§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
（1）了解空间中两条直线的位置关系；
（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；
（3）理解并掌握公理4；
（4）理解并掌握等角定理；
（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【重点】
1．异面直线的概念；
2．公理4及等角定理；
【难点】
1.异面直线所成角的计算；
一、复习回顾
平面的三个公理？
二、导学提纲
1.异面直线的概念及作法；
2.公理4；
3.空间角定理；
4.异面直线所成角的定义及取值范围；
5.空间直线平行或垂直的表示方法；
三、基础过关
1.例1：如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H
分别是AB,BC,CD,DA的中点，
求证：四边形EFGH是平行四边形；
变式训练：填空题
如图，AA`是长方体的一条棱，
长方体中与AA`平行的棱有______条；
如果OA∥O`A`，OB∥O`B`，
那么∠AOB和∠A`O`B`___________；
2.例2：如图，已知正方体ABCD-A`B`C`D`，
（1）那些棱所在直线与直线BA`是异面直线？
（2）直线BA`和CC`的夹角是多少？
（3）哪些棱所在的直线与直线AA`垂直？
变式练习2：如图，已知长方体中，，，．
（１）和所成的角是多少度？
（２）和所成的角是多少度？
方法、规律总结：
四、变式训练。
1. 若，是异面直线，，也是异面直线，则与的位置关系是（ ）
Ａ．异面 Ｂ．相交或平行 Ｃ．平行或异面 Ｄ．相交或平行或异面
如右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中
①与平行；
②与是异面直线；
③与成角；
④与垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
Ａ．①②③ Ｂ．②④ Ｃ．③④ Ｄ．②③④。
2. ，是异面直线，，是上两点，，是上的两点，，分别是线段和的中点，则和的位置关系是（ ）
Ａ．异面直线 Ｂ．平行直线 Ｃ．相交直线 Ｄ．平行、相交或异面
五、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
3．能力：
六、课后巩固
1．课本P51：A组第4题：（1），（2），（3），（6）；
2．课本P51：A组第5题；
3．课本P52：B组第1题；2.3.2 平面与平面垂直的判定
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
1. 理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小；
2. 理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；
3. 熟悉线线垂直、线面垂直的转化.
【重点】理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小
【难点】理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系
一、自主学习
1.预习教材P67～ P69, 找出疑惑之处
复习1：⑴若直线垂直于平面，则这条直线________平面内的任何直线；
⑵直线与平面垂直的判定定理为______________________________
复习2：⑴什么是直线与平面所成的角
⑵直线与平面所成的角的范围为_______________.
2.导学提纲
探究1：二面角的有关概念
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图11-1
问题：上图中，水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度.这两个角度的共同特征是什么
新知1：从一条直线出发的两个半平面所 ( http: / / www.21cnjy.com )组成的图形叫做_________，这条直线叫______，这两个半平面叫二面角的面.图11-2中的二面角可记作：_______________________.
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图11-2
问题：二面角的大小怎么确定呢？
新知2：如图11-3，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线，则射线和构成的
叫做__________________.平面角是直角的二面角叫_______________.
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图11-3
反思：⑴两个平面相交，构成几个二面角 它们的平面角的大小有什么关系？
⑵你觉的二面角的大小范围是多少？
⑶二面角平面角的大小和点的选择有关吗？除了以上的作法，二面角的平面角还能怎么作？
探究2：平面与平面垂直的判定
问题：教室的墙给人以垂直于地面的形象，想一想教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？它们的大小是多少？
新知3：两个平面所成二面角是直二面角，则这两个平面__________.如图11-4，垂直，记作.
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图11-4
问题：除了定义，你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢？
新知4：两个平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
反思：定理的实质是什么
二、典型例题
例1.如图11-5，是⊙的直径，垂直于⊙
所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，求证：平面平面.
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例2. 如图11-6，在正方体中，求面与面
所成二面角的大小（取锐角）.
图11-6
小结：求二面角的关键是作出二面角的平面角.
三、拓展探究
1. 如图11-7，在空间四边形中，
=90°，°，，
⑴求证：平面平面.
⑵求二面角的平面角的正弦值.
