河北省2024-2025学年高三上学期大数据应用调研联合测评（I）数学试题（图片版，含答案）

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河北省2025届高三年级大数据应用调研联合测评(Ⅰ)
数学参考答案及解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B A C C A C D B ACD ABC ABD
1.B 【解析】因为N={x|x<1},所以 RN= x|x≥1 ,又因为M= x|-3≤x≤3 ,
所以( RN)∩M= x|1≤x≤3 ,故选B.
4+2i 4+2i (1-2i) 8-6i 10
2.A 【解析】因为z(1+2i)=4+2i,所以z= = = ,所以 z = =2,故选1+2i 5 5 5 A.
3.C 【解析】因为a-2b=(2,2-2x),又因为 ,所以 ,所以
1
a-2b ∥b 2-2x=2x x= ,故选2 C.
4.C 【解析】设等比数列 an 的公比为q,
a2=64, a =8,
由a3·a5=64,
4 4
a4·a6=256,得 又因为各项均为正数,所以a25=256, a5=16,
, a
(1-q10)
所以q=2a1=1.S10=
1
1- =1023.
故选C.
q
5.A 【解析】∵sin(α+β)=2cos(α-β),∴sinαcosβ+cosαsinβ=2cosαcosβ+2sinαsinβ,
等号两边同时除以cosαcosβ,得到tanα+tanβ=2+2tanαtanβ,
即 tanα+tan 1 tanα+tan 1 2tanαtanβ=
β-1=- ,∴tan α+ ββ = = = ,故选2 2 1-tanαtanβ 1- 1 3
A.
-2
(2 2
【解析】由已知圆台的体积为π2+4+2×4
)× 7 287π,设该球的半径为 ,则4πR
3 287π
6.C 3 = 3 R 3 =
,
3
∴R= 7,所以该球的表面积S=4πR2=28π,故选C.
7.D 【解析】6名教师选出3人分别到A,B,C 三所学校的方法共有A36=120种.甲、乙2名教师不能到A
学校,且丙教师不能到B 学校的第一种情况:若丙去A 校,有A25=20种选法;第二种情况,若丙不去A
校,则A 校有C1 种选法,B 校有C1 种选法,C 校有C1 种选法,共有C1 13 4 4 3C4C14=48种,所以一共有20+
种 所以概率 68 1748=68 . P= ,故选120=30 D.
8.B 【解析】M(x)=f(x),即f(x)≥g(x)恒成立,设h(x)=f(x)-g(x)=xx-xlnx-a≥0恒成立,
设h(x)=exlnx-xlnx-a,令t=xlnx,则
1
t' x =lnx+1=0,解得x= ,x∈ ,1e 0 ,e t' x <0,t(x)
单调递减,x∈(e,+ )时,t' x >0,t(x)单调递增,
1
t x ≥t 1e =-e.
h(x)=exlnx-xlnx-a=et-t-a,令s(t)=et-t-a 1t≥- ,s'(t)=et-1=0,∴t=0,e
∴t∈ 1- ,0 时,s(t)单调递减,t∈(0,+ )时,s(t)单调递增,∴s(t)≥s(0)=1-a≥0,∴a≤1.所以实e
数a 的最大值为1.故选B.
9.ACD 【解析】对于A,由正态分布的期望公式得,E(X)=μ,故A正确;
对于B,由正态分布的方差公式得,D(X)=σ21,故B错误;
高三数学参考答案 第 1页(共6页)
{#{QQABIYKAggCoAIJAABhCQwW6CAAQkACACagGxEAMoAAAwAFABAA=}#}
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对于C,由正态分布的对称性得,P(X≤1)=P(X≥3),
所以P(X≤1)+P(X≤3)=P(X≥3)+P(X≤3)=1,故C正确;
对于D,由σ 2 21=2,σ2=3,则σ1=4,σ2=9,
根据方差的性质知,X 分布更集中,所以P(X-μ1 ≤1)>P(Y-μ2 ≤1),故D正确.故选ACD.
10.ABC 【解析】因为x=a,x=b为函数f(x)的零点,且x=a 为函数f(x)的不变号零点,由数轴标根
法可得a=1,故A正确.∴f(x)=(x-1)2(x-b),f'(x)=(x-1)(3x-2b-1)=0,
, 2b+1 2b+1∴x1=1x2= ,∴ , ,所以 正确3 3 =3 ∴b=4 B .
