人教九上：专题七 中心对称相关概念及必考题型过关（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教九上：专题七 中心对称相关概念及必考题型过关（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 6.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-09-02 22:14:03 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
专题七 中心对称相关概念及必考题型过关
一、单选题
1．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在正方形网格中，点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（4，3），线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合（C、D均为格点），若点A的对应点是点C，则它的旋转中心的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（3，1） D．（5，4）
3．如图，四边形是的内接四边形，，将绕点旋转至，则下列说法不正确的是（ ）
A．平分
B．点A，，在同一条直线上
C．若，则
D．若，则
4．如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运动项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，边在y轴正半轴上，点A在第一象限内，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转后，点A所对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A．30° B．90° C．120° D．180°
8．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则C、D两点的坐标分别为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，顶点，，．将与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，在同一平面内，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，连接BB1，若BB1∥AC1，则∠CAC1的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
12．如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到. 点C的对应点为点D，恰好落在上，平分，则（ ）
A． B． C． D．
13．2023年9月23日晚，第19届亚运会开幕式在杭州市隆重举行．下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
14．如图，在的方格纸中，格点（三个顶点都是格点的三角形）经过旋转后得到格点，则其旋转中心是（ ）
A．格点M B．格点N C．格点P D．格点Q
15．搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
16．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
17．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
18．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
19．如图，中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（ ）
A． B． C． D．
20．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
21．如图，将绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
22．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
23．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．有害垃圾 B．可回收物
C．厨余垃圾 D．其它垃圾
24．如图，将绕点B顺时针旋转角度得到，边分别交交于M，N，若，，则角的度数是（ ）
A． B． C． D．
25．下列食品图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
26．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转一个角度得到．若点恰好落在边上，且，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
27．2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
28．如图所示，△ABC中，∠BAC＝65°，将△ABC绕着A点逆时针旋转得到△ADE，连接EC，若，则∠CAD的度数为( )
A．15° B．25° C．35° D．40°
29．把“武汉加油”的首字母看成图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
30．将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
31．如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
32．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
33．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（ ）
A．45 B．60 C．90 D．120
34．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
35．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
36．神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，下列航天图标是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
37．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
38．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
39．如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（ ）
A． B． C． D．
40．下列垃圾分类标识的图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
41．下列图形中，为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
42．如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（ ）
①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4．
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
43．下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
44．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
45．在平面直角坐标系中，点与点 关于原点O对称．
46．如图，中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于________.
47．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，连结，则的周长为 ．
48．如图，在中，，，为边上一点，将绕点顺时针旋转得到，连接，则长度的最小值为 ．
49．如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后得到，则等于 ．
50．若点与点关于原点对称，则的值为 ．
51．如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边AB上，连接，则 ．
52．在平面直角坐标系中，将点绕点O逆时针旋转，得到点，则点的坐标为 ．
53．已知和关于原点对称，则 ．
54．已知点与点关于原点对称，则 ．
55．如图，一条笔直铁路和一条笔直公路在点处交汇，，在点处有一栋居民楼，米，已知火车行驶时，周围200米以内都会受到噪声的影响，若火车在铁路上沿方向以每秒20米的速度行驶，那么居民楼受噪声影响的时间为 秒．（不考虑火车长度，结果保留小数点后一位，参考数据：，
56．如图，中，，将其绕点旋转得到，使点落在边上，若，则的度数为 ．
57．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点的坐标为 ．
58．如图，是等腰内一点，是斜边．如果将绕点按逆时针方向旋转到的位置，点与点是对应点，则的度数为 ．
59．如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转得到，交于点F，则 ．
60．如图，边长为的正方形绕点C顺时针旋转后得到正方形， 交于点H，则的长是 ．
三、解答题
61．如图，在等边中，D在边上，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，直接写出的周长．
62．如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，交于点．
(1)求证：；
(2)连接交于，已知，，求的长．
63．如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数．
64．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，求的度数．
65．如图，将绕点旋转至，点在边上．已知，求的度数．
66．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使得点D落在线段AC上．若AC＝BC，求证：BE∥AC．
67．在如图所示的网格中按要求画出图形；
(1)画出以点O为旋转中心顺时针旋转后的
(2)画出关于点O的中心对称图形．
68．如图，在中，，在同一平面内，将绕点C顺时针旋转至的位置，，且．
(1)________．
(2)求旋转角的大小．
69．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)把绕点顺时针旋转之后得到，请你画出，并直接写出各点坐标为 、 、 ；
(2)画出的外接圆，求出点坐标为 ，并求出的半径 ．
70．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，．
(1)判断的形状；
(2)求证：平分．
71．如图，中，，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接、相交于点．求证：．
72．如图，在中，，，以直角顶点C为旋转中心，将旋转到的位置，其中，分别是A，B的对应点，且点B在斜边上，直角边交AB于D，求的度数．
73．如图，四边形是正方形，，分别是和的延长线上的点，且，连接，，．
(1)可以看作是经过平移、轴对称或旋转中的一种变换得到，请写出得到的变换过程；
(2)已知，，直接写出四边形的面积为________．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C D B C C D B A
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 B D D D C C B D C C
题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 B C A B A C C A B D
题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
答案 C A D B D B D B D A
题号 41 42 43 44
答案 B B C D
1．D
【分析】根据轴中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故A错误；
B．不是中心对称图形，故B错误；
C．不是中心对称图形，故C错误；
D．是中心对称图形，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．B
【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：平面直角坐标系如图所示，作AC、BD的垂直平分线交于点E，旋转中心是E点，E（2，1）．