图11-7
2．二面角的平面角的一个常用作法：如图过平面内一点，作于点，再作于，连接，则即为所求平面角.(为什么 )
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四、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
3．能力：
五、课后巩固
1. 在正方体中，过的平面与过的平面的位置关系是（ ）.
A.相交不垂直 B.相交成60°角
C.互相垂直 D.互相平行
2. 二面角的大小范围是________________.
3. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它和这条斜线的位置关系为_______.
4．如图11-8，面，，设=
，，，求证：
( http: / / www.21cnjy.com )图11-8
5. 在正方体中，是棱与的中点，求面与面所成二面角的正切值.（取锐角）2.2.3习题课
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
1. 掌握线面与面面平行的判定定理和性质定理；
2. 能灵活运用判定定理和性质定理，掌握“线线、线面、面面”平行的转化.
【重点】灵活运用判定定理和性质定理，掌握“线线、线面、面面”平行的转化.
【难点】灵活运用判定定理和性质定理，掌握“线线、线面、面面”平行的转化.
一、自主学习
1.预习教材P54～ P61, 找出疑惑之处
复习1：直线与平面平行的判定定理是____ ( http: / / www.21cnjy.com )________________________________________________.
复习2：直线与平面平行的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )定理是______________________________________________________.
复习3：平面与平面平行的判定定理是__ ( http: / / www.21cnjy.com )__________________________________________________.
复习4：平面与平面平行的性质定理是__ ( http: / / www.21cnjy.com )__________________________________________________.
（注意文字语言和符号语言的转化）
二、典型例题
例1. （1）下列命题错误的是（ ）.
A.平行于同一条直线的两个平面平行或相交
B.平行于同一个平面的两个平面平行
C.平行于同一条直线的两条直线平行
D.平行于同一个平面的两条直线平行或相交
（2）平面上有不共线的三点到平面的距离相等，则与的
关系是（ ）
A.平行 B相交
C.垂直 D.不确定
（3）个平面把空间分成个部分，则（ ）.
A.三平面共线 B.三平面两两相交
C.有两平面平行且都与第三平面相交
D.三平面共线或者有两平面平行且都与第三平面相交
例2.如图所示，已知∥，，，，
求证：∥∥.
例3．设是单位正方体的面、面的中心，如图，
求证：⑴∥平面；⑵面∥面.
三、拓展探究
1．平行四边形的四个顶点、、、 分别在空间四边形的
四条边、、、上，又∥，则（ ）.
A.∥，不平行于 B.∥，不平行于
C.∥，∥ D.以上都不对
2．课本第61页1题
3．课本第62页2题
四、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
五、课后巩固
1．课本第63页1题
2．课本第62页6题
3．课本第63页3题
4．课本第63页4题
5．练习册第28页10题§2.1.3空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
（1）能说出空间中直线与平面的位置关系；空间中平面与平面的位置关系；
（2）培养空间想象能力。
（3）通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；
【重点】
空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系；
【难点】
用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系；
一、复习回顾
二、导学提纲
1．探究点一、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— ______________________
（2）直线与平面相交 ——_____________________________
（3）直线在平面平行 —— ______________________________
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为______________可用________表示
2．用图形来表示直线与平面有三种位置关系
3．平面与平面的位置关系有 ； 。
三、基础过关
例1：课本P49“例4”
变式练习1：课本P49：“练习”
变式练习2：课本P51：第4题：（4），（5）；
例2：下列命题中,正确命题的个数是
①平行于同一条直线的两个平面平行.
②平行于同一个平面的两个平面平行.
③一个平面内有一条直线与另一平面平行,则这两个平面平行.
④两个平面平行,则分别在这两个平面内的两条直线平行.