(
由以上分析可得当 2b+1时取得极小值,且 2b+1 4b-1)
3 Z
x= 3 f 3 =-
,
27
C
f(x)的大致图象如图,  
( )3 0 Y
由 () 4b-1f x +4=0有三个解,则- 27 <-4
,解得b>4,故C正确.
由以上分析可得2b+1>1,∴x∈ - ,1 时,f(x)单调递增,因为3 0时,x>x2,所以f(x)>f(x2),所以D错误.故选ABC.
11.ABD 【解析】由题意,已知C 过坐标原点O,将O(0,0)代入 (x+a)2+y2· (x-a)2+y2=4,得
a=2,所以A正确.
由图象,令y=0,得x=0,或±22,所以B正确.
由 PF1 + PF2 ≥2 PF1 · PF2 =4,当且仅当 PF1 = PF2 =2时等号成立,
△PF1F2 周长的最小值为 PF1 + PF2 + F1F2 =8,
而此时P 0,0 ,不能构成三角形,即最小值不是8,所以C错误.
因为 PF1 PF2 =4,则 (x+2)2+y2· (x-2)2+y2=4,则 (x+2)2+y2 · (x-2)2+y2 =16,
即(x2+y2+4)2-16x2=16,得y2= 16+16x2-x2-4=4 x2+1-x2-4,设 x2+1=t(t∈[1,3]),
所以y2=4t-t2-3,则当t=2时,y2 有最大值1,所以S△PF F 有最大值为
1
2×4×1=2
,所以S△PF F ≤2,1 2 1 2
所以D正确.故选ABD.
【答案】 712. 2
b2【解析】∵ a2 2
3 3 11 11
+b =c,所以 = ,PF2 = ,PF1 = PF2 = ,又因为a 2 2 3 2 PF1 - PF2 =
11 3 c 7
2-2=4=2a
,∴a=2,b2=3,c2=7,c= 7,所以离心率e=a=2.
13.【答案】 2
【解析】 2∵y'=1- ,设M x0,y0 ,所以曲线y=x-2lnx+1在点x M x0
,y0 处的切线的斜率为1-
2, y -1 x直线MN 的斜率为k= 0 = 0
-2lnx0+1-1 x0-2lnx= 0,当曲线在点M x0,y0 处的切线与x0 x0 x0 x0
直线MN 垂直时,
x -2lnx
MN 最小,即 21- 0 0 =-1,即 x -2 (x -2lnx )+x2x 0 0 0 0=0,设0 x0
g(x)= x-2 (x-2lnx)+x2,因为g(1)=0,
() 4 4 4g'x =4x-2lnx+x-4≥4x-2
(x-1)+x-4=2x+x-2≥42-2>0
,
高三数学参考答案 第 2页(共6页)
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∴g(x)在(0,+ )上单调递增,∴x0=1,M 1,2 时 MN 最小,最小值为 12+(2-1)2= 2.所以答
案为 2.
14.【答案】1024
【解析】考虑 M,N 将集合P= 1,2,3,4,5 划分为4个集合,A1=P-(M+N),A2=M-N,A3=
N-M,A4=MN,接下来将集合P 中的元素逐一安排到集合A1,A2,A3,A4 中即可得所求总数为45=
210=1024.故答案为1024.
15.【解】(1)由sin(A+B)=sinC=23sin2
C,
2
C C C
∴2sin cos =23sin2 ,………………………………………………………………………… (2 2 2 2
分)
又0C π C
0< , ,2<2 ∴sin2>0
C 3, C π∴tan = ∴ = ,……………………………………………………………………………… ( 分)2 3 2 6 5
所以 πC= . …………………………………………………………………………………………… (3 6
分)
( 1
3
2)由已知可得,S= absinC= (4b2+a2),……………………………………………………… (2 16 7
分)
可得4b2+a2-4ab=0,∴(2b-a)2=0,∴a=2b. ………………………………………………… (9分)
又由余弦定理可得 πc2=3=b2+a2-2abcos ,化简得,3 b
2+a2-ab=3,
联立解得b=1,a=2,………………………………………………………………………………… (11分)
所以△ABC 的周长为3+ 3. ……………………………………………………………………… (13分)
16.【解】(1)证明:因为PD⊥底面ABCD,BC 底面ABCD,
所以PD⊥BC.
