人教九上：专题三 韦达定理的应用（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
专题三 韦达定理的应用
1．设、是关于的方程的两个实数根，求代数式的值．
2．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值；
(2)若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值．
3．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，．
(1)求的取值范围；
(2)若，满足，求实数的值．
4．已知关于的方程．有一个实数根是，求此方程的另一个根以及的值．
5．关于的一元二次方程，若方程的一个根，求的值和方程的另一个根．
6．若关于x的一元二次方程有一个根是x=1，求b的值及方程的另一个根．
7．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)当时，求方程的根．
8．已知是关于x的一元二次方程．的两个不相等的实数根．
(1)求c的取值范围；
(2)若，直接写出c的值；
(3)若，直接写出c的值．
9．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
10．已知3，t是方程的两个实数根，求m及t的值．
11．若关于x的一元二次方程有一个根是，求b的值及方程的另一个根．
12．已知关于x的一元二次方程的其中一个根为3．求m的值及方程的另一个根．
13．关于x的一元二次方程有一个根是，求m的值及方程的另一个根．
14．已知关于的方程的一个根为3，求k的值及它的另一个根．
15．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及此方程的根．
16．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围：
(2)当时，求方程的根．
17．已知：关于的方程有一个根是，求另一个根及的值．
18．已知是一元二次方程的一个根，求的值及方程另一个根．
参考答案
1．
【分析】利用根与系数的关系求出，，然后根据分式的加减对原式进行变形，整体代入计算即可求出答案．
【详解】解：∵、是关于x的方程的两个实数根，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，分式的加减，解题关键是熟练掌握一元二次方程的根、与系数的关系：，．
2．(1)见解析；
(2)或．
【分析】（）先通过因式分解解方程，从而可得到两个因式的积为，从而可求解；
（）由（）求出方程的两个根为，，，然后分两种情况讨论即可；
本题主要考查一元二次方程解法，勾股定理，分类思想，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法及其应用．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，，
∴无论为何值，此方程总有一个根是定值；
（2）分两种情况：
当为直角边时，则，得，
又∵边长，
∴，
当为斜边时，则，得，
又∵边长，
∴，
综上所述，的值为或．
3．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，若是该方程的两个实数根，则．
（1）根据题意可得，据此可得答案；
（2）根据根与系数的关系得到，，再由已知条件和完全平方公式的变形得到，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴，
∴，
；
（2）解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴，，
∵，
∴
∴，
，
∴，
∴
解得：，（舍去）
∴．
4．；．
【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，代入可求出的值，再利用两根之和等于，即可求出方程的另一个根，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．
【详解】解：当时，原方程为，
解得：，
设方程的另一个实数根为，
∵，
∴，
∴方程的另一个根为，的值为．
5．，
【分析】利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，由一个根为2，求出另一根，进而确定出k的值．
【详解】设另一根为x2，
∴2+x2=6，2x2=k，
则x2=4，k=8，
则k的值为8，方程的另一个根x2为4．
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
6．b的值为3，方程另一根为x=2．
【分析】将x=1代入方程x2﹣bx+2=0得到b的值，再根据根与系数的关系求出另一根．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣bx+2=0有一个根是x=1，
∴1﹣b+2=0，
解得：b=3，
把b=3代入方程得：x2﹣3x+2=0，
设另一根为m，可得1+m=3，
解得：m=2，
则b的值为3，方程另一根为x=2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，记牢公式并灵活运用是解题关键．
7．(1)
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程及根的判别式，
（1）根据“方程有两个不相等的实数根”，得到判别式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可；
（2）当时，方程为，得到一个一元二次方程，应用因式分解法解之即可．
【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
（2）当时，方程为，
，
解得，．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及一元二次方程的解．
（1）根据方程的系数，结合根的判别式，可得出关于c的一元一次不等式，解之即可得出c的取值范围；
（2）利用根与系数的关系，可得出，结合，即可得出c的值；
（3）代入，即可求出c的值．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴c的取值范围是；
（2）解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：将代入原方程得，
解得：，
∴若，则c的值为．
9．，
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解法，根据当时，方程有两个相等的实数根求得m值，进而解一元二次方程即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，则，
∴，
解得．
10．，
【分析】利用根与系数的关系，建立二元一次方程组进行求解．
【详解】解：3，t是方程的两个实数根，
，，
，
，
解得：，
，
答：，．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，二元一次方程组，解题的关键是能利用根与系数的关系建立二元一次方程组．
11．，方程的另一个根为
【分析】本题考查了一元二次方程的根及解一元二次方程．将代入求得b的值，然后解方程组即可．
【详解】∵是方程有一个根，
∴，
∴
当时，原方程为，
解得，．
∴，方程的另一个根为．
12．，另一个根为4
【分析】把代入方程求出m的值，然后解方程求出另一个根即可．
【详解】解：把代入，得
，
解得，
把代入原方程得，
∴，
∴，
即方程的另一个根为4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键．
13．m的值为，另一根为
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握的两根为，，则有，是解题的关键．
【详解】解：设另一根为a，
则，
解得：，
∴m的值为，另一根为．
14．，另一根为
【分析】由于一根为3，把代入方程即可求得的值．然后根据两根之积即可求得另一根．
【详解】解：方程的一个根为3，
，
解得，
设另一根为，
，
，
∴另一根为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，解题时可利用根与系数的关系使问题简化，难度不大．
15．，
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用以及解一元一次方程，根据时，方程有两个相等的两个实数根列出方程，解方程求出m，利用因式分解法解方程求出方程的根．
【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得，，
∴方程为，
∴
解得：．
16．(1)
(2)，
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及解一元二次方程，对于一元二次方程，判别式时方程有两个不相等的实数根；时方程有两个相等的实数根；时方程没有实数根；熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系及解一元二次方程的方法是解题关键．
（1）根据方程有两个不相等的实数根可得判别式，列不等式求出的取值范围即可；
（2）把代入，利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
，
解得：．
的取值范围为．
（2）当时，原方程为，
，
∴或，
解得：，
17．方程的另一根为，的值为
【分析】根据根与系数的关系：，即可得出答案．
【详解】解：设方程的另一根为，
则由韦达定理知：，
，
方程的另一根为，的值为．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，掌握，是解题的关键．
18．的值是，另一个根是
【分析】本题考查了根与系数的关系，将一根代入原方程，转化为关于m的方程，解出m的值,再根据根与系数的关系求出另一根．由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值，然后根据根与系数的关系可以求出方程的另一根．
【详解】解：∵是方程的根，
∴，
∴，
设另一个根为，则，
∴，
∴的值是，另一个根是．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)