《勾股定理》导学案
初中数学组 张 姣
一、目标展示
（一）知识与能力目标
⒈理解勾股定理的内容和证明，能够初步应用勾股定理解决线段长度的计算问题；
⒉通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的能力。
（二）过程与方法目标
在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思想，并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。
（三）情感态度与价值观
通过介绍古代勾股定理方面的成就，激发学生热爱数学的悠久文化，培养学生的钻研精神。
（四）教学重点、难点
重点：勾股定理的证明与运用; 难点：勾股定理的证明.
二、情景引入
在科技活动月中，小王在报纸建房屋模型 ( http: / / www.21cnjy.com )比赛中，要在等腰三角形的房屋顶做一根支柱垂直于横梁，已知等腰三角形腰长AB=AC=13dm，底边BC=24dm那么这根支柱有多长？
三、互动探究，合作展示
【探究一】
相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯从地砖铺成的地面中发现了直角三角形的某种数量关系.
思考：（1）A、B、C的面积有什么等量关系？ .
（2）等腰直角三角形三边m、n的数量关系？ .
发现： .
观察：两直角边不等的直角三角形的三边也满足这种数量关系吗 如何说明？
（1） 观察右边两幅图，填表：（每个小正方形代表1个单位面积）
A的面积 B的面积 C的面积
图1
图2
A、B、C的面积关系
（2）你是怎样得到正方形C的面积的？
（3）猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么 .
【探究二】验证命题：
已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c,求证：
拼一拼
以小组为单位，请利用四个全等的直角三角形和一个正方形，用面积法拼出.
（提示：直角三角形的两直角边分别为，斜边为，小正方形的边长为，
如何利用面积法拼出，如何拼出）
归纳定理：直角三角形两条___ ___的平方和等于__ ___的平方.
如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么_________________.
几何语言：∵
∴
四、小试牛刀
下列直角三角形中已知两条边的长，求未知边x的长.
归纳： 。
五、达标练习，反馈效果
1. 在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= .
2. 在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= .
3.等腰△ABC的腰长AB=AC=13dm，底边BC为24dm，则底边上的高为 ，面积为 ．
六、归纳总结，反思提升
勾股定理的内容： ；
本节课的数学思想和方法有 ；
勾股定理让你体会到 ；
你还有什么疑惑 .
m m
n
(3)
(2)
(1)(共21张PPT)
13dm
13dm
24dm
？
弦
股
勾
（一）知识与能力目标
⒈理解勾股定理的内容和证明，能够初步应用勾股定理解决线段长度问题.
⒉通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的能力。
（二）过程与方法目标
在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思想，并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。
（三）情感态度与价值观
通过介绍古代勾股定理方面的成就，激发学生热爱数学的悠久文化，培养学生的钻研精神。
（四）教学重点：勾股定理的证明与简单应用
教学难点：勾股定理的证明
相传2500年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯从用地砖铺成的地面中发现了直角三角形三边的关系.
A
B
C
A、B、C的面积有什么等量关系？
等腰直角三角形三边m、n的数量关系：
SA + SB= SC
两直角边的平方和等于斜边的平方.
m
m
n
SA + SB= SC
A
B
C
+
=
等腰直角三角形三边的数量关系：
两直角边不等的直角三角形的三边也满足这种数量关系吗
（每个小正方形代表1个单位面积）
A
B
C
等腰直角三角形三边的数量关系：
两直边的平方和等于斜边的平方.
两直角边不等的直角三角形的三边也满足这种数量关系吗
（每个小正方形代表1个单位面积）
A
B
C
A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积)
图1
4
9
13
图1
等腰直角三角形三边的数量关系：
两直边的平方和等于斜边的平方.
两直角边不等的直角三角形的三边也满足这种数量关系吗
（每个小正方形代表1个单位面积）
A
B
C
A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积)
图1
4
9
13
图1
等腰直角三角形三边的数量关系：
两直边的平方和等于斜边的平方.
两直角边不等的直角三角形的三边也满足这种数量关系吗
A
B
C
A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积)
图1
图2
A、B、C的面积关系
4
9
13
9
25
34
sA+sB=sC
A’
B’
C’
图1
图2
设：直角三角形的两直角边长分别是
a、b，斜边长为c.
