3.1.3 空间向量的数量积
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．
掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；
掌握空间向量的坐标运算的规律；
【重点】利用两个向量的数量积解决立体几何中的问题．
【难点】空间向量的坐标运算的规律
一、自主学习
1预习教材P90~ P92, 解决下列问题
复习1：什么是平面向量与的数量积？
复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求.
导学提纲
1) 两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间 ，作，则叫做向量与的夹角，记作 .
⑴ 范围:
=0时, ;=π时,
⑵ 成立吗？
⑶ ，则称与互相垂直，记作 .
2) 向量的数量积：
已知向量，则 叫做的数量积，记作，即 .
⑴ 两个向量的数量积是数量还是向量？
⑵ （选0还是）
⑶ 你能说出的几何意义吗？
3) 空间向量数量积的性质：
（1）设单位向量，则．
（2） ．
（3） ＝ .
（4）=____________
4)空间向量数量积满足哪些运算律：_____________________________
⑴ 吗？举例说明.
⑵ 若，则吗？为什么
⑶ 若，则吗？为什么？
5)对空间的任意向量，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要___个向量？这几个向量有何位置关系？
空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、、，使. 如果两两 ，这种分解叫空间向量的___________.
空间向量基本定理：如果三个向量 ，对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把 的一个基底都叫做__________.空间任意一个向量的基底有 个.一个基底可以表示_____个空间向量？
如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用_________表示.
⑷空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着 .
⑸设A，B，则＝ .
⑹向量的直角坐标运算：
设a＝，b＝，则
⑴a＋b＝_________________；
⑵a－b＝_________________；
⑶λa＝__________________;；
⑷a·b＝_____________________.
试用向量方法证明直线与平面垂直的判断定理
二、典型例题
例1.1. 下列命题中：
①若，则，中至少一个为
②若且，则
③
④
正确有个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（ ）
A. B. C. D.
3. 若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且，则点B的坐标是
5.已知中，所对的边为，且,,则=
6.在三棱锥OABC中，G是的重心（三条中线的交点），选取为基底，试用基底表示＝
7. 已知，，且和不共线，当 与的夹角是锐角时，的取值范围是 .
8. 正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是 .
9. 已知向量满足，，，则____
10. 已知关于x的方程有两个实根，，且，
当t＝ 时，的模取得最大值.
例2 如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值
变式：如图，在正三棱柱ABC-ABC中，若 ( http: / / www.21cnjy.com )
AB=BB,则AB与CB所成的角为（ ）
A. 60° B. 90° C. 105° D. 75°
例3 如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．
例4 在平行六面体ABCD－A′B′C′ ( http: / / www.21cnjy.com )D′中，－*6]·＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q是CA′上的点，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：
（1） ； (2)；
(3) ； (4).
三、变式训练：课本第92页练习1-3，94页练习1-3题
四、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
3．能力：
五、课后巩固
1.课本第98页A组3、4题
2.已知空间四边形中，，，求证：.
3. 已知是空间的一个正交基底，向量是另一组基底，若在的坐标是，求在的坐标.3.2.1 立体几何中的向量方法（3）
____之求距离
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
1. 进一步熟练求平面法向量的方法；
2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；
3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.
【重点】利用直线的方向向量及平面的法向量解决距离问题.
【难点】掌握向量方法在实际问题中的灵活应用.
一、自主学习
1预习教材P107~ P110, 解决下列问题
复习1：已知，试求平面的一个法向量.
复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？什么是异面直线的距离？
导学提纲
点到平面的距离的求法：
如图A空间一点到平面的距离为,已知平面的一个法向量为,且与不共线,能否用与表示
设A空间一点到平面的距离为,平面的一个法向量为，则距离d=_______________.
求点到平面的距离的步骤：________________________________________.
直线到平面的距离，平面到平面的距离如何利用向量方法求解？可以利用如上公式吗？异面直线的距离呢？
3.异面直线的距离公式为________________________，如何推导？
二、典型例题
例1.1. 在棱长为1的正方体中，平面的一个法向量为 ；
2. 在棱长为1的正方体中，异面直线和所成角是 ；
3. 在棱长为1的正方体中，两个平行平面间的距离是 ；
4. 在棱长为1的正方体中，异面直线和间的距离是 ；
5. 在棱长为1的正方体中，点是底面中心，则点O到平面的距离是 .
6.已知正方形ABCD的边长为4 ( http: / / www.21cnjy.com )，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为______________.
7.已知直三棱柱的侧棱,底面中, ，且,是的中点,则异面直线与的距离为__________________.
例2.如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=4，M是棱CC1的中点，N是BB1的中点.