变式练习1：完成课本P50：“探究”
变式练习2：完成课本P50：“练习”
方法、规律总结：
四、变式训练
1、下列命题中正确的个数是（ ）
若直线上有无数个点不在平面内，则．
若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行．
如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．
若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点．
A． Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
2、如果直线平行于平面，则 （ ）
Ａ．平面内有且只有一直线与平行
Ｂ．平面内有无数条直线与平行
Ｃ．平面内不存在与平行的直线
Ｄ．平面内的任意直线与直线都平行
3、平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与的关系（ ）
A、平行 B、相交 C、平行或相交 D、以上都不对
方法、规律总结：
五、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
3．能力：
六、课后巩固
1、.直线，，那么直线与平面的位置关系（ ）
A．平行 B．在平面内 C．平行或在平面内 D．相交或平行
2、以下命题中错误的是（ ）
A. 如果两直线没有公共点，那么这两直线平行
B. 若直线与平面没有公共点，则它们平行
C. 若两平面没有公共点，则它们平行
D. 若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直
3、对于两条直线和平面，若，则“”是“”的 （ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4、已知，，则与的位置关系为 .
5、 下面四个正方体图形中，A、B为正方体 ( http: / / www.21cnjy.com )的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形序号是 （写出所有符号要求的图形序号）．
6、如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点。证明：；2.3.1 直线与平面垂直的判定
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
1. 理解直线与平面垂直的定义；
2. 掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用；
3. 理解直线与平面所成的角的概念，会求直线与平面所成的角.
【重点】掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用
【难点】理解直线与平面所成的角的概念，会求直线与平面所成的角
一、自主学习
1.预习教材P64～ P67, 找出疑惑之处
复习1：当两条直线的夹角为______，这两条直线互相垂直；它们的位置关系是_______或________.
复习2：如图10-1，直线，请你任意作出至少3条和垂直的直线，并感觉作出的直线中有和平面垂直的直线吗？
图10-1
2.导学提纲
探究1：直线和平面垂直的概念
问题：如图10-2，将三角板直立起来，并且让它的一条直角边落在桌面上，观察边与桌面的位置关系呈什么状态？绕着边转动三角板，边与始终垂直吗？在转动的过程中，把看作桌面上不同的直线，你能得出什么结论吗？
图10-2
新知1：如果直线与平面内的___________都垂直，就说______________，记做.叫做垂线，叫垂面，它们的交点叫垂足.如图10-3所示.
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图10-3
反思：⑴如果直线与平面内无数条直线都垂直，那么它和这个平面垂直吗？⑵用定义证明直线和平面垂直好证吗？你感觉难在哪里？
探究2：直线与平面垂直的判定定理
问题：如图10-4，将一块三角形纸片沿折痕折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(与桌面接触).观察折痕与桌面的位置关系.如何翻折才能使折痕与桌面垂直呢？
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图10-4
结论：当且仅当折痕是边上的高时，所在的直线与桌面所在的平面垂直.如下图所示.
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图10-5
反思：⑴折痕与桌面上的一条直线垂直时，能判断垂直于桌面吗
⑵如图10-5，当折痕时，翻折后,即.由此你能得出什么结论
新知2：直线和平面垂直的判定定理 :______________________________________
探究3：直线与平面所成的角
新知3：如图10-6，直线和平面相交但不垂直，叫做平面的________，和平面的交点叫_________；，叫做斜线在平面上的_____.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条________________.
直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是_____角.
二、典型例题
例1.如图10-7，已知∥，，求证：.
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图10-7
例2 如图10-8，在正方体中，求直线和平面
所成的角.
图10-8
三、拓展探究
1. 如图10-9，在三棱锥中，，
求证：.
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图10-9
2. 如图10-10，在Rt中，斜边，其射影，°,求与平面所成角的正弦值.
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图10-10
四、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
3．能力：
五、课后巩固
1．已知直线和平面，下列错误的是（ ）.
A. B.
C.∥或 D.∥
2.是异面直线,那么经过的所有平面（ ）.
A.只有一个平面与平行 B.有无数个平面与平行
C.只有一个平面与垂直 D.有无数个平面与垂直
3.两条直线和一个平面所成的角相等，则这两条直线的位置关系是________________.
4. 过所在平面外一点，作，垂足为，连接、、，若，，，则点在的什么位置？
5.如图10-11，在正方体中，是底面的中心，，为垂足，求证：面.
图10-112.3.5 直线、平面垂直的判定及其性质（练习）
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
1. 熟练掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质定理，能够灵活运用；
2. 掌握垂直关系中线线垂直、线面垂直、面面垂直的互化，掌握“平行”与“垂直”关系的相互转换；
3. 能求直线与平面所成的角及简单的二面角的平面角大小.