故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
3．C
【分析】根据圆周角、弦、弧之间的关系即可判断选项A选项；根据旋转的性质和圆内接四边形的性质即可判断B选项；先求出，由旋转可知，，进一步得到，，作于点H，则，则，进一步得到，则，即可判断C选项；在截取，连接，证明是等边三角形，得到，由四边形是的内接四边形即可得，即可判断D选项．
【详解】解：A．∵，
∴，
∴，
∴平分，
故选项正确，不符合题意；
B． ∵将绕点旋转至，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴点A，，在同一条直线上；
故选项正确，不符合题意；
C．∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由旋转可知，，
∴，，
∴，，
作于点H，则，
∴，
∴，
∴，
故选项错误，符合题意；
D．在截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴,
故选项正确，
故选：C
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质和添加适当的辅助线是解答此题的关键．
4．D
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质；根据旋转的性质可得：，，从而利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，即可解答．
【详解】由旋转得：，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
5．B
【分析】根据“根据沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的平面图形叫做轴对称图形；绕某一点旋转，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形”进行判断即可．
【详解】解：A. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故不符合题意；
B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
6．C
【分析】观察图象可得，点A旋转8次为一个循环，从而可得点与点的坐标相同，即可求解．
【详解】解：如图，点A旋转8次为一个循环，
∵，
∴点与点的坐标相同，
∴点的坐标为，
故选：C．
7．C
【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．
【详解】解：∵360°÷3=120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．
【详解】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了菱形的性质和关于原点对称，由菱形的性质可知点和点关于原点对称，、关于原点对称，结合条件可求得点，点的坐标．
【详解】解：四边形为菱形，
，，
又点为坐标原点，
点和点关于原点对称，点和点关于原点对称，
点A的坐标为，点B的坐标为，
点坐标为，点坐标为．
故选：B．
10．A
【分析】先求出的值，再利用正方形的性质确定点坐标，由于，所以第2020次旋转结束时，正方形回到初始位置，再继续旋转3次即可确定结果．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵每次旋转，
∴4次为一个循环，
∵，
∴第2023次旋转结束时与第3次旋转后的落点相同，
∴点的坐标为．
故选：A．
11．B
【分析】根据旋转的性质，得到∠C1AB1＝∠CAB＝100°，AB1＝AB，∠CAC1＝∠BAB1，根据平行线的性质得到∠C1AB1+AB1B＝180°，然后由等腰三角形的性质，即可得到结论.
【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，
∴∠C1AB1＝∠CAB＝100°，AB1＝AB，∠CAC1＝∠BAB1，
∵BB1∥AC1，
∴∠C1AB1+AB1B＝180°，
∴∠AB1B＝80°，
∵AB＝AB1，
∴∠ABB1＝∠AB1B＝80°，
∴∠BAB1＝20°，
∴∠CAC1＝20°，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
12．D
【分析】根据旋转的性质得出，，根据角平分线的性质得出，证明，设，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等要三角的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
13．D
【分析】本题考查的是中心对称图形，根据中心对称图形的概念“把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”进行判断即可．
【详解】解：、不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故不符合题意；
、能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故符合题意．
故选：．
14．D
【分析】本题考查找旋转中心，根据旋转的性质，旋转中心为对应点连线的中垂线上，连接，两条线段的中垂线的交点即为旋转中心．掌握旋转的性质，是解题的关键．
【详解】解：如图，由图可知，点即为旋转中心；
故选D．
15．C
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、是中心对称图形，此选项符合题意；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
故答案为：．
【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是如何判断中心对称图形，旋转度后与原图重合．
16．C
【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案．
【详解】解：设=x°.
根据旋转的性质，得∠C=∠= x°，=AC, =AB.
∴∠=∠B.
∵，∴∠C=∠CA=x°.
∴∠=∠C+∠CA=2x°.
∴∠B=2x°.
∵∠C+∠B+∠CAB=180°，，
∴x+2x+108=180.
解得x=24.
∴的度数为24°.
故选：C.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质.
17．B
【分析】利用中心对称图形的定义直接判断．
【详解】解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B选项的图形绕着某点旋转180°后能与原来的图形重合，
故选B．
【点睛】本题考查中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
18．D
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：根据中心对称图形的定义，选项A、B、C，找不到一个点，使得图像绕这一点旋转后，与原来图形重合，不符合题意；D图形绕对角线的交点旋转后，与原来图形重合，为中心对称图形，符合题意
故选D
【点睛】本题考查了中心对称图形即图形绕某点旋转后与原来图形重合，熟练掌握定义是解题的关键．
19．C
【分析】根据平行线的性质得到，根据旋转变换的性质计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
由旋转的性质可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是旋转变换，掌握平行线的性质、旋转变换的性质是解题的关键．
20．C
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义即可判断．
【详解】解：A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关概念是解题关键．
21．B
【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据旋转的性质可得，，，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得，进而可求解，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：由旋转的性质得：
，，，
，
，
，
，
，
故选B．
22．C
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．据此分析判断即可得解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
23．A
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
24．B
【分析】连接．想办法证明，再根据，利用三角形内角和定理，构建方程求出α即可．
【详解】解：连接．
∵，
∴A，B，M，D四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转变换，等腰三角形的性质，四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．A
【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【详解】根据中心对称图形定义
即寻找对称中心，旋转后与原图重合
得A符合题意，B、C、D均不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
26．C
【分析】根据旋转的性质得出，，根据得出，根据三角形内角和定理得出，根据三角形外角的性质得出，设，则，根据平角的定义，列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图，设与交于点，
将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等角，掌握以上性质定理是解题的关键．
27．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误；
B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误；
C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
28．A
【分析】由旋转的性质可得AC= AE，∠EAD=∠CAB= 65°，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠AEC=∠ACE= 65°，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC绕着A点逆时针旋转得到△ADE，
∴ AC= AE，∠EAD=∠CAB= 65°，
∴∠AEC=∠ACE，
∵ EC∥AB，
∴∠ECA=∠CAB = 65°，
∴∠AEC=∠ACE = 65°，
∴∠EAC =180°－2×65°= 50°，
∴∠CAD=∠CAB－∠CAE= 15°；
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
29．B
【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．解题的关键是寻找轴对称图形的对称轴，使图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
30．D
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐项判定即可．
【详解】
解：根据中心对称图形定义，可知符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图形，掌握中心对称图形定义，能根据定义判定图形是否是中心对称图形是解决问题的关键．
31．C
【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．
【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，
∴AB=AC，AM=AN，
∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠ACN=∠B，
而∠CAB不一定等于∠B，
∴∠ACN不一定等于∠CAB，
∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，
∴∠BAC=∠MAN，
∵AM=AN，AB=AC，
∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，
∴∠B=∠AMN，
∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；
∵AM=AN，
而AC不一定平分∠MAN，
∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键．
32．A
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键；
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解；