（1）求异面直线AB与A1M的距离.
（2）求直线AB与A1B1M所成的角.
（3）求平面CDN与平面A1B1M所成的角(用向量方法)
变式训练：（2010重庆理数）四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点。
(1)求直线AD与平面PBC的距离；
(2)若AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。
例3（2010四川理数）（18）
已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点.
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；
（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；
（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积.
变式训练：（2010山东理数）如图，在五棱锥P—ABCDE中，PA⊥平面ABCDE，AB∥CD，AC∥ED，AE∥BC， ABC=45°，AB=2，BC=2AE=4，三角形PAB是等腰三角形．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的大小；
（Ⅲ）求四棱锥P—ACDE的体积．
变式训练：课本第111页练习2
四、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
3．能力：
四、课后巩固
（1）课本第112页习题5题
课本第112页A组8题
课本第112页A组9题
课本第112页A组10.11.12题
（5）处理练习册3.1.2 空间向量的数乘运算
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；
理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题
【难点】理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
一、自主学习
1.预习教材P86~ P87, 解决下列问题
复习1：化简：
⑴ 5（）+4（）；
⑵ .
复习2：在平面上有两个向量， 若是非零向量，则与平行的充要条件是
导学提纲
空间任意两个向量有____种位置关系？如何判定它们的位置关系？任意两个向量的夹角的范围是______________
如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫_____________
对空间任意两个向量（）， 的充要条件是存在唯一实数，
使得 ______,为何要求？
如图，l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是
对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在 ， 使得 .
空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：
⑴ 存在 ，使
⑵ 对空间任意一点O，有
7.向量共面的充要条件的理解
（1）＝x＋y.满足这个关系式的点P都在平面MAB内；反之，平面MAB内的任一点P都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．
(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具．另外，在许多情况下，可以用“若存在有序实数组(x，y，z)使得对于空间任意一点O，有＝(1－t)＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1成立，则P、A、B、C四点共面”作为判定空间中四个点共面的依据．
二、典型例题
例1.1. 下列说法正确的是（ ）
A.与非零向量共线,与共线，则与共线
B. 任意两个相等向量不一定共线
C. 任意两个共线向量相等
D. 若向量与共线，则
2. 正方体中，点E是上底面的中心，若,则x＝ ，y＝ ，z＝ .
3. 若点P是线段AB的中点，点O在直线AB外，则 + .
4. 平行六面体, O为AC与BD的交点,则
5. 已知平行六面体，M是AC与BD交点，若，则与相等的向量是（ ）
A. ； B. ；
C. ； D. .
6. 在下列命题中：①若a ( http: / / www.21cnjy.com )、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为 （ ）.
A．0 B.1 C. 2 D. 3
7.下列等式中，使M,A,B,C四点共面的个数是（ ）
①
②
③
④.
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
例2. 已知平行六面体，点M是棱AA的中点，点G在对角线AC上，且CG:GA=2:1,设=，，试用向量表示向量.
变式：已知长方体，M是对角线AC中点，化简下列表达式：
⑴ ;
⑵
⑶
例3 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,,F,G,H,并且使
求证：E,F,G,H四点共面.
变式：已知空间四边形ABCD的四个顶点 ( http: / / www.21cnjy.com )A,B,C,D不共面，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点，求证：E,F,G,H四点共面.
三、变式训练：课本第89页练习1-3
四、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
3．能力：
五、课后巩固
1.课本第97页A组2题
2. 若，
，若，求实数.
3.已知两个非零向量不共线, . 求证：共面．3.1.4 空间向量运算的坐标表示
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；
2. 会用这些公式解决有关问题.
【重点】利用两个向量的基本公式解决立体几何中的问题．
【难点】空间向量的基本公式的应用
一、自主学习
1预习教材P95~ P97, 解决下列问题
复习1：设在平面直角坐标系中，A，B，则线段︱AB︱＝ .
复习2：已知，求：
⑴a＋B. ⑵3a－b； ⑶6a. ； ⑷a·b.
导学提纲
1) 向量的模：设a＝，则｜a｜＝
2) 两个向量的夹角公式：
设a＝，b＝，由向量数量积定义a·b＝|a||b|cos＜a,b＞，
又由向量数量积坐标运算公式：a·b＝ ，
由此可以得出：cos＜a,b＞＝
① 当cos＜a、b＞＝1时，a与b所成角是 ；
② 当cos＜a、b＞＝－1时，a与b所成角是 ；
③ 当cos＜a、b＞＝0时，a与b所成角是 ，
即a与b的位置关系是 ，用符合表示为 .