因为四边形ABCD 为矩形,所以DC⊥BC.
因为PD∩DC=D,所以BC⊥平面PCD. ………………………………………………………… (2分)
因为DE 平面PCD,所以BC⊥DE.
在△PCD 中,PD=CD,E 是PC 的中点,则DE⊥PC.
因为BC∩PC=C,所以DE⊥平面PBC.…………………………………………………………… (4分)
因为PB 平面PBC,所以DE⊥PB.
又因为DF⊥BP,DF∩DE=D,
所以BP⊥平面DEF.………………………………………………………………………………… (5分)
因为EF 平面DEF,所以BP⊥EF. ……………………………………………………………… (6分)
(2)方法一:以D 为坐标原点,分别以DA,DC,DP 所在直线为x,y,z 轴建立如图所示空间直角坐标
系, ……………………………………………………………………………………………………… (7分)
[
1
' &
% Z
$
"
Y #
高三数学参考答案 第 3页(共6页)
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设BC=x,
则D(0,0,0),B(x,2,0),E(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),
所以DB→= x,2,0 ,DE→= 0,1,1 ,BP→= -x,-2,2 , ………………………………………… (8分)
由(1)知BP→= -x,-2,2 为平面DEF 的一个法向量,…………………………………………… (9分)
设平面DBE 的一个法向量为n= a,b,c ,
n
·DB→=0, xa+2b=0,则 → 即 令a=2,则b=-x,c=x,n·DE=0, b+c=0,
所以n= 2,-x,x ,………………………………………………………………………………… (11分)
<,→> n
·BP→
所以 1cosn BP = → = ,………………………………………………………… ( 分)n · BP 3
13
解得x=2,
即BC=2.……………………………………………………………………………………………… (15分)
方法二:由(1)可得DE⊥平面PBC,
因为EF 平面PBC,EB 平面PBC,
所以DE⊥EF,DE⊥EB. …………………………………………………………………………… (8分)
所以∠BEF 为二面角F-DE-B 的平面角.…………………………………………………………… (9分)
所以 1 EF 1PE=2PC= 2
,cos∠BEF= = ,……………………………………………………… (BE 3 11
分)
·
设 1BC PC 1 22xBC=x,则BE= x2+2,EF= ,2 PB =2 x2+8
1 22x
所以EF
2 x2+8 1
= = ,…………………………………………………………………………… (BE 3 13
分)
x2+2
解得x=2,
BC=2.………………………………………………………………………………………………… (15分)
2 2
17.【解】(1)依题意,可设椭圆E 的方程为
x
+y =1(a>b>0).
a2 b2
由c 5 35
a=3 a= c
,
5
又因为 25a2=b2+c2,所以b= c,5
x2 2
∴ +y =1,……………………………………………………………………………………… ( 分)9 2 4
2
2
5c 5c
∵椭圆经过点 ,222 ,代入上述方程3
解得c2=5,则a2=9,b2=4, ………………………………………………………………………… (4分)
2 2
∴椭圆E 的方程为
x
+y =1. ……………………………………………………………………… ( 分)9 4 5
(2)由(1)可知:A 0,2 ,B 0,-2 ,
当斜率不存在时,若点C 与A 重合,D 与 重合 此时
|CP| |AP| 1
B . = = .若点D 与A 重合,B 与 重|DP| |BP| 3 C
合,则|CP| |BP|
|DP|=|AP|=3.