【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，但不轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
33．D
【分析】该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，
故n的最小值为120．
故选：D．
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
34．B
【分析】中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念．要注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
35．D
【分析】由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即A选项错误；由旋转可知，由于，即推出，即B选项错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即C选项错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明
，即D选项正确；
【详解】由旋转可知，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴，
∵，
∴，故A选项错误，不符合题意；
由旋转可知，
∵为钝角，
∴，
∴，故B选项错误，不符合题意；
∵，
∴，故C选项错误，不符合题意；
由旋转可知，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∴，
∴，故D选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
36．B
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，据此进行逐项分析，即可作答．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、 不是中心对称图形，故该选项是错误的；
B、 是中心对称图形，故该选项是正确的；
C、 不是中心对称图形，故该选项是错误的；
D、 不是中心对称图形，故该选项是错误的；
故选：B．
37．D
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐一判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
38．B
【分析】根据中心对称图形逐项分析即可，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、.不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
39．D
【分析】先根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，最后三角形内角和定理得出，即可得出答案．
【详解】解：∵绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；解题的关键是熟练掌握等边对等角．
40．A
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
41．B
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．
42．B
【分析】如图，连接AC，由△ABD是等边三角形得AB=AD，从而得点A、CD都在线段BD的垂直平分线上，即可判断①正确，由平行线的性质可得∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，即可判断②正确，三角形的外角性质得∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，从而判断③错误，先找到CE=AE，又由△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，得AD=AB=8，EF=DE=2，从而有CF=CE-EF=4，即可判断④正确．
【详解】解：如图，连接AC，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，∠ABD=∠DAB=∠EDF=60°，
∵，
∴点A、C都在线段BD的垂直平分线上，
∴连接AC，则AC垂直平分线段BD，故①正确，
∵，
∴∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，
∴△DEF是等边三角形，故②正确，
∵BC=BD，，
∴∠CDB=∠CBD=40°，
∵∠DFE=60°，
∴∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，故③错误，
∵AC垂直平分BD，AB=AD，∠BAD=60°，
∴∠CAB=∠CAD=30°，
∵AB//CE，
∴∠ACE=∠CAB=∠CAD，
∴CE=AE，
∵△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，
∴AD=AB=8，EF=DE=2，
∴CF=CE-EF=AE-EF=AD-DE-EF=8-2-2=4，故④正确，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．
43．C
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形是沿着某条直线对折，图形两部分能够完全重合的图形，中心对称图形是绕某点，旋转180度后与自身重合的图形．
44．D
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．解题的关键是理解中心对称图形与轴对称图形的概念，据此解答即可．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
45．
【分析】关于原点对称的两点：横坐标与纵坐标分别互为相反数，由此特征即可求得．
【详解】解：点与点关于原点O对称．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中关于原点对称的两点的坐标特征，掌握“关于原点对称的两点：横坐标与纵坐标分别互为相反数”这一特征是关键．
46．/40度
【分析】先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，即可得的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵将绕点A旋转到的位置，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
47．/
【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理得到，，．再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，从而得到为等边三角形，可得到，，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，为等边三角形，
∴，，
∴的周长为．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．
48．
【分析】此题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，在上截取，证明，得，当时，最小，再利用等腰直角三角形的性质即可得出答案，正确掌握旋转的性质及全等三角形的判定是解题的关键．
【详解】在上截取，
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∵，，
∴，
∴
∴
∴
∴，
∵为边上一点，
∴时，最小，
∵，
∴
∴
∴长度的最小值为，
故答案为．
49．/度
【分析】根据旋转角可得，然后根据代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：绕着点顺时针旋转后得到，
，
，
．
故答案是：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是运用旋转的性质（图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等）得出．
50．
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质和乘方运算，直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，即可得出答案．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
则．
故答案为：．
51．
【分析】根据旋转的性质可得AB= AB'，∠BAB'=44°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ABB'，再利用直角三角形两锐角互余，列式计算即可求出答案．
【详解】解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°得到Rt△AB'C'，
∴AB= AB'，∠BAB'=44°，
∴△ABB'是等腰三角形，
∴∠ABB'=（180°-∠BAB'）=（180°-44°）=68°，
∵∠AC'B'=∠C=90°，
∴B'C'⊥AB，
∴∠BB'C'=90°-∠ABB'=90°-68°=22°．
故答案为22°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，比较简单，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状和大小得到等腰三角形是解题的关键．
52．
【分析】本题考查了勾股定理，正切，旋转的性质．熟练掌握勾股定理，正切，旋转的性质是解题的关键．
如图，过作轴于，由，可得，由旋转的性质可知，，，则，在轴的负半轴上，然后作答即可．
【详解】解：如图，过作轴于，
∵，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质可知，，，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
53．1
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，进而得出答案．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．
【详解】解：和关于原点对称，
，，
则．
故答案为：1．
54．4
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，求出的值，再进行计算即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与中心对称．解题的关键是掌握关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
55．
【分析】如图，过点作于，以点为圆心，以200米为半径画圆，则交于点，设另一个交点为，连接，再求解，从而可得答案．
【详解】解：如图，过点作于，以点为圆心，以200米为半径画圆，则交于点，设另一个交点为，连接，
当火车行驶到点时，开始影响居民楼，当驶离点时，结束影响居民楼，
米，，
（米，
，
（米，
影响所持续的时间为（秒，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，作出辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
56．/度
【分析】由旋转的性质可得，；根据等边对等角可求得；
【详解】解：由旋转的性质可得：，；
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了图形的旋转，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点；熟练运用上述知识点进行倒角是解题的关键．
57．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，即可求得．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键．
58．/45度
【分析】根据旋转的性质证明为等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】解：由旋转的性质知：，；
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转变换的性质及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质．
59．
【分析】根据已知可以得出，而将绕点按逆时针方向旋转，可知，，最后通过三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵是将绕点按逆时针方向旋转后得到的，
∴，，
∴，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转变换、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
60．
【分析】本题考查了旋转的性质，考查了正方形的性质.