④ 设a＝，b＝，则
⑴ a//b a与b所成角是 a与b的坐标关系为 ；
⑵ a⊥ba与b的坐标关系为 ；
3) 两点间的距离公式：
在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的长度为：_____________________.
4) 线段定比分点的坐标公式：
（1）在空间直角坐标系中，已知点，，则线段AB的中点坐标为: .
（2）在空间直角坐标系中，平面中的定比分点坐标公式是否适用？已知点，，且,则P的坐标为：___________________.
二、典型例题
例1.1. 若a＝，b＝，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不不要条件
2. 已知，且，则x＝ .
3. 已知,与的夹角为120°，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 若，且的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知 ， 且，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 已知++＝，||＝2，||＝3，||＝，则向量与之间的夹角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．以上都不对
7.已知且与互相垂直，则的值是（ ）
A. .1 B. C. D.
8. 若A(m＋1，n－1,3)， B. (2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n=
例2 如图,在正方体中
点分别是的一个四等分点，求与所成的角的余弦值．
，求与所成角的余弦值．
例3在直三棱柱ABC—A1B1C1中，,点是的中点，求证：.
( http: / / www.21cnjy.com )
变式：正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长为2，底面边长为1，点M是的中点，在直线上求一点N，使得
三、拓展训练
例4棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D ( http: / / www.21cnjy.com )1中，P为DD1的中点，O1、O2、O3分别是平面A1B1C1D1、平面BB1C1C、平面ABCD的中心．
(1)求证：B1O3⊥PA；
(2)求异面直线PO3与O1O2所成角的余弦值；
(3)求PO2的长．
变式：直三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2，N是AA1的中点．
(1)求BN的长；
(2)求BA1，B1C所成角的余弦值．
四、变式训练：课本第97页练习1-3题
五、课后巩固
1.课本第98页A组5.6.7.8.9.10.11题
2..在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，
(1)求证：EF⊥B1C；
(2)求EF与C1G所成的角的余弦值；
(3)求FH的长.3.1.1 空间向量及其运算
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
【重点】能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题
【难点】会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
一、自主学习
1.预习教材P84～ P86, 解决下列问题
复习1：平面向量基本概念：
具有 和 的量叫向量， 叫向量的模（或长度）； 叫零向量，记着 ； 叫单位向量. 叫相反向量， 的相反向量记着 . 叫相等向量. 向量的表示方法有 ， ，和 共三种方法.
复习2：平面向量有加减以及数乘向量运算：
向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.
实数与向量的积：
实数λ与向量a的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝ .
(2)当λ＞0时，λa与b ；
当λ＜0时，λa与b ；
当λ＝0时，λa＝ .
3. 向量加法和数乘向量，以下运算律成立吗？
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
导学提纲
空间向量中的零向量，单位向量，相等向量分别如何表示：__________、_________、_____________.
分别用平行四边形法则和三角形法则求.
点C在线段AB上，且,则 , .
知识反思：可以发现平面向量和空间向量存在怎样的位置关系？
知识拓展
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面 ( http: / / www.21cnjy.com )内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移.
二、典型例题
例1、（1）给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆；
②若空间向量a、b满足|a|＝|b|，则a＝b；
③在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有AC=;
④若空间向量m、n、p满足m＝n，n＝p，则m＝p；
⑤空间中任意两个单位向量必相等．
其中假命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
（2） 化简下列各式：
⑴ ; ⑵
⑶ ⑷ .
⑸ ; ⑹ ;
⑺ .
例2. 已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
变式：在上图中，用表示和.
例3.在四面体ABCD中，M为BC的中点，Q为△BCD的重心，设AB=b AC=c AD=d，试用b，c，d表示向量，、，，和。
三、当堂练习
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 若∣∣=∣∣，则，的长度相同，方向相反或相同;
B. 若与是相反向量，则∣∣=∣∣;
C. 空间向量的减法满足结合律;
D. 在四边形ABCD中，一定有.
2. 长方体中，化简=
3. 已知向量，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）
A. B. 或
C. D. ∣∣=∣∣
4. 在四边形ABCD中，若,则四边形是（ ）
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 零向量没有方向
B. 空间向量不可以平行移动
C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等
D. 同向且等长的有向线段表示同一向量
6.在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N分别为BC,B'C'的中点，化简下列式子：
⑴ + ⑵－+
四、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
3．能力：
五、课后巩固
1.完成书86页练习
课本第97页A组1题3.2.1 立体几何中的向量方法（1）
____之求角
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；
2. 掌握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的计算方法.
【重点】利用直线的方向向量及平面的法向量解决空间角的问题.
