1.3.1《柱体、锥体、台体的表面积与体积》导学案
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组讨论，合作探究。
【学习目标】
1．掌握柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式；
2．掌握简单几何体的体积与表面积的求法；
3．自主自发，极度热情，全力以赴。
【重点】柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用。
【难点】表面积和体积计算公式的应用。
一、自主学习
（一）复习回顾
1．斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤？
2．扇形的弧厂及面积公式？
（二）导学提纲
看课本第23页－26页，解决下列问题：
1．棱柱、棱锥、棱台表面积的计算
棱柱，棱柱，棱台是由若干个平面图形 ( http: / / www.21cnjy.com )围成的几何体，它们的表面积就是各表面的面积之和．我们可以把它们展开成一个平面图形，利用平面图形求面积的方法，求得它们的表面积．
2．圆柱、圆锥、圆台的表面积
（1）圆柱
圆柱的侧面展开图是一个_______
圆柱的表面积公式：______________________．
（2）圆锥
圆锥的侧面展开图是一个_________．
圆锥的表面积公式：_____________________．
（3）圆台
圆台的侧面展开图是一个_________．
圆台的表面积公式：____________________．
3．圆柱、圆锥、圆台的表面积公式间的转化
圆柱 圆台 圆锥
________________________________________________________________
思路点拨：
(1)在解题过程中，应注意分清要求的是底面积、侧面积还是表面积．
(2)将空间图形问题转化为平面图形问题，是立体几何中最基本的，也是最常用的方法．
4．柱体的体积公式：_______________．
圆柱的体积公式还可进一步表示为：____________．
5．锥体的体积公式：______________．
圆锥的体积公式还可进一步表示为：______________．
6．台体的体积公式：________________________．
圆台的体积公式还可进一步表示为：__________．
7．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
柱体 台体 锥体
________________________________________________________________
8．证明圆台的侧面积公式和台体的体积公式。
思路点拨：
将一些不规则的几何体进行补形或者将一 ( http: / / www.21cnjy.com )些组合体进行分割，转化成一些规则的几何体，是求体积的一种重要思想方法．例如，常见的将三棱柱补成四棱柱，四棱锥分割成三棱锥，再利用四棱柱、三棱锥的特殊性求体积，是经常用的割补形式．
二、基础过关
例1．（1）正方体的表面积是96，则正方体的体积是（ ）
A. B.64 C.16 D.96
（2）圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为（ ）
A.π B.2π C.3π D.4π
（3）正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则这个正三棱锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
（4）两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是（ ）
A.1∶2∶3 B.1∶7∶19 C.3∶4∶5 D.1∶9∶27
（5）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
（6）若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）
A. B. C. D.
（7）已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是____________.
例2．有一堆规格相同的铁制（铁的密度是 ( http: / / www.21cnjy.com )7.8 g/cm3）六角螺帽共重5.8 kg，已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm，高为10 mm，问这堆螺帽大约有多少个 （π取3.14）
例3．在边长为的正方体中，分别是棱上的点，且满足，，（如图1），试求三棱锥的体积．
方法、规律总结：
例4．如图2，在三棱柱中，分别为的中点，平面将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．
方法、规律总结：
三、拓展探究
例5．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a＞0).用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是___________.
四、变式训练
课本第27页1－2题
六、课后巩固
1．课本第28页A组1题 2．课本第28页A组2题
3．课本第28页A组3题 4．课本第29页A组4题
5．课本第29页A组5题1.1.2《简单组合体的结构特征》导学案
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．多观察现实生活中的组合体实物；
3．小组讨论，合作探究。
【学习目标】
1．认识简单组合体的结构特征；
2．根据对简单组合体的结构特征的描述，说出几何体的名称；
3．学会观察、分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力；
4．自主自发，极度热情，全力以赴。
【重、难点】描述简单组合体的结构特征。
一、自主学习
（一）复习回顾
棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征？
（二）导学提纲
看课本第6页－7页，解决下列问题：
1．课本图1.1-11中（1）（2 ( http: / / www.21cnjy.com )）物体表示的几何体是由简单几何体 而成；如课本图1.1-11中（3）（4）物体表示几何体是由简单几何体 而成。
2．请描述如图所示的组合体的结构特征.
3．请指出下列几何体是由哪些简单几何体组合而成的.
4．如图所示，已知梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＜BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成的一个几何体，试描述该几何体的结构特征.
二、基础过关
例1．（1）有一粒正方体的骰子每一个 ( http: / / www.21cnjy.com )面有一个英文字母，如图所示，从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是___________.