连接，如图，根据旋转的性质得 再根据“”证明则，然后利用含度的直角三角形三边的关系求出即可得到的长.
【详解】连接, 如图,
∵边长为的正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形，
,
∴，
在 和 中
，
，
，
，
在中，
，
，
，
故答案为
61．(1)证明见解析
(2)11.5
【分析】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，1.旋转图形的对应边相等，对应角相等；2.有一角为60度的等腰三角形是等边三角形；3.两边及夹角对应相等的两个三角形全等．
（1）先由是等边三角形得出，，根据图形旋转的性质得出，，进而得出，然后根据证明即可证明；
（2）由，故可得出，由，即可判断出是等边三角形，故，由此即可得到的周长．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∵在和中，，
∴，
∴．
（2）∵是等边三角形，
∴，
∵，
，
，，
是等边三角形，
，
的周长．
62．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质，图形的旋转，平行四边形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质．
（1）连接，结合旋转的性质，矩形的性质可得平分，即可求证；
（2）连接，先证明四边形是平行四边形，可得，，再由勾股定理可得，从而求出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
由旋转性质得，
，
四边形是矩形，
，
，
，
平分．
，，
．
（2）解：连接，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
由勾股定理得，，
，
，
．
63．25度
【分析】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，解题的关键是会确定旋转角．由旋转得，通过等腰三角形及直角三角形可求度数，进而求的度数．
【详解】证明： 是由旋转得到
，，
，
64．
【分析】由，得，根据外角性质可证，由旋转的性质可知，则，根据三角形内角和为得即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵将绕点按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明出是解题的关键．
65．
【分析】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质， 根据题目的条件确定旋转角，然后利用已知以及和等腰三角形的性质即可求解．解题的关键是确定旋转角．
【详解】解：∵将绕点旋转至，点在边上，
∴旋转角，，
∵，
∴，
∴．
66．证明见解析．
【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，从而可得，最后根据平行线的判定即可得证．
【详解】证明：，
，
由旋转的性质得：，，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和旋转的性质是解题关键．
67．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可．
（2）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可．
【详解】（1）解∶ 如图，即为所求，
；
（2）解：如图，即为所求，
．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
68．(1)
(2)
【分析】（1）首先根据旋转的性质得到，进而求得；
（2）首先得到旋转角为，然后利用平行线的性质和等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）∵绕点C顺时针旋转至的位置，
∴
∴；
（2）∵将绕点C顺时针旋转至的位置，
∴旋转角为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴旋转角为．
【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，平行线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
69．(1)画图见解析，，，；
(2)画图见解析，，．
【分析】（）根据旋转的性质，找，，对应点，，，然后连接即可；
（）分别作垂直平分线即可；
本题考查了作图——旋转，垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，找，，对应点，，，然后连接即可，
∴即为所求，，，；
（2）解：如图，分别作垂直平分线即可，
∴点，，
故答案为：，．
70．(1)等边三角形
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定，图形的旋转，旋转前后找到相应的等量关系是解答本题的关键．
（1）依题意，将绕点逆时针旋转，得到，找到旋转前后等量关系，，即可判断的形状；
（2）由旋转关系，可以得到，，，并且为等边三角形，故可以证明，得到平分．
【详解】（1）解： 绕点逆时针旋转，
，，
为等边三角形；
（2）证明： 绕点逆时针旋转，
，，
，
，
为等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
平分．
71．见解析
【分析】利用旋转性质得，再证明和全等，进而得到结论．
【详解】证明是由绕点按顺时针方向旋转得到的，
，，
，即，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，掌握旋转的性质是解题的关键．
72．
【分析】由内角和定理求出，由旋转的性质得到，，得到，再由三角形内角和定理求出，由三角形外角的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵以直角顶点C为旋转中心，将旋转到的位置，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
73．(1)是由绕点A顺时针旋转得到
(2)25
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
（1）根据正方形的性质得，，则可根据“”证明，于是根据旋转的定义，将绕A点顺时针方向旋转90度得到；
（2）由得，所以，然后根据正方形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
∴，
∴，
可以由绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到；
（2）解：∵，，
∴，
，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题七 中心对称相关概念及必考题型过关
一、单选题
1．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在正方形网格中，点A的坐标为（0，5），点B的坐标为（4，3），线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合（C、D均为格点），若点A的对应点是点C，则它的旋转中心的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（3，1） D．（5，4）
3．如图，四边形是的内接四边形，，将绕点旋转至，则下列说法不正确的是（ ）
A．平分
B．点A，，在同一条直线上
C．若，则
D．若，则
4．如图，在中，，将绕点A按逆时针方向旋转得到，若点的对应点恰好落在边上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．下列运动项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，，，边在y轴正半轴上，点A在第一象限内，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转后，点A所对应的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A．30° B．90° C．120° D．180°
8．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，如图四幅作品分别代表“立春”，“立夏”“芒种”“大雪”，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O，则C、D两点的坐标分别为（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，顶点，，．将与正方形组成的图形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，在同一平面内，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，连接BB1，若BB1∥AC1，则∠CAC1的度数是（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
12．如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到. 点C的对应点为点D，恰好落在上，平分，则（ ）
A． B． C． D．
13．2023年9月23日晚，第19届亚运会开幕式在杭州市隆重举行．下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A． B．
C． D．
14．如图，在的方格纸中，格点（三个顶点都是格点的三角形）经过旋转后得到格点，则其旋转中心是（ ）
A．格点M B．格点N C．格点P D．格点Q
15．搭载神舟十六号载人飞船的长征二号遥十六运载火箭于年月日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
16．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
17．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
18．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
19．如图，中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于（ ）
A． B． C． D．
20．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
21．如图，将绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
22．下列交通标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
23．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A．有害垃圾 B．可回收物
C．厨余垃圾 D．其它垃圾
24．如图，将绕点B顺时针旋转角度得到，边分别交交于M，N，若，，则角的度数是（ ）
A． B． C． D．
25．下列食品图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
26．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转一个角度得到．若点恰好落在边上，且，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
27．2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
28．如图所示，△ABC中，∠BAC＝65°，将△ABC绕着A点逆时针旋转得到△ADE，连接EC，若，则∠CAD的度数为( )
A．15° B．25° C．35° D．40°
29．把“武汉加油”的首字母看成图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
30．将四个数字看作一个图形，则下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
31．如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
32．下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
33．风力发电机可以在风力作用下发电．如图的转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是（ ）
A．45 B．60 C．90 D．120
34．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
35．如图，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
36．神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，下列航天图标是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
37．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
38．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
39．如图，将绕顶点C逆时针旋转角度α得到，且点B刚好落在上．若，，则α等于（ ）
A． B． C． D．
40．下列垃圾分类标识的图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
41．下列图形中，为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
42．如图，已知△ABD是等边三角形，，E是AD上的点，，与BD交于点F．则下列结论正确的有（ ）
①连接AC，则AC垂直平分线段BD；②△DEF是等边三角形；③若，则；④若AB＝8，DE＝2，则CF＝4．
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
43．下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
44．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
45．在平面直角坐标系中，点与点 关于原点O对称．
46．如图，中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则等于________.