【重点】掌握垂直关系中线线垂直、 ( http: / / www.21cnjy.com )线面垂直、面面垂直的互化，掌握“平行”与“垂直”关系的相互转换；能求直线与平面所成的角及简单的二面角的平面角大小
【难点】掌握垂直关系中线线垂直、线面垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直、面面垂直的互化，掌握“平行”与“垂直”关系的相互转换；能求直线与平面所成的角及简单的二面角的平面角大小
一、自主学习
1.预习教材P64～ P72, 找出疑惑之处
复习1：直线与平面垂直的有关结论
⑴如果一条直线___________________________，则这条直线和这个平面垂直；
⑵线面垂直的判定定理是______________________________________________；
⑶两条平行线中的一条垂直于一个平面，则_______________________________；
⑷一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则______________________________；
⑸面面垂直的性质定理是________________________________________________.
复习2：平面与平面垂直的有关结论
⑴两个平面垂直的定义是_______________________________________________；
⑵两个面垂直的判定定理是___________________________________________.
复习3：⑴斜线和平面所成的角怎么作 直线和平面所成的角的范围是___________；
⑵二面角的定义是怎样的？它的平面角又是怎么作的
二、典型例题
例1.如图14-1所示，在正方体中，、Q、R、S分别为棱、、
、的中点.
求证：平面
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图14-1
小结：面面垂直通常转化为线面垂直(关键找到一个面内垂直于另一个面的线)，线面垂直又转化为线线垂直，线线垂直往往又用到线面垂直的定义.
例2 如图14-2所示，设、为异面直线，垂直于、，且与、分别交于、两点.
⑴为平面，若∥,∥,求证：；
⑵若，，，求证：∥
图14-（1） 图14-2（2）
小结：“平行”与“垂直”的转化；线面垂直的判定和性质定理的灵活运用.
例3 如图14-3，二面角的平面角是个锐角，点到、和棱的距离分别为、、.
⑴分别求直线与面和面所成的角;
⑵求二面角的大小.
图14-3
三、拓展探究
1. 在正方体中，求证：平面
平面.
2. 如图14-4，，，，
，求证：，.
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图14-4
四、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
3．能力：
五、课后巩固
1．，且∥，则直线和面是（ ）.
A. B.与相交或∥或
C. D.∥或
2. 过平面外一点：①存在无数条直线与平面平行②存在无数条直线与平面垂直③仅有一条直线与平面平行④仅有一条直线与平面垂直；其中正确结论的个数是（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3. 下列说法错误的是（ ）.
A.过一点和一个平面垂直的平面有无数个
B.过一个平面的一条垂线的所有平面都与此平面垂直
C.过一个平面的一条斜线的平面与此平面不垂直
D.二面角的任意一个平面角所在平面垂直于此二面角的两个面
4. 两个长方形所在平面互相垂
直，长宽如图所示，则
与的比值为________.
5. 正方体的棱
长为1，是的中点，则二面角的大小为________.
6. 如图14-5，，，
，求二面角大小.