( http: / / www.21cnjy.com )
（2）一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，如图所示，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中∠ABC=____________.
（3）长方体AC1的长、宽、高分别为3、2、1，从A到C1沿长方体的表面的最短距离为（ ）
A. B. C. D.
（4）如图所示，已知正三棱柱ABC—A ( http: / / www.21cnjy.com )1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为_________.
例2．如图5，圆锥的侧面展开图是半径为cm的半圆，一只蚂蚁沿圆锥侧面从点向点爬行，问：
（1）爬到点时，蚂蚁爬过的最短路程；
（2）当爬行路程最短时，求爬行过程中离圆锥顶点的最近距离．
三、拓展探究
例3．如图，甲所示为一几何体的展开图.
（1）沿图中虚线将它们折叠起来，是哪一种几何体？试用文字描述并画出示意图.
（2）需要多少个这样的几 ( http: / / www.21cnjy.com )何体才能拼成一个棱长为6 cm的正方体？请在图乙棱长为6 cm的正方体ABCD—A1B1C1D1中指出这几个几何体的名称.
例4．连接正方体的相邻各面的中心（所谓中心是指各面所在正方形的两条对角线的交点），所得的一个几何体是几面体？并画图表示该几何体.
四、变式训练
课本第7页1题
五、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
3．能力：
六、课后巩固
1．课本第9页A组3题 2．课本第9页A组4题
3．课本第9页A组5题 4．课本第10页B组1题
5．课本第10页B组2题《本章小节与复习》导学案
【使用说明及学法指导】
1．自己整理本章知识点及其相互联系；
2．小组讨论，合作探究。
一、自主学习
1．阅读课本第34页。
2．整理本章知识点及其相互联系。
二、基础过关
例1．（1）如图所示，在正方体ABCD— ( http: / / www.21cnjy.com )A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是右图中的____________.
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
（2）若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的（ ）
A.倍 B.2倍 C.倍 D.倍
（3）面积为的等边三角形绕其一边中线旋转所得圆锥的侧面积是 ．
（4）三棱锥V—ABC的中截面是△A1B1C1，则三棱锥V—A1B1C1与三棱锥A—A1BC的体积之比是（ ）
A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8
（5）如图所示，一个空间几何体的正视图、侧 ( http: / / www.21cnjy.com )视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）
A.1 B.
C. D.
（6）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可得这个几何体的体积是（ ）
A. cm3 B.cm3
C.2 000 cm3 D.4 000 cm3
（7）三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ）
A.1倍 B.2倍 C.倍 D.倍
例2．设球O的半径为5，一个内接圆台的上、下底面半径分别为3和4，求这个圆台的体积．
例3．（07广东文）已知某几何体的俯视图是 ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.
（1）求该几何体的体积V；
（2）求该几何体的侧面积S.
例4．圆台上底面半径为5cm，下底面半径为10cm，母线（在上底面，在下底面）长为20cm，从中点拉一根绳子绕圆台侧面转到，求绳子最短的长度，并求绳子上各点与上底圆周距离的最小值．
三、拓展探究
例5．正方体的截面可能是___________________________________________
例6．（05湖南竞赛）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为_____________.