47．如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，连结，则的周长为 ．
48．如图，在中，，，为边上一点，将绕点顺时针旋转得到，连接，则长度的最小值为 ．
49．如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后得到，则等于 ．
50．若点与点关于原点对称，则的值为 ．
51．如图，把绕点A逆时针旋转，得到，点恰好落在边AB上，连接，则 ．
52．在平面直角坐标系中，将点绕点O逆时针旋转，得到点，则点的坐标为 ．
53．已知和关于原点对称，则 ．
54．已知点与点关于原点对称，则 ．
55．如图，一条笔直铁路和一条笔直公路在点处交汇，，在点处有一栋居民楼，米，已知火车行驶时，周围200米以内都会受到噪声的影响，若火车在铁路上沿方向以每秒20米的速度行驶，那么居民楼受噪声影响的时间为 秒．（不考虑火车长度，结果保留小数点后一位，参考数据：，
56．如图，中，，将其绕点旋转得到，使点落在边上，若，则的度数为 ．
57．在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点的坐标为 ．
58．如图，是等腰内一点，是斜边．如果将绕点按逆时针方向旋转到的位置，点与点是对应点，则的度数为 ．
59．如图，在中，，将绕点A逆时针方向旋转得到，交于点F，则 ．
60．如图，边长为的正方形绕点C顺时针旋转后得到正方形， 交于点H，则的长是 ．
三、解答题
61．如图，在等边中，D在边上，连接，将绕点B顺时针旋转得到，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，直接写出的周长．
62．如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，点与点对应，点恰好落在边上，交于点．
(1)求证：；
(2)连接交于，已知，，求的长．
63．如图，在中，，． 将绕点B按逆时针方向旋转得，使点C落在AB边上，点A的对应点为点D，连接AD，求的度数．
64．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到．若点恰好落在边上，且，求的度数．
65．如图，将绕点旋转至，点在边上．已知，求的度数．
66．如图，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，使得点D落在线段AC上．若AC＝BC，求证：BE∥AC．
67．在如图所示的网格中按要求画出图形；
(1)画出以点O为旋转中心顺时针旋转后的
(2)画出关于点O的中心对称图形．
68．如图，在中，，在同一平面内，将绕点C顺时针旋转至的位置，，且．
(1)________．
(2)求旋转角的大小．
69．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)把绕点顺时针旋转之后得到，请你画出，并直接写出各点坐标为 、 、 ；
(2)画出的外接圆，求出点坐标为 ，并求出的半径 ．
70．如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，．
(1)判断的形状；
(2)求证：平分．
71．如图，中，，，是由绕点按顺时针方向旋转得到的，连接、相交于点．求证：．
72．如图，在中，，，以直角顶点C为旋转中心，将旋转到的位置，其中，分别是A，B的对应点，且点B在斜边上，直角边交AB于D，求的度数．
73．如图，四边形是正方形，，分别是和的延长线上的点，且，连接，，．
(1)可以看作是经过平移、轴对称或旋转中的一种变换得到，请写出得到的变换过程；
(2)已知，，直接写出四边形的面积为________．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C D B C C D B A
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 B D D D C C B D C C
题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 B C A B A C C A B D
题号 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
答案 C A D B D B D B D A
题号 41 42 43 44
答案 B B C D
1．D
【分析】根据轴中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故A错误；
B．不是中心对称图形，故B错误；
C．不是中心对称图形，故C错误；
D．是中心对称图形，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．B
【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【详解】解：平面直角坐标系如图所示，作AC、BD的垂直平分线交于点E，旋转中心是E点，E（2，1）．
故选：B．
【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
3．C
【分析】根据圆周角、弦、弧之间的关系即可判断选项A选项；根据旋转的性质和圆内接四边形的性质即可判断B选项；先求出，由旋转可知，，进一步得到，，作于点H，则，则，进一步得到，则，即可判断C选项；在截取，连接，证明是等边三角形，得到，由四边形是的内接四边形即可得，即可判断D选项．
【详解】解：A．∵，
∴，
∴，
∴平分，
故选项正确，不符合题意；
B． ∵将绕点旋转至，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴点A，，在同一条直线上；
故选项正确，不符合题意；
C．∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
由旋转可知，，
∴，，
∴，，
作于点H，则，
∴，
∴，
∴，
故选项错误，符合题意；
D．在截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴,
故选项正确，
故选：C
【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆内接四边形的性质和添加适当的辅助线是解答此题的关键．
4．D
【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质；根据旋转的性质可得：，，从而利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理可得，即可解答．
【详解】由旋转得：，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
5．B
【分析】根据“根据沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的平面图形叫做轴对称图形；绕某一点旋转，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形”进行判断即可．
【详解】解：A. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故不符合题意；
B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；
C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
D. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
故选：B．
6．C
【分析】观察图象可得，点A旋转8次为一个循环，从而可得点与点的坐标相同，即可求解．
【详解】解：如图，点A旋转8次为一个循环，
∵，
∴点与点的坐标相同，
∴点的坐标为，
故选：C．
7．C
【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．
【详解】解：∵360°÷3=120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．
8．D
【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．
【详解】解：A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了菱形的性质和关于原点对称，由菱形的性质可知点和点关于原点对称，、关于原点对称，结合条件可求得点，点的坐标．
【详解】解：四边形为菱形，
，，
又点为坐标原点，
点和点关于原点对称，点和点关于原点对称，
点A的坐标为，点B的坐标为，
点坐标为，点坐标为．
故选：B．
10．A
【分析】先求出的值，再利用正方形的性质确定点坐标，由于，所以第2020次旋转结束时，正方形回到初始位置，再继续旋转3次即可确定结果．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵每次旋转，
∴4次为一个循环，
∵，
∴第2023次旋转结束时与第3次旋转后的落点相同，
∴点的坐标为．
故选：A．
11．B
【分析】根据旋转的性质，得到∠C1AB1＝∠CAB＝100°，AB1＝AB，∠CAC1＝∠BAB1，根据平行线的性质得到∠C1AB1+AB1B＝180°，然后由等腰三角形的性质，即可得到结论.
