
，开口向下，且离对称轴越近，越大，
当或23时，最大．
7．(1)抛物线为：；的半径
(2)
(3)6
【分析】本题考查了二次函数的应用以及垂径定理，需要求出抛物线的解析式和的半径，采用数形结合的思想解题．
（1）根据已知抛物线顶点为，且过，，根据已知抛物线顶点为，且过，，代入求出的值即可；借助图形由垂径定理求出弧所在的半径即可；
（2）根据题意把代入（1）中抛物线的解析式，求出即可；
（3）先在抛物线中求出时，的值，即的值，再借助图形在中，求出距轴的距离，即的值，再用，求出其整数值即可．
【详解】（1）解：根据已知抛物线顶点为，且过，，
设抛物线解析式为：，
将代入可得：，
解得：，
抛物线解析式为，
如图，圆心为，连接、，
，
设，则，
，
，
，
，
在中，由勾股定理可得：，
，
解得：，
的半径为；
（2）解：锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高，
水面距离锅沿的竖直高度为，
当时，，
解得：，
水面宽度为；
（3）解：对于抛物线，如图所示：
，
当时，，
；
对于，如图所示：
，
当时，，
，
，
，
，
，
，
为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的圆柱形器皿6个．
8．(1)
(2)能过网
(3)
【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
（1）设抛物线的解析式为，将代入得，，求出的值即可得到答案；
（2）在中，当时，，与1.55进行比较即可；
（3）令得，，解得，，结合以及乙运动员不能触网，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得：顶点坐标为，且经过点，
设抛物线的解析式为，
将代入得，，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：在中，当时，，
此球能过网
（3）解：令得，，
解得：，，
，开口向下，
当时，，
又乙运动员不能触网，
，
．
9．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用．
（1）根据题意设抛物线解析式为，把代入解析式求出a即可；
（2）令，解方程即可；
（3）根据题意在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，设柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式为，先代入解析式求出k的值，再令求出y即可．
【详解】（1）根据题意知，抛物线的顶点坐标为，
∴设抛物线解析式为，
把代入解析式得，，
解得，
∴水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式为；
（2）令，则，
解得（舍去），
∴，
∴，
∴水柱落地点A到水池中心O的距离为；
（3）由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
∴水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式为,
把代入解析式得：，
解得，
∴水柱高度y与距离池中心的水平距离x的函数表达式为，
当时，．
∴喷头最大高度为才能使喷出的水流不至于落在池外．
故答案为：．
10．(1)；；
(2)从第4分钟将触发拥堵黄色预警
(3)不会触发拥堵红色预警
【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用
（1）分别设出关于的函数解析式和关于的函数解析式，然后用待定系数法求解析式即可；
（2）根据桥梁上累计车流量数累计驶入车辆数累计驶出车辆数，列出方程，解方程即可；
（3）当，根据桥梁上累计车流量数累计驶入车辆数累计驶出车辆数列出函数解析式，由函数性质求最大值，再与比较即可．
【详解】（1）解：设关于的函数解析式为，
把，，代入解析式得：
，
解得，
关于的函数解析式为；
设关于的函数解析式为，
把，代入解析式得：，
解得，
关于的函数解析式为；
（2）当时，
即，
解得
从第分钟将触发拥堵黄色预警；
（3）设桥梁上车辆累计辆，
当时，，
，
，
当时，有最大值，最大值为，
，
不会触发拥堵红色预警．
11．（1）与的函数关系式为；（2）①当x=11时，该店每天利润的最大值512元；②．
【分析】（1）利用待定系数法代入x与y的对应值得，解方程组即可；
（2）①求出该店每天的利润函数配方得即可；
