人教版（2024）九年级上册22.1.4配方法将二次函数 y=ax2 bx c化为顶点式 教学设计

配方法将y=ax2+bx+c化为 y=a(x-h)2+k 教学设计
一、教材分析
1.内容：将二次函数一般式y=ax2+bx+c化为顶点式。
2.内容解析
在讨论了二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质的基础上，本节课对二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质进行研究。主要的研究方法是通过配方将y=ax2+bx+c向y=a（x-h）2+k转化，体会知识之间的内在联系。在具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究a>0和a<0的情况，再从特殊到一般得出y=ax2+bx+c的图象和性质。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：通过配方将数字系数的二次函数解析式化为y=a（x-h）2+k的形式。
二、教学目标
理解二次函数y=ax2+bx+c与y=a（x-h）2+k之间的联系，体会转化的数学思想。
达成目标的标志是：会通过配方将数字系数的二次函数解析式化为y=a（x-h）2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，经历画二次函数y=ax2+bx+c图象的一般过程，进一步体会转化的思想。
重难点：理解二次函数y=ax2+bx+c与y=a（x-h）2+k之间的联系，体会转化的数学思想。
三、学情分析
在本节课前，学生已经探究过二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质，面对形如y=ax2+bx+c的二次函数，要想将其转化为y=a（x-h）2+k的形式，这种化归思想是学生学习经验中有所欠缺的。在将y=ax2+bx+c通过配方化为y=a（x-h）2+k时，学生由于不理解恒等变形的本质，容易将配方法解一元二次方程与配方为顶点式混淆。
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：如何想到将y=ax2+bx+c转化为y=a（x-h）2+k的形式来研究它的图象和性质。
四、教学过程设计
同学们，前几节课我们学习了二次函数的概念及y=a（x-h）2+k的图象和性质，今天这节课我们继续学习二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质。首先回顾一下学过的知识。
1.复习巩固：
(1)一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的 相同， 不同；由y=ax2平移到y=a(x-h)2+k，口诀是
练习：由函数y=-2x2怎样平移得到y=-2(x+1)2+3？
(2)抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:
a﹥0时，开口_________，当a﹤0时，开口 ，
对称轴是 _________ ，顶点坐标是 ____________。
练习：说出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标
(1)y=2(x+3)2+5 (2)y=-5(2-x)2-6
师生活动：学生思考，派代表回答；教师用多媒体课件展示答案。
设计意图：通过对形如y=a（x-h）2+k的二次函数平移、图象和性质的复习，以具体题目巩固所学知识，加深对知识的理解。为学生学习y=ax2+bx+c的二次函数的图象和性质奠定坚实的基础，给本课的顺利进行提供保障。
2.问题导入：
问题1：顶点式二次函数y=a（x-h）2+k,如y=-2(x+1)2+3的优势是什么？
问题2：对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c，如y=x2-6x+21，你能很容易地说出其图象的对称轴和顶点坐标吗？
师生活动：教师出示问题，学生思考并回答。
设计意图：通过二次函数两种不同形式的对比，铺垫学生转化的意识。
问题3：为了讨论二次函数y=1/2x2-6x+21性质，我们需要画出图象研究，但我们知道用描点法画抛物线首先要明确顶点和对称轴，你认为画图之前需要怎样处理y=1/2x2-6x+21？转化为什么形式的二次函数？
师生活动：教师出示问题，学生思考并回答，关注学生能否想到y=1/2x2-6x+21转化为y=a（x-h）2+k的形式。
问题4：如何转化？
师生活动：教师引导学生观察两个等式右边的多项式特点，想想之前学过的什么方法能达到转化的目的。
设计意图：这样一步步提出问题，启发学生探索问题，学生应想到用配方法转化为顶点式二次函数。
3.探究新知
[活动1] 探索二次函数y=x2-6x+21的的图象和性质。
y=x2-6x+21
提取：二次项系数…………………………………… =（x2-12x+42）
配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方… =（x2-12x+36-36+42）
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项…… = [(x-6)2+6]
化简:去掉中括号，化为y=a（x-h）2+k的形式…… =(x-6)2+3
师生活动：教师与学生一起进行配方变形，教师展示配方的具体过程。
教师追问1:二次函数的配方过程与一元二次方程的配方过程有何不同？
设计意图：通过比较，使学生明白将y=ax2+bx+c化为y=a（x-h）2+k时，是恒等变形的本质，不要与配方法解一元二次方程混淆。
教师追问2:函数开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么 你能画出二次函数的图象了吗？怎么画？
师生活动：教师提出问题，若学生回答描点，教师可继续追问。
教师追问3:如何列表更有针对性？
师生活动：教师关注学生是否知道，在配方转化的基础上，确定顶点，以顶点为中心利用抛物线的对称性描点画出图象。
教师追问4:除了直接画函数图象，你还有其他办法得到函数图象吗？
师生活动：教师关注学生能否从平移y=x2的角度解决此问题。
教师追问5:观察图象，二次函数y=x2-6x+21的性质是什么？
师生活动：教师关注学生观察图象后，能否正确描述这个二次函数的性质，能否准确地分段说明在对称轴的左右两侧，抛物线的变化趋势。
设计意图：通过配方，化二次函数一般形式为顶点式，让学生再次熟悉配方法，从而确定函数图象的对称轴和顶点坐标，进一步画出图象探索性质，为研究任意一个二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）做好铺垫。培养学生的探究、合作、交流能力，同时培养学生的观察、分析、概括能力，向学生渗透数形结合的数学思想方法。