【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，
∴∠C1AB1＝∠CAB＝100°，AB1＝AB，∠CAC1＝∠BAB1，
∵BB1∥AC1，
∴∠C1AB1+AB1B＝180°，
∴∠AB1B＝80°，
∵AB＝AB1，
∴∠ABB1＝∠AB1B＝80°，
∴∠BAB1＝20°，
∴∠CAC1＝20°，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
12．D
【分析】根据旋转的性质得出，，根据角平分线的性质得出，证明，设，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：∵将绕着点B逆时针旋转得到，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等要三角的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
13．D
【分析】本题考查的是中心对称图形，根据中心对称图形的概念“把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”进行判断即可．
【详解】解：、不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故不符合题意；
、能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故符合题意．
故选：．
14．D
【分析】本题考查找旋转中心，根据旋转的性质，旋转中心为对应点连线的中垂线上，连接，两条线段的中垂线的交点即为旋转中心．掌握旋转的性质，是解题的关键．
【详解】解：如图，由图可知，点即为旋转中心；
故选D．
15．C
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
、是中心对称图形，此选项符合题意；
、不是中心对称图形，此选项不符合题意，排除；
故答案为：．
【点睛】此题考查了中心对称图形的概念，解题的关键是如何判断中心对称图形，旋转度后与原图重合．
16．C
【分析】根据旋转的性质得出边和角相等，找到角之间的关系，再根据三角形内角和定理进行求解，即可求出答案．
【详解】解：设=x°.
根据旋转的性质，得∠C=∠= x°，=AC, =AB.
∴∠=∠B.
∵，∴∠C=∠CA=x°.
∴∠=∠C+∠CA=2x°.
∴∠B=2x°.
∵∠C+∠B+∠CAB=180°，，
∴x+2x+108=180.
解得x=24.
∴的度数为24°.
故选：C.
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用及等腰三角形得性质.
17．B
【分析】利用中心对称图形的定义直接判断．
【详解】解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B选项的图形绕着某点旋转180°后能与原来的图形重合，
故选B．
【点睛】本题考查中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
18．D
【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．
【详解】解：根据中心对称图形的定义，选项A、B、C，找不到一个点，使得图像绕这一点旋转后，与原来图形重合，不符合题意；D图形绕对角线的交点旋转后，与原来图形重合，为中心对称图形，符合题意
故选D
【点睛】本题考查了中心对称图形即图形绕某点旋转后与原来图形重合，熟练掌握定义是解题的关键．
19．C
【分析】根据平行线的性质得到，根据旋转变换的性质计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
由旋转的性质可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查的是旋转变换，掌握平行线的性质、旋转变换的性质是解题的关键．
20．C
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义即可判断．
【详解】解：A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关概念是解题关键．
21．B
【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据旋转的性质可得，，，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得，进而可求解，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：由旋转的性质得：
，，，
，
，
，
，
，
故选B．
22．C
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．据此分析判断即可得解．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
23．A
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
24．B
【分析】连接．想办法证明，再根据，利用三角形内角和定理，构建方程求出α即可．
【详解】解：连接．
∵，
∴A，B，M，D四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转变换，等腰三角形的性质，四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．A
【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【详解】根据中心对称图形定义
即寻找对称中心，旋转后与原图重合
得A符合题意，B、C、D均不符合题意．
故选A．
【点睛】本题考查中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合．
26．C
【分析】根据旋转的性质得出，，根据得出，根据三角形内角和定理得出，根据三角形外角的性质得出，设，则，根据平角的定义，列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：如图，设与交于点，
将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等边对等角，掌握以上性质定理是解题的关键．
27．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误；
B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误；
C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；
D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
28．A
【分析】由旋转的性质可得AC= AE，∠EAD=∠CAB= 65°，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得∠AEC=∠ACE= 65°，即可求解．
【详解】解：∵将△ABC绕着A点逆时针旋转得到△ADE，
∴ AC= AE，∠EAD=∠CAB= 65°，
∴∠AEC=∠ACE，
∵ EC∥AB，
∴∠ECA=∠CAB = 65°，
∴∠AEC=∠ACE = 65°，
∴∠EAC =180°－2×65°= 50°，
∴∠CAD=∠CAB－∠CAE= 15°；
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
29．B
【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．解题的关键是寻找轴对称图形的对称轴，使图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
30．D
【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐项判定即可．
【详解】
解：根据中心对称图形定义，可知符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图形，掌握中心对称图形定义，能根据定义判定图形是否是中心对称图形是解决问题的关键．
31．C
【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．
【详解】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴△ABM≌△ACN，
∴AB=AC，AM=AN，
∴AB不一定等于AN，故选项A不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠ACN=∠B，
而∠CAB不一定等于∠B，
∴∠ACN不一定等于∠CAB，
∴AB与CN不一定平行，故选项B不符合题意；
∵△ABM≌△ACN，
∴∠BAM=∠CAN，∠ACN=∠B，
∴∠BAC=∠MAN，
∵AM=AN，AB=AC，
∴△ABC和△AMN都是等腰三角形，且顶角相等，
∴∠B=∠AMN，
∴∠AMN=∠ACN，故选项C符合题意；
∵AM=AN，
而AC不一定平分∠MAN，
∴AC与MN不一定垂直，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质．旋转变换是全等变换，利用旋转不变性是解题的关键．
32．A
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键；
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解；
【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，但不轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
33．D
【分析】该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是120°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转120度的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】该图形被平分成三部分，旋转120°的整数倍，就可以与自身重合，
故n的最小值为120．
故选：D．
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
34．B
【分析】中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念．要注意，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
35．D
【分析】由旋转可知，即可求出，由于，则可判断，即A选项错误；由旋转可知，由于，即推出，即B选项错误；由三角形三边关系可知，即可推出，即C选项错误；由旋转可知，再由，即可证明为等边三角形，即推出．即可求出，即证明
，即D选项正确；
【详解】由旋转可知，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴，
∵，
∴，故A选项错误，不符合题意；
由旋转可知，
∵为钝角，
∴，
∴，故B选项错误，不符合题意；
∵，
∴，故C选项错误，不符合题意；
由旋转可知，
∵，
∴为等边三角形，
∴．
∴，