②该店每天的捐款后利润为，整理得=， 由-2＜0，函数图像的开口方向向下，由该店若想在第天获得最大利润，满足不等式组，整理得，解不等式组即可．
【详解】解：（1）∵每天进价差都是0.5常数不变，
∴此函数是一次函数，
设代入x与y的对应值得，
解得，
与的函数关系式为；
（2）①该店每天的利润为，
，
=，
=，
=，
当x=11时，该店每天利润的最大值512元；
②该店每天的利润为，
，
=，
=，
∵-2＜0，函数图像的开口方向向下，
∵该店若想在第天获得最大利润，
满足不等式组，
整理得
解得，
解得．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，二次函数最值的应用，掌握待定系数法求一次函数解析式，二次函数性质是解题关键．
12．(1)
(2)当销售单价是52元时，网店每天获利8360元
(3)
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）根据原销售件数减去减少的件数即为所求；
（2）根据销售利润等于单件利润乘以销售量列出方程，解方程确定x的值；
（3）根据单件利润减去捐赠数为最后单件利润，再根据销售利润等于单件利润乘以销售量列出函数解析式，再根据函数的性质以及最大利润为7280元列方程，求解即可．
【详解】（1）由题意可得，，
∵每件进价30元，规定单件销售利润不低于10元，且不高于32元，
∴自变量x的取值范围是，
∴y与x之间的函数关系式是；
（2）依题意得：
，
即：当销售单价是52元时，网店每天获利8360元；
（3）设利润为元，则：
对称轴为：
，
∵，
∴w随x的增大而增大
当时，，
，
13．（1）y＝－x＋120；（2）1600元；（3）a=70．
【分析】（1）设函数的表达式为y＝kx＋b，利用待定系数法解题；
（2）设公司销售该商品获得的最大日利润为w元，利用总利润=单利销售量列函数关系式，化为顶点解析式，根据二次函数的增减性解题即可；
（3）当w最大＝1500时，解得x的值，再由x的取值范围分两种情况讨论①a＜80或②a≥80时，根据二次函数的增减性解题即可．
【详解】（1）设函数的表达式为y＝kx＋b，
将（40，80）、（60，60）代入上式得：，解得
，
故y与x的关系式为y＝－x＋120；
（2）公司销售该商品获得的最大日利润为w元，
则w＝（x－20）y＝（x－20）（－x＋120）＝－（x－70）2＋2500，
∵x－20≥0，－x＋120≥0，x－20≤20×100%，
∴20≤x≤40，
∵－1＜0，故抛物线开口向下，故当x＜70时，w随x的增大而增大，
∴当x＝40（元）时，w的最大值为1600（元），
故公司销售该商品获得的最大日利润为1600元；
（3）
当w最大＝1500时，＝1500，解得x1＝70，x2＝90，
∵x－2×20≥0，∴x≥40，又∵x≤a，∴40≤x≤a．
∴有两种情况，①a＜80时，即40≤x≤a，
在对称轴左侧，w随x的增大而增大，
∴当x＝a＝70时，w最大＝1500，
②a≥80时，即40≤x≤a，
在40≤x≤a范围内w最大＝1600≠1500，
∴这种情况不成立，
综上所述，a＝70．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，涉及一次函数的应用、待定系数法解一次函数的解析式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14．(1)，
(2)不会，理由见解析
(3)
【分析】（1）由题意知，，，用待定系数法求解析式即可；
（2）将代入，解得，或（舍去），则，进行判断作答即可；
（3）将代入解得，或（舍去），当时，要使，则，进而可求，由下边缘抛物线可得，，然后作答即可．
【详解】（1）解：上边缘抛物线的顶点是，设上边缘抛物线的解析式是：，
把点代入得：，
解得：；
∴上边缘：；
下边缘抛物线的顶点是，设下边缘抛物线的解析式是：，
把点代入得：，
解得：，
∴下边缘：；
（2）解：令
解得：，
∴，
∴，
答：该行人不会被洒水车淋到水；
（3）解：将代入得，，整理得，，
解得，或（舍去），
∵当时，随的增大而减小，
∴当时，要使，则，
∴，
由下边缘抛物线可得，，
综上所述，．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数解析式，二次函数的平移．熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
15．(1)
(2)万元
(3)
【分析】（1）用待定系数法可得；
（2）由年利润总售价总成本研发费用可得，根据二次函数性质可得答案；
（3）依题意，记扣除捐赠后的利润为，则，则，开口向下，对称轴，结合题意，列式，即可作答．