[活动2] 你能画出函数y=2x2-4x+1的图象，并说明函数的性质吗？
师生活动：在学生画函数图象的同时，教师巡视、指导、点评。
设计意图：研究a<0时一个具体二次函数的图象和性质，再次体会研究函数图象和性质的一般方法。
[活动3] 对于任意一个二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），你能确定图象的开口方向、对称轴和顶点坐标并说明图象性质吗？ y= ax2+bx+c（a≠0）
提取：二次项系数
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
化简:去掉中括号，化为y=a（x-h）2+k的形式
对比二次函数y=a（x-h）2+k，不难发现h= ，k=
归纳y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质：
师生活动：师生共同将二次函数y=ax2+bx+c化为y=a（x-h）2+k的形式，确定图象的开口方向、对称轴和顶点坐标并说明图象性质。
设计意图：由特殊到一般，让学生动手配方，观察图象分析性质，提高学生积极参与合作交流的能力，增强数形结合的思想意识。
板书设计：
基础练习：
1.二次函数y=-2x2-8x-8，当x______ 时，y随x的增大而增大；当x______ 时，y随x的增大而减小；已知（x1,y1）（x2,y2）是函数图象上的两点，当x1＞x2＞-2时,y1,y2的大小关系是_________。
2. 如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为(-1，0).则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a-2b+c＜0；③ac＞0；④当y＜0时，x＜-1或x＞2.其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
设计意图：巩固学生对二次函数y=ax2+bx+c图像特征的理解以及对二次函数y=ax2+bx+c性质的掌握情况。
拓展练习：
1.抛物线y=ax2+2x+c（a≠0）的顶点是（-1,2），则a=______ c=______
2.二次函数y=ax2+4x+a（a≠0）的最大值是3，则a= ______
3. (2015河南)已知点A（4，y1），B（，y2），C（-2，y3）都在函数y=(x-2)2-1的图象上，
则y1、 y2 、y3的大小关系是____________。
设计意图：通过变式练习，逆向思维加深学生对所学知识的理解。
小结：
教师与学生一起回顾本节课内容，并请学生回答一下问题：
1）本节课研究的主要内容是什么？
2）我们是怎么研究的（过程和方法是什么）
3）研究过程中你遇到的问题是什么？怎么解决的？
布置作业：
（1）函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，m的取值范围
是（　　） A．m=﹣1 B．m=3 C．m≤﹣1 D．m≥﹣1
(2)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点(2，0).下列说法：①abc<0；②a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(-2，y1)，(，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是( )
A.①②④ B.③④ C.①③④ D.①②
目标检测设计
1.写出函数y=2x2-4x+5的开口方向 ______ ；对称轴是直线 ______ ；顶点坐标_________ ；当x= ____时，函数y取得最____值______。
2. 在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大，则x取值范围是______
已知（x1,y1）（x2,y2）是函数图象上的两点，当x1＜x2＜1时,y1,y2的大小关系是_________。
3. (陕西中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，
则下列结论中正确的是( )
A. c> -1 B. b>0 C. 2a+b≠0 D. 9a+c>3b
设计意图：巩固学生对二次函数y=ax2+bx+c图像特征的理解以及对二次函数y=ax2+bx+c性质的掌握情况。
检测拓展：
1.抛物线y=2x2+bx+c的顶点是（-1,2），则b= ______ c= ______
2.已知抛物线y=x2-2ax+9的顶点在坐标轴上，则a=______
3.已知点A（-4，y1），B（-1，y2），C（1，y3）为二次函数y=x2+4x-5的图象上的三点，y1、 y2 、y3的大小关系是____________。
设计意图：通过变式练习，逆向思维加深学生对所学知识的理解。
教学反思：
本节课是二次函数图象和性质发展的必然结果，实现了与前面顶点式二次函数的呼应，最终达到不同二次函数表达式的融会贯通。通过配方将数字系数的二次函数解析式化为y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式，并由此得到二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质是本节课的教学重点。学习本节课的基础在于对一元二次方程配方法和y=a（x-h）2+k（a≠0）图象与性质的掌握。
因此，学生在课前对本节课内容进行充分预习，并完成导学案温故辅新环节的题目。通过对配方法和形如y=a（x-h）2+k（a≠0）形式的二次函数平移、图象和性质的复习，以具体题目巩固所学知识，加深对知识的理解，为学生后续学习二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象和性质奠定坚实的基础，给本课的顺利进行提供保障。在新知探究环节，学生在教师的讲授下学习并练习了数字系数二次函数的配方过程，其图象和性质在温故辅新环节已进行了学习；师生一起完成了y=ax2+bx+c（a≠0）的配方过程并结合图象研究了函数性质；对比顶点式和一般式二次函数的对称轴和顶点坐标，理解不同二次函数表达式的关系。以具体题目对所学知识进行练习巩固，目标检测。
考虑到本节课学生预习到位，部分同学能较快掌握所学知识，还应该让学生多一些展示，比如温故辅新、新知探究环节的第二题可以让学生实物投影展示给大家，更好地发挥学生的主体地位。个别同学完成拓展题目，应在课堂安排时间予以订正。