∴，故D选项正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查旋转的性质，三角形三边关系，等边三角形的判定和性质以及平行线的判定．利用数形结合的思想是解答本题的关键．
36．B
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，据此进行逐项分析，即可作答．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、 不是中心对称图形，故该选项是错误的；
B、 是中心对称图形，故该选项是正确的；
C、 不是中心对称图形，故该选项是错误的；
D、 不是中心对称图形，故该选项是错误的；
故选：B．
37．D
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐一判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
38．B
【分析】根据中心对称图形逐项分析即可，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、.不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
39．D
【分析】先根据旋转的性质得出，，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，最后三角形内角和定理得出，即可得出答案．
【详解】解：∵绕顶点C逆时针旋转得到，且点B刚好落在上，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质；解题的关键是熟练掌握等边对等角．
40．A
【分析】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
41．B
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．
42．B
【分析】如图，连接AC，由△ABD是等边三角形得AB=AD，从而得点A、CD都在线段BD的垂直平分线上，即可判断①正确，由平行线的性质可得∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，即可判断②正确，三角形的外角性质得∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，从而判断③错误，先找到CE=AE，又由△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，得AD=AB=8，EF=DE=2，从而有CF=CE-EF=4，即可判断④正确．
【详解】解：如图，连接AC，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB=AD，∠ABD=∠DAB=∠EDF=60°，
∵，
∴点A、C都在线段BD的垂直平分线上，
∴连接AC，则AC垂直平分线段BD，故①正确，
∵，
∴∠ABD=∠EFD=60°，∠DEF=∠DAB=60°，
∴△DEF是等边三角形，故②正确，
∵BC=BD，，
∴∠CDB=∠CBD=40°，
∵∠DFE=60°，
∴∠DCE=∠DFE-∠CDB=60°-40°=20°，故③错误，
∵AC垂直平分BD，AB=AD，∠BAD=60°，
∴∠CAB=∠CAD=30°，
∵AB//CE，
∴∠ACE=∠CAB=∠CAD，
∴CE=AE，
∵△ABD和△DEF都是等边三角形，AB＝8，DE＝2，
∴AD=AB=8，EF=DE=2，
∴CF=CE-EF=AE-EF=AD-DE-EF=8-2-2=4，故④正确，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质是解题的关键．
43．C
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形是沿着某条直线对折，图形两部分能够完全重合的图形，中心对称图形是绕某点，旋转180度后与自身重合的图形．
44．D
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．解题的关键是理解中心对称图形与轴对称图形的概念，据此解答即可．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
45．
【分析】关于原点对称的两点：横坐标与纵坐标分别互为相反数，由此特征即可求得．
【详解】解：点与点关于原点O对称．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中关于原点对称的两点的坐标特征，掌握“关于原点对称的两点：横坐标与纵坐标分别互为相反数”这一特征是关键．
46．/40度
【分析】先根据平行线的性质得，再根据旋转的性质得，，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，即可得的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵将绕点A旋转到的位置，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
47．/
【分析】先根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理得到，，．再根据旋转的性质得到，，则可判断为等边三角形，从而得到为等边三角形，可得到，，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，为等边三角形，
∴，，
∴的周长为．
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理．
48．
【分析】此题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，在上截取，证明，得，当时，最小，再利用等腰直角三角形的性质即可得出答案，正确掌握旋转的性质及全等三角形的判定是解题的关键．
【详解】在上截取，
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∵，，
∴，
∴
∴
∴
∴，
∵为边上一点，
∴时，最小，
∵，
∴
∴
∴长度的最小值为，
故答案为．
49．/度
【分析】根据旋转角可得，然后根据代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：绕着点顺时针旋转后得到，
，
，
．
故答案是：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是运用旋转的性质（图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等）得出．
50．
【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质和乘方运算，直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，即可得出答案．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
则．
故答案为：．
51．
【分析】根据旋转的性质可得AB= AB'，∠BAB'=44°，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠ABB'，再利用直角三角形两锐角互余，列式计算即可求出答案．
【详解】解：∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°得到Rt△AB'C'，
∴AB= AB'，∠BAB'=44°，
∴△ABB'是等腰三角形，
∴∠ABB'=（180°-∠BAB'）=（180°-44°）=68°，
∵∠AC'B'=∠C=90°，
∴B'C'⊥AB，
∴∠BB'C'=90°-∠ABB'=90°-68°=22°．
故答案为22°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，比较简单，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状和大小得到等腰三角形是解题的关键．
52．
【分析】本题考查了勾股定理，正切，旋转的性质．熟练掌握勾股定理，正切，旋转的性质是解题的关键．
如图，过作轴于，由，可得，由旋转的性质可知，，，则，在轴的负半轴上，然后作答即可．
【详解】解：如图，过作轴于，
∵，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质可知，，，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
53．1
【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出，的值，进而得出答案．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是．
【详解】解：和关于原点对称，
，，
则．
故答案为：1．
54．4
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，求出的值，再进行计算即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查坐标与中心对称．解题的关键是掌握关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
55．
【分析】如图，过点作于，以点为圆心，以200米为半径画圆，则交于点，设另一个交点为，连接，再求解，从而可得答案．
【详解】解：如图，过点作于，以点为圆心，以200米为半径画圆，则交于点，设另一个交点为，连接，
当火车行驶到点时，开始影响居民楼，当驶离点时，结束影响居民楼，
米，，
（米，
，
（米，
影响所持续的时间为（秒，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，垂径定理的应用，锐角三角函数的应用，作出辅助线构建直角三角形是解本题的关键．
56．/度
【分析】由旋转的性质可得，；根据等边对等角可求得；
【详解】解：由旋转的性质可得：，；
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了图形的旋转，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点；熟练运用上述知识点进行倒角是解题的关键．
57．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，即可求得．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键．
58．/45度
【分析】根据旋转的性质证明为等腰直角三角形即可解决问题．
【详解】解：由旋转的性质知：，；
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转变换的性质及其应用问题；应牢固掌握旋转变换的性质．
59．
【分析】根据已知可以得出，而将绕点按逆时针方向旋转，可知，，最后通过三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵是将绕点按逆时针方向旋转后得到的，
∴，，
∴，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转变换、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
60．
【分析】本题考查了旋转的性质，考查了正方形的性质.