本题考查一次函数、二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
【详解】（1）解：设（万件）与销售价格（元件）之间的函数关系式是，将，代入得：
，
解得，
；
（2）解：根据题意得：，
，
时，取最大值，最大值为，
答：，第一年年利润的最大值时万元；
（3）解：由（2）得出
依题意，记扣除捐赠后的利润为
则
∴，开口向下，对称轴
∵公司决定每销售1件该产品就捐赠m元给希望工程，通过销售记录发现，销售价格大于25元/件时，扣除捐赠后的利润随销售价格x（x为正整数）增大而减小，
∴
∴
16．(1)
(2)将售价定为100元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1000元
(3)
【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法可求出其解析式，再求出x的取值范围即可；
（2）根据利润（售价单价）销售量，由题意可求出的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得出答案；
（3）根据包含补贴后每件的利润不高于36元及该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大，即可得出关于a的不等式，解出a的解集即可得出答案．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由所给函数图象可知：，
解得：．
，
令，则，
解得：．
故y与x的函数关系式为；
（2）解：∵，
，
，
每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式为；
根据题意可得：
，
解得：，
，
，
∴当时，W有最大值，
且（元）．
答：将售价定为100元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1000元；
（3）解：根据题意可知：，
解得：，即售价不能高于元，
根据题意可得：，
∵该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大，
，
解得：，
∵，
．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数的实际应用根据题意找到等量关系，列出等式是解题关键．
17．(1)
(2)每天获利不可能达到元，理由见解析
(3) 元
【分析】（1）根据每天所得的销售利润=每件的销售利润×每天可卖出的件数列出解析式；
（2）由，再列方程利用判别式即可求解；
（3）由(1)知，涨价x元卖出件，则26元卖出 件，进而求解；
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：每天获利不可能达到元，理由：
由题意得：，即，
整理得：，
△，故方程无解，
即每天获利不可能达到元；
（3）解：由题意得：，
故当天获利的最大值为元．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用、一元二次方程的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
18．； 未来40天内，后20天中第21天的日销售利润最大，为513元；
【分析】（1）由题意可设m与t之间的函数关系式为，利用待定系数法进行代入计算求解即可得出m与t之间的函数关系式；
（2）根据题意设后20天的日销售利润为w元，由题意得出函数关系式并利用配方法进行分析即可得出最大日销售利润；
（3）根据题意设前20天中，扣除捐赠后的日销售利润为L元，得出含t的代数式进而利用求出a的取值范围．
【详解】解：由题可设m与t之间的函数关系式为，由题意，得
解得故m与t之间的函数关系式为；
设后20天的日销售利润为w元，
则有
当时，w随t的增大而减小
当时，w最大，为．
故未来40天内，后20天中第21天的日销售利润最大，为513元；
设前20天中，扣除捐赠后的日销售利润为L元，
则
要使当时，L随t的增大而增大，则，解得，
故a的取值范围为．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性以及注意最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式并同时注意自变量的取值范围是关键．
19．(1)
(2)米
(3)
【分析】（1）根据建立的坐标系，设抛物线的解析式为，根据抛物线过原点求出a的值即可；
