2023-2024学年北京景山学校高三（下）开学考数学试题（图片版，无答案）

2023北京景山学校高三（下）开学考
数 学
本试卷共 6 页， 150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
M = x x 2
1. 已知全集U 是实数集R .下边的韦恩图表示集合 与 N ={x |1 x 3}关系，那么阴影部分
所表示的集合可能为（ ）
A. {x∣x 2} B. x∣x 2
C. {x∣x 1} D. x∣x 1
2
2. 在复平面内，复数 z1 与 z2 对应的点关于虚轴对称，且 z z =1 = ，则 2 （ ）
1+ i
A. 1+ i B. 1 i
1 1 1 1
C. i D. + i
2 2 2 2
5
2 1
3. 已知二项式 x 的展开式中 的系数是（ ）
x x
A. 80 B. 80 C. 10 D. 10
4. 圆心为 ( 1, 2)，且与 y 轴相切的圆的方程是（ ）
2 2 2 2
A. (x 1) + (y 2) = 4 B. (x 1) + (y 2) =1
C. (x +1)2 + (y + 2)2 =1 2 D. (x +1) + (y + 2)2 = 4
5. 对于任意的 a,b R ，则“ a b ”是“ a b ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2
6. 已知圆锥曲线C : mx + ny =1的一个顶点为 (0, 3)，焦距为 4，则m 的值为（ ）
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1 1
A. 7 或 1 B. 或 1 C. 7 或 1 D. 或 1
7 7
7. 近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失．在人员密集区域，人员疏散是控
制事故的关键，而能见度 x（单位：米）是影响疏散的重要因素．在特定条件下，疏散的影响程度 k与能见
0.2, x 0.1
b
度 x满足函数关系： k = ax +1.4, 0.1 x 10（ a,b是常数）．如图记录了两次实验的数据，根据上述

1, x 10
函数模型和实验数据，b的值是（参考数据： lg3 0.48）（ ）
A. 0.24 B. 0.48 C. 0.24 D. 0.48
8. 抛物线 y2 = 2 px ( p 0) 的焦点为 F ，过 F 作直线 l 交抛物线于点A ，交 y 轴于点 B ．若 F 恰为 AB
的中点，则直线 l 的斜率为（ ）
2 1
A. 2 2 B. C. 3 D.
4 3
2 *
9. 已知数列 an 的通项公式为 an = n 2 n (n N ) ， k *N ，当 n k 时，an ak 成立，则实数
的取值范围是（ ）
A. 1,+ ) B. ( ,1
3 3
C. , D. ,+
2 2
10. 在直角梯形 ABCD中， AB / /CD ， AB ⊥ BC ， AB = 2 ，CD =1， BC = a， P 为线段 AD （含端
点）上一个动点，设 AP = xAD, x [0,1]， PB PC = y，对于函数 y = f (x) ，则下列说法中正确的是
（ ）
A. 当 a =1时，函数 f (x) 在 (0,1) 上不是单调函数
B. a (0,+ )，函数 f (x) 的图象恒过两个定点
C. a (0,+ )，函数 f (x) 都有零点
D. 当 a = 2时，函数 f (x) 的值域为[1, 4]
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
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1
11. 函数 f (x) = 的定义域为____________．
lg (x 1)
π
12. 若函数 f (x) = sin( x + )的零点为 x = (1+ 3k)(k Z)，其中 0 ， | | ，则 =_____； =
6 2
_____.
13. 已知{ an }是公比为 q的等比数列，其前 n项和为 Sn ．若 S4 = 5S2 ，则 q＝___．
x + 4, x a
14. 已知：函数 f (x) = ，若函数 f (x) 的值域是R ，则a的一个取值为______；a2 的最小
x 2x, x a
值是______.
15. 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， AB = 2, E 为棱 DD 的中点， F 是正方形CDD1 1C1 内部（含边
界）的一个动点，且 B1F / / 平面 A1BE .给出下列四个结论：
①动点 F 的轨迹是一段圆弧；
②存在符合条件的点 F ，使得 B1F ⊥ A1B ；
2
③三棱锥 B1 D1EF 的体积的最大值为 ；
3
④设直线 B1F 与平面CDD1C1 所成角为 ，则 tan 的取值范围是 2, 2 2 .
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
1
16. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD是平行四边形， PA = AB = PC = 2，点 F 为 PD的中
2
点.
（1）已知点G 为线段 BC 的中点，求证：CF // 平面 PAG ；
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（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使四棱锥 P ABCD 唯一确定，
求：
（ⅰ）直线CD到平面 ABF 的距离；
（ⅱ）二面角C AB F 的余弦值.
条件①： PA ⊥平面 ABCD；
条件②： AD = 2 2 ；
条件③： 平面 PAB ⊥平面 PAD .
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
17. 某单位有 A，B两家餐厅提供早餐与午餐服务，甲、乙两人每个工作日早餐和午餐都在单位用餐，近
100 个工作日选择餐厅用餐情况统计如下（单位：天）：
选择餐厅（早餐，午餐） （A，A） （A，B） （B，A） （B，B）
甲 30 20 40 10
乙 20 25 15 40
假设用频率估计概率，且甲、乙选择餐厅用餐相互独立．
（1）估计一天中甲选择 2 个餐厅用餐的概率；
（2）记 X为一天中甲用餐选择的餐厅的个数与乙用餐选择的餐厅的个数之和，求 X的分布列和数学期望
E（X）；
（3）判断甲、乙两人在早餐选择 A餐厅用餐的条件下，哪位更有可能在午餐选择 B餐厅用餐？说明理
由．
1 2 2 2
18. 在 ABC 中， ABC 的面积为 sinC(c a b ) .
2
（1）求角C ；
（2）若 c = 2 3 ，且 AB 边上中线CD长为1，求 ABC 的周长.
x2 y2 3
19. 已知椭圆C : + =1(a b 0) 的长轴长为 4，离心率为 ．
a2 b2 2
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设 P 为椭圆的左顶点，过点G( 1,0) 不与 x轴重合的直线 l 交椭圆C 于两点M , N ，直线 x = 1分
别交直线 PM , PN 于点A 和点 B ．求证：以 AB 为直径的圆经过 x轴上的两个定点．
x
20. 已知函数 f (x) = xe x .
（1）求曲线 y = f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
（2）求 f (x) 的单调区间；
1
（3）设 t 0，若 f (es ) f (s t )对于 s (0,+ ) 恒成立，求 t 的最小值．
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21. 若无穷数列{an}满足：只要 a = a ( p,q
*
N )，必有a = a ，则称数列{an}p q p+1 q+1 具有性质 P ．
（1）若数列{an}具有性质 P ，且 a1 = 3,a2 = 2,a4 = 3 ， a5 + a6 + a7 = 4，求 a3 ；
（2）若数列{an}具有性质

P ，且 a x = y1 = am+1 = x,a2 = am+3 = y ， (m 2,m N ) ，求证： ；
（3）设数列{bn}是无穷数列，已知 an+1 = bn + sin a
*
n (n N ) .求证：“数列{bn}为常数列”是“对任意 a1 ，
an 都具有性质 P ”的充要条件．
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