【难点】利用直线的方向向量及平面的法向量解决空间角的问题.
一、自主学习
1预习教材P105~ P107, 解决下列问题
复习1：已知，，且，求.
复习2:什么叫直线和平面所成角？它的范围是什么？
复习3：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？
导学提纲
1. 求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式_____________.
2. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为利用公式____________求解.
3.空间直线与平面所成角如何转化？试推导出公式：___________________.
4.知识拓展
解空间图形问题时,可以分为三步完成:
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
二、典型例题
例1.1. 已知，则 .
2. 已知，则的夹角为 .
3. 若M、N分别是棱长为1的正方体的棱的中点,那么直线所成的角的余弦为（ ）
A. B. C. D.
4. 将锐角为边长为的菱形沿较短的对角线折成的二面角，则间的距离是（ ）
A. B. C. D.
5.正方体中棱长为，,是的中点，则为（ ）
A. B. C. D.
例2.如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点，
（1）求异面直线AB与A1M的夹角
（2）求直线BM与AA1M所成的角
（3）证明：平面ABM与平面A1B1M所成的角(用向量方法)
变式训练：（2010全国卷1理数）
如图，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上的一点，平面EDC平面SBC .
（Ⅰ）证明：SE=2EB；
（Ⅱ）求二面角A-DE-C的大小 .
例3（2010天津理数）
如图，在长方体中，、分别是棱,
上的点，,
求异面直线与所成角的余弦值；
证明平面
求二面角的正弦值。
变式训练：（2010浙江文数）如图，在平行 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。
（Ⅰ）求证：BF∥平面A’DE；
（Ⅱ）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A’DE所成角的余弦值。
变式训练：课本第107页练习2
四、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
3．能力：
四、课后巩固
（1）课本第111页习题1题
课本第112页A组4题
课本第112页A组6题
课本第112页A组10题
（5）处理练习册3.2.1 立体几何中的向量方法（1）
____之证明
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
1. 掌握直线的方向向量及平面的法向量的概念;
2. 掌握利用直线的方向向量及平面的法向量解决平行、垂直、夹角等立体几何问题．
【重点】掌握直线的方向向量及平面的法向量的求法.
【难点】利用直线的方向向量及平面的法向量证明几何问题.
一、自主学习
1预习教材P102~ P104, 解决下列问题
复习1： 可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？
复习2：如何判定空间A,B,C三点在一条直线上？
复习3：设a＝，b＝，a·b＝
导学提纲
向量表示空间的点、直线、平面
⑴ 点：在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量.
⑵ 直线：
① 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.
② 对于直线上的任一点,存在实数，使得，此方程称为直线的向量参数方程.
⑶ 平面：
① 空间中平面的位置可以由内两个不共线向量确定.对于平面上的任一点,是平面内两个不共线向量，则存在有序实数对,使得.
② 空间中平面的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置.
⑷ 平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作⊥，那 么向量叫做平面的法向量.
反思：
1.如果都是平面的法向量，则的关系 .
2.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则与的关系是 .
3. 一个平面的法向量是唯一的吗？（ ）
4. 平面的法向量可以是零向量吗？（ ）
5. 向量表示平行、垂直关系：
设直线的方向向量分别为，平面 的法向量分别为，则
① ∥__________________.
② ∥__________________.
③ ∥__________________.
④ __________________.
⑤ __________________.
⑥ __________________.
6.求平面的法向量步骤：______________________________________.
二、典型例题
例1.1. 设分别是直线的方向向量，则直线的位置关系是 _______.
2. 设分别是平面的法向量，则平面的位置关系是 .
3. 已知，下列说法错误的是（ ）
A. 若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
4.下列说法正确的是（ ）
A.平面的法向量是唯一确定的
B.一条直线的方向向量是唯一确定的
C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量
D.若是直线的方向向量，，则
5. 已知，能做平面的法向量的是（ ）
A. B. C. D.
例2.如图所示，在长方体中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点，
（1）证明：AB//平面A1B1M
（2）证明：BM⊥平面A1B1M
（3）证明：平面ABM⊥平面A1B1M(用向量方法)
变式训练：（2010北京理数）
如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC,EF∥AC,AB=，CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小。（3小问）
例3（2010辽宁理数）
已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC= AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.
变式训练：（2010安徽理数）
如图，在多面体中，四边形是正方形，∥，，，，，为的中点。
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(Ⅰ)求证：∥平面；
(Ⅱ)求证：平面；
(Ⅲ)求二面角的大小。
四、课后巩固
（1）课本第107页练习1题
（2）课本第98页A组2.3题