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图14-5
7. 为所在平面外一点，平面，平面平面.求证：.§2.1.1平面
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
1．掌握平面的表示法，点、直线与平面的关系，有关平面的三个公理；
2．会用符号表示图形中点、直线、平面之间的关系；
【重点】
1.与平面有关的三个公理；
【难点】
2.三个公理的理解和应用；
一、自主学习
（一）复习回顾
阅读课本P40的“思考？”内容；
（二）导学提纲
阅读课本P40-43，并完成下列问题：
1.生活里的“平面”和几何里的“平面”的概念一样吗？
2.平面怎么画？怎么表示？
3.公理1：
公理2：
公理3：
4.你能举出生活中应用三个公理的例子吗？
二、基础过关
例1：用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的关系。
变式1：用符号表示下列语句
点A在平面α内，点B在平面α外
（2）直线l经过平面α外的一点M
例2 不共面的四点可以确定几个平面？共点的三条直线可以确定几个平面？
变式2：判断正误
1.经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面（ ）
2.如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合（ ）
方法、规律总结：
三、拓展研究
例3. 画出同时满足下列条件的图形：
，，，AB∥，CD∥
变式训练：
如右图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线:
AB没有被平面遮挡；
画出AB被平面遮挡；
方法、规律总结
四、课堂小结
1. 知识
2. 数学思想、方法
3. 能力
五、课后巩固
（一）完成课本P51第3题：
（二）完成以下试题
1．空间中ABCDE五点中，ABCD在同一平面内，BCDE在同一平面内，那么这五点（ ）
A共面 B不一定共面 C不共面 D以上都不对
2. 分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（ ）
Ａ．异面直线 Ｂ．相交直线 Ｃ．不相交直线 Ｄ．不平行直线
3. 三条直线相交于一点，可能确定的平面有（ ）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个或个
4．直线，在上取点，上取点，由这点能确定的平面有（ ）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
5．给出下列命题：
和直线都相交的两条直线在同一个平面内；
三条两两相交的直线在同一平面内；
有三个不同公共点的两个平面重合；
两两平行的三条直线确定三个平面．
其中正确命题的个数是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6．已知下列四个命题：
很平的桌面是一个平面；
一个平面的面积可以是m；
平面是矩形或平行四边形；
两个平面叠在一起比一个平面厚．
其中正确的命题有（ ）
Ａ．个 Ｂ．个 Ｃ．个 Ｄ．个
7.解答题：
已知正方体中，，分别为，的中点，，．求证：
（１），，，四点共面；
（２）若交平面于点，则，，三点共线．
P
α
β
l
a
b
α
β
A
B
a
l2.2.1 线面与面面平行的判定
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
1. 通过生活中的实际情况，建立几何模型，了解直线与平面平行的背景；
2. 理解和掌握直线与平面平行的判定定理，并会用其证明线面平行.
3. 能借助于长方体模型讨论直线与平面、平面与平面的平行问题；
4. 理解和掌握两个平面平行的判定定理及其运用；
【重点】直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用
【难点】直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理及应用
一、自主学习
1.预习教材P54～ P57,完成下列问题
复习：直线与平面的位置关系有______________，_______________，_________________.
讨论：直线和平面的位置关系中，平行是最重要的关系之一，那么如何判定直线和平面是平行的呢？根据定义好判断吗？
2.导学提纲
探究1：直线与平面平行的背景分析
实例1：如图，一面墙上有一扇门，门扇的两边是平行的.当门扇绕着墙上的一边转动时，观察门扇转动的一边与墙所在的平面位置关系如何？
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实例2：如图，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，观察封面边缘所在直线与桌面所在的平面具有怎样的位置关系？
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结论：
探究2：直线与平面平行的判定定理
问题：探究两个实例中的直线为什么会和对应的平面平行呢？你能猜想出什么结论吗？能作图把这一结论表示出来吗？
直线与平面平行的判定定理
定理：
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反思：思考下列问题
⑴用符号语言如何表示上述定理； ⑵上述定理的实质是什么？
探究3：两个平面平行的判定定理
问题1：平面可以看作是由直线构成的.若一平面内的所有直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行吗？由此你可以得到什么结论？
问题2：一个平面内所有直线都平行于另外一个平面好证明吗？能否只证明一个平面内若干条直线和另外一个平面平行，那么这两个平面就平行呢？
试试：在长方体中，回答下列问题
如下图，,∥面，则面∥面吗？
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⑵如下图6-2，∥，∥，∥，则∥吗？
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⑶如下图，直线和相交，且、都和平面平行(为什么)，则平面∥平面吗？
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反思：由以上3个问题，你得到了什么结论？
两个平面平行的判定定理 ：
如图所示，∥.
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反思：
⑴定理的实质是什么 ⑵用符号语言把定理表示出来.
二、典型例题
例1. 有一块木料如图5-4所示，为平面内一点，要求过点在平面内作一条直线与平面平行，应该如何画线？
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例2. 如图5-5，空间四边形中，分别是的中点，求证：∥平面.
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例3. 已知正方体，如图，求证：平面∥.
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三、拓展探究
1. 正方形与正方形交于，和
分别为和上的点，且，如图5-6
所示.求证：∥平面.