四、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
3．能力：
五、课后巩固
课本第35--37页复习参考题1.3.2《球的表面积和体积》导学案
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组讨论，合作探究。
【学习目标】
1．能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题；
2．培养学生的空间思维能力和空间想象能力；
3．自主自发，极度热情，全力以赴。
【重点】球的表面积和体积公式的应用。
【难点】关于球的组合体的计算。
一、自主学习
（一）复习回顾
1．柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式？
2．球的截面的性质？
（二）导学提纲
看课本第27页－28页，解决下列问题：
1．球的表面积公式：____________________．
2．球的体积公式：_________________．
思路点拨：
关于球的组合体的计算，常过切（接）点作二者的公共轴截面图，将立体图形转化为平面图形研究。此外，球的组合体问题还常用分割与补形的思想。
二、基础过关
例1．（1）（05全国1）一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2）（05湖北文）木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）
A．60倍 B．60倍 C．120倍 D．120倍
例2．有3个球，一个切正方体各面，一个切正方体各棱，一个过正方体各顶点，分别求着3个球的表面积之比和体积之比。
方法、规律总结：
例3．若从球的表面上一点出发的三条两两互相垂直的弦，其长度分别为，求证：球的半径
方法、规律总结：
例4．已知正四面体ABCD的棱长为
（1）求该正四面体的外接球的表面积； （2）求该正四面体的内切球的体积。
方法、规律总结：
例5．有一个轴截面为正三角形 ( http: / / www.21cnjy.com )的圆锥容器，内放一个半径为R的内切球，然后将容器注满水，现把球从容器中取出，水不损耗，且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体，问容器中水的高度为多少？
方法、规律总结：
三、拓展探究
例6．半径均为，且两两相切的4个球，分上、下两层放在水平桌面上，下面放3个，上面放1个，求上面一个球的球心到桌面的距离。
方法、规律总结：
四、变式训练
课本第28页1－3题
五、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
3．能力：
六、课后巩固
1．课本第29页B组1题
2．课本第30页B组2题
3．课本第30页B组3题1.2.1《中心投影与平行投影》、1.2.2《空间几何体的三视图》导学案
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．动手做投影实验；
3．小组讨论，合作探究。
【学习目标】
1．理解三视图的含义，能画出简单几何体的三视图，掌握画法规则；
2．能根据三视图，运用空间想象能力，识别并说出它所表示的空间图形；
3．自主自发，极度热情，全力以赴。
【重点】画出简单组合体的三视图。
【难点】识别三视图所表示的空间几何体。
一、自主学习
（一）复习回顾
几何体的结构特征？
（二）导学提纲
看课本第11页－14页，解决下列问题：
1．_______________________________________________________叫做投影，投影分为_____________、______________，其特点分别是
_____________________________________、_____________________________________。
2．在平行投影下，与投影面平行的平面图形留下 ( http: / / www.21cnjy.com )的影子和原平面图形是___________________；在中心投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子和原平面图形是___________________。
3．空间几何体的三视图是指 、 、 。
4．正视图、侧视图、俯视图分别是从 、 、 观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。
5．正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的 和 ；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的 和 .
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的 和 ；
6．三视图的排列规则是 放在正视图的下方，它们的 一样；
放在正视图右边，它们的 一样；侧视图和俯视图的 一样。
二、基础过关
例1．（1）直线的平行投影可能是（ ）
A．点 B．线段 C．射线 D．曲线
（2）下列各项不属于三视图的是（ ）
A.正视图 B.侧视图 C.后视图 D.俯视图
（3）两条相交直线的平行投影是（ ）
A.两条相交直线 B.一条直线
C.两条平行直线 D.两条相交直线或一条直线
（4）如图(1)所示，E、 ( http: / / www.21cnjy.com )F分别为正方体面ADD′A′、面BCC′B′的中心，则四边形BFD′E在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)的________
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
(1) (2)
（5）如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个圆及其圆心，那么这个几何体为（ ）
A.棱锥 B.棱柱 C.圆锥 D.圆柱
（6）如图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
甲 乙 丙
①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱
A.④③② B.②①③ C.①②③ D.③②④
（7）下列各图，是正六棱柱的三视图，其中画法正确的是（ ）
（8）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
（9）某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱台 D.三棱台
（10）如图，图（1）、 ( http: / / www.21cnjy.com )（2）、（3）是图（4）所表示的几何体的三视图，其中图（1）是 ，图（2）是 ，图（3）是 。（说出视图名称）
例2．如图是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状.
例3．画出如图所示正四棱锥的三视图.
例4．画出下图所示的几何体的三视图.
方法、规律总结：
三、拓展探究
例5．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是（ ）
A.8 B.7 C.6 D.5
四、变式训练
课本第15页1－4题
五、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
3．能力：
六、课后巩固
1．课本第20页A组1题
2．课本第21页A组2题
3．课本第22页B组3题1.1.1《柱、锥、台、球的结构特征》导学案
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．多观察空间实物及模型；
3．小组讨论，合作探究。
【学习目标】
1．会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征；
2．能根据几何结构特征对空间物体进行分类；
3．培养观察能力；提高空间想象能力和抽象括能力；
4．自主自发，极度热情，全力以赴。
【重点】柱、锥、台、球的结构特征。
【难点】空间想象能力。
一、自主学习
（一）导学提纲
看课本第2页－6页，解决下列问题：
1． 叫多面体，
叫多面体的面， 叫多面体的棱， 叫多面体的顶点。
2． 叫旋转体，
叫旋转体的轴。
3．棱柱、棱锥、棱台的结构特征比较
结构特征 棱柱 棱锥 棱台
定义
底面
侧面
侧棱
平行于底面的截面
过不相邻两侧棱的截面
4．圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征比较
结构特征 圆柱 圆锥 圆台 球
定义
底面
侧面展开图
母线
平行于底面的截面
轴截面
5．简单几何体的分类：
（二）知识拓展
1．规定：在多面体中，不在同一面上的两 ( http: / / www.21cnjy.com )个顶点的连线叫做多面体的对角线，不在同一面上的两条侧棱称为多面体的不相邻侧棱，侧棱和底面多边形的边统称为棱.