（2）令（1）中解析式的解方程求x的值即可；
（3）根据函数的对称性，分别求出或和或时的函数值，再求和即可．
【详解】（1）解：如图所示：
设抛物线的解析式为，
由题意，得，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：当时，．
解得：，，
，
他在不弯腰的情况下在大棚里活动的范围是米；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，
当或时，，
当或时，，
所有钢杆的长度和为（米，
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．
20．(1)，．
(2)①．
②原料质量为19吨或29吨．
③当时，万元．
【分析】（1）根据题意和表中数据建立一次函数模型，然后分别代入两组数值，即可求出关系式；
（2）①根据：销售总额＝成品的质量×销售价列出函数关系式即可；
②根据总利润=销售总额-总成本-加工费，即可列出关于总利润的函数关系式，然后代入70.2求出x即可；
③根据总利润的函数关系式，利用顶点坐标即可求出最大销售利润及此时的原料质量．
【详解】（1）∵加工费用（单位、万元），销售价（单位：万元/t）与原料的质量（单位：t）之间都满足一次函数关系，
∴可以设，，
再分别选取两组值代入，列出方程组：
，
∴，
∴，
同理，有：
，
∴，
∴．
（2）①．
②∵，
令，则，解得：，，
∴原料质量为19吨或29吨．
③∵，，开口向下，对称轴是直线，
∴当时，万元．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的实际应用，属于利润问题，正确理解题意并根据题意和所给数据列出相应的函数关系式是解题关键．
21．(1)；
(2)截止到6月末该公司就可使生产和销售的口罩总量为6万只；
(3)任务不能完成，理由见解析．
【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令，即，求解即可；
（3）当时，得到，所以任务不能完成．
【详解】（1）解：设二次函数的表达式为，
则由题意可知：
将代入上式得：，
解得，
故函数的表达式为；
（2）解：令，即，
解得，（不符合题意，舍去），
即截止到6月末该公司就可使生产和销售的口罩总量为6万只；
（3）解：∵，顶点坐标为，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴时，取得最大值，
当时，
故实现生产与销售口罩的总量为60（万只）的任务不能完成．
【点睛】本题考查的是二次函数的应用，利用待定系数法求函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．(1)
(2)的长为米
(3)12平方米
【分析】此题主要考查的是二次函数的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键.
（1）根据题意结合图形即可求解；
（2）根据矩形的面积公式列方程求解即可；
（3）设小型农场的面积为，求出关于的长的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答.
【详解】（1）∵点在线段上，
米，
（2）解：∵点在线段上，
，即，
；
∵的面积为平方米，
∴，
解得（舍去），，
∴的长为米；
（3）解：设小型农场的面积为，
则，
∵
∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴当时，最大，最大为12平方米．
23．(1)；
(2)①该过程中一共用时；②按下“再沸腾”键时的水温是．
【分析】此题主要考查二次函数的应用．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①令，求得两函数的自变量的值，分别计算冷却和加热的时间，据此计算即可求解；②设在冷却到a分钟时按下“再沸腾”键，根据题意得，解方程即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线段的解析式为：，
将代入，得，
解得，
∴抛物线段的解析式为：，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴；
（2）解：①令，则，
解得：（不合题意，舍去），
同理令，则，
解得：，
冷却所用时间：，
加热所用时间：，
∴该冷却、加热过程一共所用时间为．
②设在冷却到a分钟时按下“再沸腾”键，
由题意得，
解得：或（不合题意，舍去），
将代入得，
∴按下“再沸腾”键时的水温是．
24．(1)