2. 如图，正方体中，分别是棱，，，的中点，
求证：平面∥平面.
四、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
五、课后巩固
1．如图在正方体中，为的中点，判断与平面的位置关系，并说明理由. ( http: / / www.21cnjy.com )
2．课本第62页A组3题 、7题、8题2.2.2线面与面面平行的性质
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
1. 掌握线面平行的性质定理和面面平行的性质定理；
2. 能灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化.
3. 灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线、线面、面面”平行
的转化.
【重点】掌握线面平行的性质定理和面面平行的性质定理；
【难点】能灵活运用判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化；
一、自主学习
1.预习教材P58～ P61, 找出疑惑之处
复习1：直线与平面平行的判定定理是________________________________________________.
复习2：两个平面平行的判定定理是___ ( http: / / www.21cnjy.com )______________________________________________；它的实质是由__________
平行推出__________平行.
讨论1：如果直线与平面平行，那么和平面内的直线具有什么样的关系呢？
讨论2：如果平面和平面平行,那么平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系
2.导学提纲
探究1：直线与平面平行的性质定理
问题1：如下图，直线与平面平行.请在图中的平面内画出一条和直线平行的直线.
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问题2：我们知道两条平行线可以确定一个平面(为什么 )，请在上图中把直线确定的平面画出来，并且表示为.
问题3：在你画出的图中，平面是经过直线的平面，显然它和平面是相交的，并且直线是这两个平面的交线，而直线和又是平行的.因此，你能得到什么结论 请把它用符号语言写在下面.
问题4：在图2中过直线再画另外一个平面与平面相交，交线为.直线,平行吗 和你上面得出的结论相符吗 你能不能从理论上加以证明呢
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图2
新知：直线与平面平行的性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线都与该直线平行.
探究2：平面与平面平行的性质定理
问题1：如图3，平面和平面平行，.请在图中的平面内画一条直线和平行.
图3
问题2：在图3中，把平行直线所确定的平面作出来，并且表示为.
问题3：在你所画的图中，平面和平面、是相交平面，直线分别是和、的交线，并且它们是平行的.根据以上的论述，你能得出什么结论？请把它用符号语言写在下面.
问题4：在图4中，任意再作一个平面与都相交，得到的两条交线平行吗？和你上面得出的结论相符吗？你能从理论上证明吗？
图4
新知：两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
二、典型例题
例1. 如图所示的一块木料中，棱平行于.
⑴要经过内的一点和棱将木料锯开,应怎样画线
⑵所画的线与平面是什么位置关系
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例2.如图，已知直线，平面，且∥，
∥，都在平面外.求证：∥.
例3．如图，∥，∥，且，
，.求证：.
例4. 已知平面∥平面,夹在之间，，，分
别为的中点，求证：∥，∥.(提示：注意的关系)
三、拓展探究
1. 下列命题中正确的个数有（ ）.
①若两个平面不相交，则它们平行；
②若一个平面内有无数条直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行；
③空间两个相等的角所在的平面平行.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2. 是不重合的直线，是不重合的平面：
①，∥，则∥ ②，∥，则∥
③，∥，则∥且∥
上面结论正确的有（ ）.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
四、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
五、课后巩固
1．如图，在所在平面外有一点，、分别是，过作平面平行于，试画出这个平面与其它各面的交线，并说明画法的依据.
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2．已知平面∥平面,，，直线与交于点，且,，,
⑴当在之间时，长多少？
⑵当不在之间时，长又是多少？
3．课本第63页2题 练习册26页8题§2.3.4 平面与平面垂直的性质
学习目标
1. 理解和掌握两个平面垂直的性质定理及其应用；
2. 进一步理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化及转化的数学思想.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P71~ P72，找出疑惑之处）
复习1：直线与平面垂直的性质定理是___________
___________________________________________.
复习2：直线与平面垂直的判定定理是___________
___________________________________________.
复习3：两个平面垂直的定义是什么
二、新课导学
※ 探索新知
探究：平面与平面垂直的性质
问题1：如图13-1，黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？
图13-1
问题2：如图13-2，在长方体中，面与面
垂直，是其交线，则直线与关系如何？直线与面呢？
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图13-2
反思：以上两个问题有什么共性？你得出了什么结论？请用图形和符号语言把它描述在下面，并试着证明这个结论.