连接，如图，根据旋转的性质得 再根据“”证明则，然后利用含度的直角三角形三边的关系求出即可得到的长.
【详解】连接, 如图,
∵边长为的正方形绕点按顺时针方向旋转后得到正方形，
,
∴，
在 和 中
，
，
，
，
在中，
，
，
，
故答案为
61．(1)证明见解析
(2)11.5
【分析】本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，1.旋转图形的对应边相等，对应角相等；2.有一角为60度的等腰三角形是等边三角形；3.两边及夹角对应相等的两个三角形全等．
（1）先由是等边三角形得出，，根据图形旋转的性质得出，，进而得出，然后根据证明即可证明；
（2）由，故可得出，由，即可判断出是等边三角形，故，由此即可得到的周长．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∵在和中，，
∴，
∴．
（2）∵是等边三角形，
∴，
∵，
，
，，
是等边三角形，
，
的周长．
62．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了矩形的性质，图形的旋转，平行四边形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质．
（1）连接，结合旋转的性质，矩形的性质可得平分，即可求证；
（2）连接，先证明四边形是平行四边形，可得，，再由勾股定理可得，从而求出，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
由旋转性质得，
，
四边形是矩形，
，
，
，
平分．
，，
．
（2）解：连接，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
由勾股定理得，，
，
，
．
63．25度
【分析】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质，解题的关键是会确定旋转角．由旋转得，通过等腰三角形及直角三角形可求度数，进而求的度数．
【详解】证明： 是由旋转得到
，，
，
64．
【分析】由，得，根据外角性质可证，由旋转的性质可知，则，根据三角形内角和为得即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵将绕点按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，证明出是解题的关键．
65．
【分析】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等腰三角形的性质， 根据题目的条件确定旋转角，然后利用已知以及和等腰三角形的性质即可求解．解题的关键是确定旋转角．
【详解】解：∵将绕点旋转至，点在边上，
∴旋转角，，
∵，
∴，
∴．
66．证明见解析．
【分析】先根据等腰三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，从而可得，最后根据平行线的判定即可得证．
【详解】证明：，
，
由旋转的性质得：，，
，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和旋转的性质是解题关键．
67．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可．
（2）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可．
【详解】（1）解∶ 如图，即为所求，
；
（2）解：如图，即为所求，
．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
68．(1)
(2)
【分析】（1）首先根据旋转的性质得到，进而求得；
（2）首先得到旋转角为，然后利用平行线的性质和等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）∵绕点C顺时针旋转至的位置，
∴
∴；
（2）∵将绕点C顺时针旋转至的位置，
∴旋转角为，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴旋转角为．
【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，平行线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
69．(1)画图见解析，，，；
(2)画图见解析，，．
【分析】（）根据旋转的性质，找，，对应点，，，然后连接即可；
（）分别作垂直平分线即可；
本题考查了作图——旋转，垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，找，，对应点，，，然后连接即可，
∴即为所求，，，；
（2）解：如图，分别作垂直平分线即可，
∴点，，
故答案为：，．
70．(1)等边三角形
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定，图形的旋转，旋转前后找到相应的等量关系是解答本题的关键．
（1）依题意，将绕点逆时针旋转，得到，找到旋转前后等量关系，，即可判断的形状；
（2）由旋转关系，可以得到，，，并且为等边三角形，故可以证明，得到平分．
【详解】（1）解： 绕点逆时针旋转，
，，
为等边三角形；
（2）证明： 绕点逆时针旋转，
，，
，
，
为等边三角形，
，
在和中，
，
，
，
平分．
71．见解析
【分析】利用旋转性质得，再证明和全等，进而得到结论．
【详解】证明是由绕点按顺时针方向旋转得到的，
，，
，即，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，掌握旋转的性质是解题的关键．
72．
【分析】由内角和定理求出，由旋转的性质得到，，得到，再由三角形内角和定理求出，由三角形外角的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵以直角顶点C为旋转中心，将旋转到的位置，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了旋转的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
73．(1)是由绕点A顺时针旋转得到
(2)25
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
（1）根据正方形的性质得，，则可根据“”证明，于是根据旋转的定义，将绕A点顺时针方向旋转90度得到；
（2）由得，所以，然后根据正方形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
∴，
∴，
可以由绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转90度得到；
（2）解：∵，，
∴，
，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
同课章节目录