则a、b、c 之间
有何数量关系？
a
b
c
a2
b2
c2
∟
sA+sB=sC
如果直角三角形的两直角边
长分别为a、b,斜边长为c,那么
命题
a
b
c
验证猜想
提示：直角三角形的两直角边分别为a、b ，斜边为c，小正方形的边长为b-a，如何利用面积拼出 ，如何拼出c2，如何证明它们相等？
以小组为单位，请利用四个全等的直角三角形
和一个正方形，用面积法拼出
拼一拼
c
b
a
c
动手拼一拼
=
b
赵爽利用弦图证明命题
数形结合
思想方法
b
a
命题
如果直角三角形的两直角边
长分别为a、b,斜边长为c,那么
C
B
A
a
b
c
命题
如果直角三角形的两直角边
长分别为a、b,斜边长为c,那么
勾 股 定 理
直角三角形
C
B
A
a
b
c
∵在Rt△ABC中∠C=90°
几何语言：
∴
勾股定理的作用？
B
(1)下列直角三角形中已知两条边的长，求未知边x的长.
3
x
5
8
10
x
12
5
x
⑴ ⑵ ⑶
方法小结:
C
A
B
A
C
A
B
C
方程思想
1. 在Rt△ABC，∠C=90°，
a=8,b=15，则c= .
2. 在Rt△ABC，∠B=90°，
a=3，b=4，则c= .
17
13dm
13dm
24dm
？
3.等腰△ABC的腰长AB=13dm，底边BC为24dm，则底边上的高为 ，面积为 ．
5dm
60dm2
5dm
我学习了……
我的困惑是……
我知道了……
我体会到……
勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分
别为a、b,斜边长为c,那么 .
从特殊到一般的探究方法和数形结合的思想.
勾股定理的历史悠久，是人类伟大的科学发现.
证明勾股定理还有哪些方法？勾股定理教学设计意图
《勾股定理》这堂课是八年级的教学内容， ( http: / / www.21cnjy.com )八年级学生对几何图形的观察及对图形的分析能力已初步形成，部分学生的思维能力比较高，能够正确归纳所学知识。在这基础上，围绕这节课的重点和难点，根据新课标的要求，在总体设计上体现出将知识的生成过程置身于学生的自主探究与合作交流的活动中；通过学生自主观察，在教师导的基础上有所发现，从而大胆猜想，学生在通过自己动手，学习小组讨论交流，师生互动的过程中达成这节课的目标。现就这节课的几个重要环节的设计意图逐一介绍如下：
课题的引入：数学源于生活，又为生活服务，勾股定理很好地体现了这一点，
因此，将问题放在了我校科技活动月的报纸 ( http: / / www.21cnjy.com )建房活动的背景中，比较贴近学生的生活，从而可唤起学生的好奇心和求知欲，激发学生对勾股定理的兴趣，较自然的引入课题。
探索勾股定理的证明过程：这一环节是这节课的重点，也是难点，在教学策略上采用探究发现式教学。
探究一是以2500年前毕达格拉斯发 ( http: / / www.21cnjy.com )现地砖中有关直角三角形三边关系的故事为背景,进一步激发学习兴趣。学生穿越时空，在自主观察、思考、交流讨论的基础上，通过教师层层设问，由浅入深，抓住将三个正方形面积的关系转化为直角三角形三边关系这一关键，达成学生知识的生成点，整个设计过程渗透了从特殊到一般的数学思想. 培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，为探究二活动的顺利进行奠定了基础。
探究二设计的是活动，通过学生活动验证勾股 ( http: / / www.21cnjy.com )定理。活动的目的是为学生提供参与数学活动的时间和空间，充分发挥学生的主体作用，通过这些实际操作，不仅锻炼了学生动手动脑的能力，也进一步加深对数形结合思想的理解。设计之初，有些担忧学生是否能完成这一活动，需不需要教师先示范，但这样做的结果无疑又在走老路，加之探究一已经奠定了基础，因此还是大胆地相信学生的能力，放手让学生自主探究。当然教师的导就尤其重要了，首先要学生明确为什么要拼图，其次如何去拼，拼好图后又要作什么？目的明确后，学生的学习热情高涨，积极参与到活动中，通过学习小组的展示，不仅训练了学生语言表达的能力，，加强了学习小组的协作意识，也让学生体会到解决问题的成就感和愉悦感。
这一过程中介绍了毕达格拉斯的发现以及 ( http: / / www.21cnjy.com )赵爽弦图，让学生了解勾股定理的文化背景，感受数学文化。通过对勾股定理的分析及简单应用，让学生有机地把握所学的知识技能，加强对定理的理解，用来解决情景引入的实际问题，达到前后呼应，保证了整节课的完整性，
从而突出这节课的重点。
学生通过对学习过程的小结，领会其中的数学思想方法；通过梳理所学内容，形成完整知识结构，培养归纳概括能力。
这节课的设计也充分体现我校“四四互动探究式”卓越课堂的教学模式的特点。
以上不足之处，敬请提出好的建议，谢谢大家。