新知：平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
反思：这个定理实现了什么关系的转化
※ 典型例题
例1 如图13-3，已知平面，，直线满足，，求证：∥面.
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图13-3
例2 如图13-4，四棱锥的底面是个矩形，
，侧面是等边三角形，且侧面垂直于底面.
⑴证明：侧面侧面；
⑵求侧棱与底面所成的角.
图13-4
※ 动手试试
练1. 平面平面，，过点作平面的垂线，求证：.
练2. 如图13-5，平面平面，，
∥，，求证：.
图13-5
三、总结提升
※ 学习小结
1. 两个平面垂直的性质定理及应用；可证明线面垂直、线线垂直、线在面内及求直二面角；
2. 判定定理和性质定理的交替运用，三种垂直关系的相互转化.
※ 知识拓展
两个平面垂直的性质还有：
⑴如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内一点且垂直于另外一个平面的直线,必在这个平面内；
⑵如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面；
⑶三个两两垂直的平面，它们的交线也两两垂直.
你能试着用图形和符号语言描述它们吗
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 下列命题错误的是（ ）.
A.内所有直线都垂直于
B.内一定存在直线平行于
C.不垂直内不存在直线垂直
D.不垂直内一定存在直线平行于
2. 已知，下列命题正确个数有（ ）.
①内的任意直线
②内的无数条直线
③内的任一直线必垂直于
A.3 B.2 C.1 D.0
3. 已知，，是的斜线，，则与的位置关系是（ ）.
A.∥ B. 与相交不垂直
C. D.不能确定
4. 若平面，直线，则与的位置关系为_____________________.
5. 直线、和平面、满足，,
，则和的位置关系为__________.
课后作业
1. 如图13-6，平面平面，，
，求证：.
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图13-6
2. 如图13-7，，,
，°，求证：面面.
图13-7第二章 点、直线、平面之间的位置关系（复习）
学习目标
1. 掌握空间点、直线、平面之间的位置关系；
2. 理解并掌握直线、平面平行的判定及其性质；
3. 理解并掌握直线、平面垂直的判定及其性质；
4. 能准确使用空间几何的数学语言表述几何对象的位置关系，体验公理化思想，熟悉将空间问题转化平面问题以及线、面位置关系转化的思想.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P2~ P3，找出疑惑之处）
复习1： 本章知识结构图
复习2： 空间平行和垂直关系的转化
二、新课导学
※ 典型例题
例1 如图15-1，，，
与分别在平面的两侧，，
，求证：、、 三点共线.
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图15-1
例2 如图15-2，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.
图15-2
※ 动手试试
练1. 证明：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
练2. 如图15-3，平面两两相交，为三条交线，且∥，证明：∥，∥.
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图15-3
练3. 如图15-4，在中，°，，
两点分别在上，使:=:
=,，现将沿折成直二角角，求：
⑴异面直线与所成角的大小；
⑵二面角的正切值.
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
图15-4
三、总结提升
※ 学习小结
1. 点、线、面的位置关系；平行和垂直的证明；角度的求解；
2. 各种定理的灵活运用，转化思想的运用.
知识拓展
欧氏几何 古希腊数学家欧 ( http: / / www.21cnjy.com )几里得在公元前300年完成了著作《几何原本》，共有十三卷，讲述了三角形全等条件、三角形边和角的大小关系、平行线理论、圆、内接和外切多边形、相似多边形理论、比例和算术的理论、立体几何知识，包含现代中学课程里初等几何的绝大部分内容，因此长期以来，人们都认为《几何原本》是两千多年来传播几何知识的标准教科书.属于《几何原本》内容的几何学，人们把它叫做欧几里得几何学，简称为欧氏几何.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1. 过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与面平行的直线有（ ）.
A.4条 B.6条 C.8条 D.12条
2. 在正方体中，下列结论错误的是（ ）.
