山东省日照市2024-2025学年高二上学期校际联合开学考试数学试题（图片版，含答案）

山东省日照市2024-2025学年高二上学期校际联合开学考试数学
试题
2023级高二校际联合考试
数学试题答案 2024．09
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1—4 BCCD 5—8 AADB
二、 选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的
得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9. BD 10.ACD 11.ABD
三、 填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
2
12.－1 13. (3 10, 10) 14.
2
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.【解析】(1)由余弦定理及 2bc sin A＝ 3 (a2＋c2－b2)，
可得 b sin A＝ 3 a cos B， ................2 分
又由正弦定理，可得
sin B sin A＝ 3 sin A cos B， ................4 分
因为 0＜A＜π，所以 sin A≠0，所以 sin B＝ 3 cos B，
所以 tan B＝ 3， ................6 分
又因为 0＜B＜π，

所以 B＝ . ................7 分
3
1 9 3
(2)由 S＝ ac sin B＝ ，可得 ac＝9， ................9 分
2 4
根据余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－3ac，
所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝9＋3×9＝36
所以 a＋c＝6， ................12 分
所以△ABC的周长为 a＋b＋c＝9. ................13 分
16.【解析】（1）设盒中红球、黄球、蓝球个数分别为 x， y， z，从中任取一球，得到红球或黄球为事件 A，得
到黄球或蓝球为事件 B， ................1分
则 P(A) x y ，P(B) y z ， ................3分
4 4

x y z 4

x y 3
由已知得 ， ................6分
4 4
y z 1
4 2
高二数学试题 第 1 页 共 4页
{#{QQABIYqEggiAApAAARgCQwVYCgMQkBGACYgGREAIsAAAABFABAA=}#}
x 2