2．特殊的棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱称为 ( http: / / www.21cnjy.com )斜棱柱；侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱；底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体；侧棱垂直于底面的平行六面体叫做直平行六面体；底面是矩形的直平行六面体叫做长方体；棱长都相等的长方体叫做正方体。其中长方体对角线的平方等于同一顶点上三条棱的平方和。
3．特殊的棱锥：如果棱锥的底 ( http: / / www.21cnjy.com )面为正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形，那么这样的棱锥称为正棱锥，正棱锥各侧面底边上的高均相等，叫做正棱锥的斜高；侧棱长等于底面边长的正三棱锥又称为正四面体.
4．特殊的棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形，正棱台各侧面等腰梯形的高称为正棱台的斜高.
5．特殊的多面体：把一个多面体的任一个 ( http: / / www.21cnjy.com )面伸展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体。每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫正多面体。正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。
6．球心与球的截面圆心的连线垂直于截面.
二、基础过关
例1．（1）如图，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A.（1）是棱台 B.（2）是圆台 C.（3）是棱锥 D.（4）不是棱柱
（2）下列说法错误的是（ ）
A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形
（3）下列命题中正确的是（ ）
A.棱台各侧棱的延长线交于一点
B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C.连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线
D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
（4）下列几个命题中，
①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台;
②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台;
③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体;
④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱.
其中正确的有__________个.（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
（5）下列说法中不正确的是（ ）
A 棱与侧棱是同一概念 B 三棱锥与四面体是同一概念
C四棱柱有4条体对角线 D 存在这样的棱锥，它的各个面都是直角三角形
（6）一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为______cm.
例2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径.
方法、规律总结：
三、拓展探究
例3．有两个面互相平行，其余各面是平行四边形的几何体是棱柱吗？如果不是，请举例说明。
例4．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？如果不是，请举例说明。
四、变式训练
课本第7页2题
五、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
3．能力：
六、课后巩固
1．课本第8页A组1题
2．课本第9页A组2题1.2.3《空间几何体的直观图》导学案
【使用说明及学法指导】
1．先自学课本，理解概念，完成导学提纲；
2．小组讨论，合作探究。
【学习目标】
1．体会平面图形和空间图形的直观图的含义；
2．结合画直观图的实例，掌握直观图的斜二测画法及步骤；
3．会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图；
4．会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间图形的直观图
5．自主自发，极度热情，全力以赴。
【重点】用斜二测画法画空间几何体的直观图。
【难点】直观图和三视图的互化。
一、自主学习
（一）复习回顾
正视图、俯视图、侧视图的概念、特点、相互联系？
（二）导学提纲
看课本第16页－19页，解决下列问题：
1．按平行投影法，把空间图形在纸上 ( http: / / www.21cnjy.com )或黑板上画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系（主要是长、宽、高三个方面的），我们把这种投影图叫做__________.
2．认真阅读理解例1、例2的画法步骤，并总结用斜二测画法画空间图形的直观图的关键点：坐标系的夹角为 ，坐标系和的夹角均为 ，图形中平行于轴、轴或轴的线段，在直观图中分别画成 于轴、轴或轴的线段。平行于轴和轴的线段，在直观图中长度 ；平行于轴的线段，长度变为原来的 。
二、基础过关
例1．如下说法不正确的有
A．长度相等的线段，在直观图中长度仍相等
B．若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直
C．画与直角坐标系对应的时，必须是45°
D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
例2．用斜二测画法画出水平放置的正五边形的直观图。
例3．用斜二测画法画出底面边长为6，高为4的正三棱锥的直观图。
例4．用斜二测画法画出底面边长为3，高为4的正四棱柱的直观图。
例5．如图，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.
三、拓展探究
例6．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.
方法、规律总结：
例7．（1）一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是（ ）
A. B. C. D.都不对
（2）一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于（ ）
A. B. C. D.
四、变式训练
课本第19--20页1、2、3、5题
五、课堂小结
1．知识：
2．数学思想、方法：
3．能力：
六、课后巩固
1．课本第21页A组4题
2．课本第21页A组5题
3．课本第20页练习第4题