A.∥平面 B.平面
C. D.与所成的角为°
3. 在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有
（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4. 两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是
____________.
5. 设直线，过平面外一点与、都成
°角的直线有且只有________条.
课后作业
1. 如图15-5，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∥CF，BCF=CEF=，AD=
，EF=2.
⑴求证：∥平面DCF；
⑵当的长为何值时，二面角的大小为？
图15-5
2. 如图15-6所示，在正方体中，求证：
⑴平面；
⑵与平面的交点是的重心（三角形三条中线的交点）.
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图15-6
平面(公理1、公理2、公理3、公理4)
线与线的位置关系
线与面的位置关系
面与面的位置关系
空间直线、平面的位置关系
相 交 交
交
平 行 行
交
异 面
交
相 交 交
交
平 行 行
交
在面内
交
平 行
交
相 交
交
异面直线
所成的角
斜线与平
面所成的角
二面角的
平面角
线与线平行
面与面平行
线与面平行
线与线垂直
线与面垂直
面与面垂直2.3.3 直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组合作，动手实践。
【学习目标】
1. 理解和掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用；
2. 了解反证法证题的思路和步骤；
3. 掌握平行与垂直关系的转化.
【重点】理解和掌握直线与平面垂直的性质定理及其应用
【难点】掌握平行与垂直关系的转化
一、自主学习
1.预习教材P70～ P72, 找出疑惑之处
复习1：直线与平面垂直的性质定理是___________
___________________________________________.
复习2：直线与平面垂直的判定定理是___________
___________________________________________.
复习3：①什么是二面角？什么是二面角的平面角？
②当两个平面所成的二面角____________时，这两个平面互相垂直.
复习4：两个平面垂直的判定定理是____________
___________________________________________.
复习5：①垂直于同一直线的两条直线的位置关系是____________；
②垂直于同一平面的两个平面的位置关系是___________.
2.导学提纲
探究：直线与平面垂直的性质定理
问题1：东升汇景酒店门口竖着三根旗杆，它们与地面的位置关系如何？你感觉它们之间的位置关系又是什么样的？
问题2：如图12-1，长方体的四条棱、、和与底面是什么关系？它们之间又是什么关系？
.
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图12-1
反思：由以上两个问题，你得出了什么结论？自己能试着证明吗？和其它同学讨论讨论，看看难在哪里？
问题3：如图12-2，黑板所在平面与地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直线与地面垂直？若存在，怎样画线？
图12-2
问题4：如图12-3，在长方体中，面与面
垂直，是其交线，则直线与关系如何？直线与面呢？
( http: / / www.21cnjy.com )
图12-3
反思：以上两个问题有什么共性？你得出了什么结论？请用图形和符号语言把它描述在下面，并试着证明这个结论.
二、典型例题
例1. 如图12-3，已知直线平面，直线平面，求证：∥.
( http: / / www.21cnjy.com )图12-4
小结：由于无法直接运用平行直线的判定知识来证明∥,我们假设不平行,进而推出“经过直线上同一点有两条直线与该直线垂直”的错误结论，说明假设不正确，即原命题正确：∥.这种证明命题的方法叫做“反证法”.
例2 判断下列命题是否正确，并说明理由.
⑴两条平行线中的一条垂直于某条直线，则另一条也垂直于这条直线；
⑵两条平行线中的一条垂直于某个平面，则另一条也垂直于这个平面；
⑶两个平行平面中的一个垂直于某个平面，则另一个也垂直与这个平面；
⑷垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
⑸垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
⑹垂直于同一个平面的两个平面互相平行.
小结：体会“平行”与“垂直”之间的转化.
例3 如图12-5，四棱锥的底面是个矩形，
，侧面是等边三角形，且侧面垂直于底面.
⑴证明：侧面侧面；
⑵求侧棱与底面所成的角.
图12-5
三、拓展探究
1.如图12-6，于点，于点，
，，且，求证：∥.
图12-6
2. 平面平面，，过点作平面的垂线，求证：.
3．如图12-7，是异面直线的公垂线（与都垂直相交的直线），，，，
求证：∥.
图12-7
4． 如图12-8，，,
，°，求证：面面.
图12-8
四、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
3．能力：
课后巩固
处理练习册