解得 y 1 ，

z 1
所以盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是 2,1,1； ................7分
（2）由（1）知红球、黄球、蓝球个数分别为 2，1，1，用 1，2表示红球，用a表示黄球，用b表示蓝球，m表示
第一次取出的球， n表示第二次取出的球， (m,n)表示试验的样本点， ................8分
则样本空间 {(1,1), (1,2), (1,a), (1,b), (2,1), (2,2), (2,a), (2,b), (a,1), (a, 2),
(a,a), (a,b), (b,1), (b, 2), (b,a), (b,b)} . ................10分
可得 n( ) 16， ................11分
6 3
记“取到两个球颜色相同”为事件M ，“取到两个球颜色不相同”为事件N ，则 n(M ) 6，所以 P(M ) ，
16 8
................13分
所以 P(N) 1 P(M ) 1 3 5 ， ................14分
8 8
5 3
因为 ，所以此游戏不公平. ................15分
8 8
17.【解析】
（1）因为 AB BC， AB //CD，DC BC 4，所以 BD 4 2 ， ................2分
2 2 2
又因为 AD 4 2，所以 AD BD AB ，则 AD BD． ................4分
因为平面 PAD 平面 ABCD，且平面 PAD 平面 ABCD AD， AD 平面 PAD，
所以 BD 平面 PAD . ................7分
（2）过点 P作PO AD，因为平面 PAD 平面 ABCD，且平面PAD 平面 ABCD AD，所以 PO 平面 ABCD．
................8分
因为 PA AD PD 4 2 ， PO (4 2)2 (2 2)2 2 6
由（1）知 BD 平面 PAD，所以 BD PD ................10分
在Rt△PBD
1 1
中， S PBD 4 2 4 2 16，而 S 4 4 82 BCD 2
V 1 1P BCD PO S BCD 2 6 8
16 6
． ................12分
3 3 3
设点 C到平面 PBD的距离为 h，由V
1 16 6
P BCD VC PBD ，得 16h ， ................14分
3 3
解得 h 6 ，所以点 C到平面 PBD的距离为 6 ． ................15分
18.【详解】（1）由题意 f x 2sin2 x asin x 1 2，令 t sin x，t [ 1,1]，则g(t) 2t at 1， ................2
分
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当 a 1时，g(t) 2t 2 t 1 2(t 1 )2 9 ， ................4分
4 8
1 9
所以，当 t 时，g(t)取最大值 ；当 t 1时，g(t)取最小值 2，
4 8
9
所以 f (x)的值域为[ 2, ]； ................6分
8
（2）由题意，函数 f (x)在区间 (0, )上有两个不同的零点，
2
即函数g(t) 2t at 1在 (0,1)上仅有一个零点，因为g(0) 1 0，
由零点存在性定理，只需g(1) a 1 0，得 a 1； ................9分
2 2
（3）因为 a 8 0，所以g(t) 2t at 1有两个零点 t1, t2 ，
t 1又 1 t2 0，不妨 t1 0,t2 0 ................10分2
a 1 t 1 t 1当 时，得 1 ， 2 ， f (x)在 0,2kπ （ k为正整数），内零点个数为3k，2
在 0, 2k 1 π 内零点个数为3k 2，因为 2024 3 674 2，所以 n 674 2 1 1349；
................12分
当 a 1时， t 11 ， t2 1， f (x)在 0,2kπ （ k为正整数）内零点个数为3k，2
在 0, 2k 1 π 内零点个数为3k 1，此时不存在 n； ................14分
当 1 a 1时，则 1 t1 0，0 t2 1， f (x)在 0,kπ （ k为正整数）内零点个数为 2k，
因为 2024 2 1012，所以 n k 1012； ................16分
综上 n的所有可能值为1012，1349 . ................17分
19.【解析】（1）
令 (x1，x2，x3)，由题意知 | x1 1| | x2 1| | x3 0 | 2， x1，x2，x3 {0,1}解得
(1,0,1)或(0,1,1)或(0,0,0) ................3分（写出一个给 1分）
（2） | i e j | 2(1 i j k)表示 i， j 之间至少有 2个分量不相等，
M 中的元素总情况：
(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)、(1,1,0)、（0,1,1)、（1,0,1)、(1,1,1)
................5分
对上述所有元素分析， | i e j |最大为3，此时只有(0,0,0)、(1,1,1)符合要求；
当 | i e j | 2时，通过列举知满足 | i e j | 2(1 i j k)的有(0,0,0)、(1,1,0)、(0,1,1)、(1,0,1)共
四个元素
同理可知满足条件的元素还可以是：
(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)、(1,1,1)共四个元素
k的最大值为 4 ................8分（写出一组即可）
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（3）由 0 0， k n，知 0 0,0,0,...,0,0 ， k 1,1,1,...,1,1 .
而条件 i i 1 n 2 0 i k 1 的含义是，在序列 0 , 1, 2 ,..., k 中，任意一对相邻的向量 i , i 1 0 i k 1 都
恰有 n 2个分量不相等 ................10分
根据题目内容，已有 k 2 .
法一：
若 k 2，则 0 0,0,0,...,0,0 ， 2 1,1,1,...,1,1 ，因为 | 0 e 1 | n 2，所以 0 , 1恰有 n-2个分量不相等，
即 1中恰有 n-2个 1，又 2中含 n个 1，所以 1， 2中恰有 2个分量不相等，所以 | 1e 2 | 2 .
因为 n 5，所以 | 1e 2 | n 2 3，与 | 1e 2 | 2矛盾.
这就表明 k 2不成立，故 k 3 . 13分
注意到 0 0,0,0,0,0,0,...,0,0,0,0 ， 1 0,1,0,1,1,1,...,1,1,1,1 ， 2 1,1,0,0,0,0,...,0,0,0,0 ，
3 1,1,1,1,1,1,...,1,1,1,1 满足全部条件，此时 k 3 .（上述 0， 1， 2， 3的选取不唯一）
所以 k的最小值是3 . ................17分
法二：
若 k 2，n 5时， 0 0,0,0,0,0 ， 2 1,1,1,1,1 ，且 0 , 1恰有 3个分量不相等， 1, 2恰有 3个分量不相等.
换言之， 0 , 1恰有 2个分量相等，即 1中有 2个 0，3个 1；
1, 2恰有 2个分量相等.即 1中有 3个 0，2个 1，矛盾.
故 n 5时， k 2不成立。 n 5，同理可知 k 2不成立. ................13分
这就表明 k 3 .
以下同法一. ................17分
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