……………………………………………………………………………… (6分)
高三数学参考答案 第 4页(共6页)
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当直线斜率存在时,设直线CD:y=kx+1,C(x1,y1),D(x2,y2),
y=kx+1,
联立得 x2 y2 消去y 可得(4+9k
2)x2+18kx-27=0,……………………………………… (7分)
9+4=1
,

显然Δ>0,
则 18kx1+x2=- 2,
27
x1x2=- 2,…………………………………………………………… (8分)4+9k 4+9k
18k 2
x1+x2 2 -4+9k2 可得 12k2
x =
,
1x2 27
=-
- 4+9k
2
4+9k2
x x 2
整理可得 1+2+ 2
12k 4 4
x x =- 2=-3 1-4+9k 4+9k2 , …………………………………………… (10分)2 1
因为 4 44+9k2≥4,可得-3 1- 2 ∈ 4, ,4+9k -3 0
x
令 1 ( ),则 4 1 , 1, x解得 即 1 , 1 ,……………… ( 分)
x =tt<0 - 所以 CP x x= 1 =- 1∈ 1,3 . ……………………………………………………………… (DP x 14分)2 x2 3
综上,CP 的取值范围为 1,3 . ………………………………………………………………… (15分)DP 3
18.【解】(1)令g(x)=f(x)-e-x=ex-2x-e-x(x≥0),
所以g'(x)=ex-2+e-x(x≥0),
1
f' x =ex+ x-2 x≥0 ,e
所以g'(x)=ex-2+e-x≥2-2=0,
当且仅当 1ex= ,exx =1,即x=0时,等号成立, …………………………………………………… (2分)e
所以当x∈ 0,+ 时,g'(x)≥0,g(x)单调递增,
所以g(x)≥g(0)=0,所以f(x)≥e-x 得证.……………………………………………………… (4分)
(2)由f(x)=x 得ex-2x=x x≥0 ,即ex-3x=0 x≥0 ,
令g x =ex-3x x≥0 ,
所以函数g x 的零点个数,即为方程f(x)=x 解的个数,………………………………………… (5分)
g' x =ex-3 x≥0 ,令g' x =0,即ex=3,解得x=ln3,……………………………………… (6分)
x 0,ln3 ln3 ln3,+
g' x - 0 +
g x 单调递减 3-3ln3 单调递增
因为g 0 =1>0,g ln3 =3-3ln3<0,
所以g x 在 0,ln3 上有唯一一个零点,…………………………………………………………… (8分)
又g 5 =e5-15>25-15=17>0,
所以g x 在 ln3,+ 上有唯一一个零点.………………………………………………………… (9分)
综上所述,方程f(x)=x 有两个解.………………………………………………………………… (10分)
(3)由(1)知,ex-2x-e-x>0,x∈ 0,+ ,
令 1
x=lns s>1 ,则s-2lns-s-1>0,即s- >2lns s>1 ,………………………………… (s 11
分)
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设 1 1 1 1s= 1+ ,n-1 n≥2
,n∈N*,则满足s>1,所以 1+n-1- >2ln 1+
,即
1 n-1
1+n-1
1
n-1
>ln 11+ , ………………………………………………………………………… ( 分)1 n-1 13
1+n-1
所以 1 >ln n =lnn-ln(n-1),………………………………………………………… ( 分)n2-n n-1 15
1 1 1 所以 + +…+ >ln2-ln1+ln3-ln2+…+lnn-ln(n-1)=lnn,
22-2 32-3 n2-n
即 1 1 … 1
+ + + >lnn.………………………………………………………… (17分)
22-2 32-3 n2-n
19.【解】(1)令q=1,p=0,得a1=3,…………………………………………………………………… (1分)
令q=2,p=0,得a2=5,
令q=2,p=1,得a3=6,……………………………………………………………………………… (2分)
令q=3,p=0,得a4=9,……………………………………………………………………………… (3分)
令q=3,p=1,得a5=10,
令q=3,p=2,得a6=12. …………………………………………………………………………… (4分)
(2)若a(p+1,q),a(p,q+1),a(r,r+1)成等差数列,
则2p+1+2q+2r+2r+1=2(2p+2q+1),即2q+2r+2r+1=2q+2.…………………………………… (6分)
当q当q>r时,2q-r+1+2=2q-r+2,此时左边为奇数,右边为偶数,不成立;
当q=r时,2q+2q+2q+1=2q+2 成立.………………………………………………………………… (9分)
所以r=q. …………………………………………………………………………………………… (10分)
(3)∵a(p,q)+a(r,s)=a(s,2024),
∴2p+2q+2r+2s=2s+22024,
即2p+2q+2r=22024,………………………………………………………………………………… (11分)
当p当p>r时,2p-r+2q-r+1=22024-r,此时左边为奇数,右边为偶数,不成立;
当p=r时,2p+2q+2p=22024,
即2p+1+2q=22024,…………………………………………………………………………………… (14分)
∵p+1≤2023,q≤2023,
∴2p+1+2q≤22023+22023=22024,
当且仅当p+1=q=2023即p=r=2022,q=2023时取等号,………………………………… (16分)
又因为r∴s=2023.…………………………………………………………………………………………… (17分)
高三数学参考答案 第 6页(共6页)
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