(2)26m
(3)符合安全要求
【分析】（1）根据待定系数法求出函数解析式．
（2）求出自变量范围内函数的最大值即可．
（3）直接将时间代入函数解析式求解即可．
【详解】（1）设，代入三个点
，解得
第一枚花弹的飞行高度h与飞行时间t的函数解析式为
（2）由（1）可知h与飞行时间t的函数解析式为
当时，
烟花每隔2 s发射一枚花弹
第二枚花弹发射了2 s
当时，
答：当第一枚花弹到达最高点时，第二枚花弹到达26m．
（3）第一枚花弹爆炸的同时，第二枚花弹与它处于同一高度
当相等时即可，
即
解得，则
答：花弹的爆炸高度符合安全要求．
【点睛】此题考查二次函数的实际应用，解题关键是将最高点的高度转化为二次函数的最大值进行求解．
25．(1)
(2)
(3)小明这一杆不能够把高尔夫球从点直接打入球洞A点
【分析】（1）由直角三角形的性质可求得、的长度，则写出点A的坐标；
（2）已知顶点坐标，设抛物线解析式为，由于抛物线过原点，即可求得a的值，从而求得解析式；
（3）判断点A是否在抛物线上即可．
【详解】（1）解：在中，，米，
则米，由勾股定理得：（米），
所以点A的坐标为；
（2）解：由题意知，抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
由题意知，抛物线过原点，则有，
∴，
球的飞行路线所在抛物线的解析式为；
（3）解：当时，
所以小明这一杆不能够把高尔夫球从点直接打入球洞A点．
【点睛】本题是二次函数的应用，考查了待定系数法求二次函数的解析式，求点的坐标，二次函数图象上点的坐标特征．
26．(1)，
(2)小红不能接住沙包，详见解析
(3)
【分析】本题考查二次函数的实际应用．
（1）将点代入，求出的值，令，求出的值，即为的值；
（2）把代入，求出值，根据题意，进行判断即可；
（3）根据题意得到小红能接到红包的最低点为：，最高点为，分别求出此时的值，即可得出结果．
读懂题意，正确的计算，是解题的关键．
【详解】（1）解：把点代入，得：，
解得：，
∴，
当时，，即：；
（2）小红不能接到沙包；理由如下：
∵小红在与点的竖直距离不超过的范围内可以直接接到回传的沙包，
∴，
∴；
当时：，
∵，
∴小红不能接到沙包；
（3）∵小红可以接到回传的沙包的范围为与的水平距离不超过，与点的竖直距离不超过的矩形，
∴，，即：，，
由题意，得：小红能接到红包的最低点为：，最高点为，
当经过时：，解得：；
当经过时：，解得：；
∴的范围为：．
27．(1)
(2)
(3)5
【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的性质，正比例函数等知识点．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
（1）依题可设，代入表格数据，，得，待定系数法求解即可；
（2）由题意得出，代入（1）中得，求出正比例函数的解析式为，将代入求出速度即可．
（3）根据题意列出一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：（1）依题可设，代入表格数据，，得：
，
解得：，
∴；
（2）解：∵，．
∴，
将代入解析式可得：，
∵，
∴，
设正比例函数的解析式为代入坐标得：，
∴，
当时，．
答：钢球P滚动到底端B时的速度为；
（3）解：由（2）得，钢球P滚至底端B的时间为2秒，
此时钢球Q滚动的路程，
设钢球P从底端B滚动时间t秒后相撞，由题意得：
，
，
解得或（舍去），
∴两球出发后相撞的时间为（秒），
故答案为5．
28．(1)
(2)
(3)公园应将水管高度至少向上调节米才能符合要求．
【分析】本题主要考查了运用待定函数求函数解析式、二次函数图像的平移、二次函数的应用等知识点，将实际问题转化成二次函数问题是解题的关键．
（1）在表格中取三组数据，然后运用待定系数法解答即可；
（2）令，求得对应x的值，然后确定两个x之间的距离即可解答；
（3）设出二次函数图像平移后的解析式，根据题意列出不等式求解即．
【详解】（1）解：由表格可知：函数图像经过点，
设函数解析式为：，
则有：，解得：，
所以函数解析式为：．
（2）解：令，则有，解得：，
所以该皮划艇顶棚的宽度为．
（3）解：设公园应将喷头（喷头忽略不计）至少向上移动才能符合要求，则调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为：，
由题意可知，当横坐标为时，纵坐标的值不小于，
∴，解得：，
∴水管高度至少向上调节米，
∴公园应将水管高度至少向上调节米才能符合要求．
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