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北师大版《一元二次方程》同步提升训练题
一．选择题（共21小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0
C． D．（x﹣1）2+1＝x2
2．若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．
3．将一元二次方程x2＝﹣2x+8化为一般形式后，若二次项系数为1，则常数项为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8
4．若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，则2019﹣m2+5m的值是（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
5．下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．x（x+6）＝0
C．a2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝2
6．把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0
7．关于x的方程是（a+2）x2﹣x+2＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a≠﹣2 B．a＞1 C．a＝﹣2 D．a≠0
8．若关于x的方程（m+2）x2﹣3x+1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0 B．m＞﹣2 C．m≠﹣2 D．m＞0
9．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．2（x2+2x）＝2x2﹣1 B．ax2+bx+c＝0
C．（x+1）2＝2x+1 D．x+1＝0
10．下列方程中，为一元二次方程的是（ ）
A．x2＝3 B．x+3＝7
C． D．2x2﹣3y+5＝0
11．将一元二次方程x（x﹣9）＝﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．9，3 B．9，﹣3 C．﹣9，﹣3 D．﹣9，3
12．一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项系数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
13．方程2x2﹣6x﹣15＝0的一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，15 B．﹣6，15 C．6，﹣15 D．﹣6，﹣15
14．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的常数项是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
15．已知2是关于x的方程x2+ax﹣3a＝0的根，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．2 D．
16．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
17．若m是方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，则的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
18．若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2 B．m＝2 C．m≥2 D．m≠0
19．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2+xy＝1 B．2x﹣1＝x+2 C．2x2﹣3x＝4 D．
20．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．x2﹣4+2y＝4 C．5x2+3x＝0 D．x﹣5＝0
21．已知k是方程x2+3x﹣2＝0的一个实数根，则代数式的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
二．填空题（共22小题）
22．若方程（m﹣3）x2+3x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ．
23．将一元二次方程2x2＝4+3x化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 ．
24．若（m+1）x|m|+1+2x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
25．已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则m2﹣m+2022的值为 ．
26．若a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式﹣3a2+9a﹣5的值为 ．
27．若（m+1）2x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ ．
28．若方程（m﹣1）x2﹣4x+3＝0是一元二次方程，当m满足条件 ．
29．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ．
30．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ．
31．若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣2x+a2﹣4＝0有一个根是0，则a的值为 ．
32．若关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣5＝0的一个根是1，则a的值是 ．
33．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣4＝0的一个根是x＝1，则代数式8﹣a﹣b的值为 ．
34．关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+k＝0与a2（x﹣m）2+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ab的值为 ．
35．如果一元二次方程（m﹣3）x2+4x+m2﹣9＝0有一个根为0，则m的值为 ．
36．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m+2＝ ．
37．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x﹣a2+1＝0有一个根为0，则方程的另一个根为 ．
38．已知a是方程x2+5x﹣1＝0的根，则代数式a2+5a+2024的值为 ．
39．已知a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个解，则代数式2a2﹣4a+7的值为 ．
40．若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式的值是 ．
41．已知a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，则 ．
42．把一元二次方程（x+1）（1﹣x）＝2x化成一般形式后得到二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 ．
43．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为 ．
三．解答题（共17小题）
44．已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值．
45．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a+2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．
（1）判断方程2x2﹣x﹣4＝0是否为波浪方程，并说明理由．
（2）已知关于x的波浪方程ax2﹣2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个波浪方程．
46．先化简，再求值：；其中x是方程x2﹣x﹣6＝0的根．
47．定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程．
（1）已知关于x的方程x2+x+c＝0是常数根一元二次方程，则c的值为 ；
（2）如果关于x的方程x2+2mx+m+1＝0是常数根一元二次方程，则m的值；
（3）若关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中不含零根，求证：关于y的方程acy2+by+1＝0是常数根一元二次方程．
48．若（m2﹣2m）x|m﹣2|﹣mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值．
49．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
50．已知x＝a是一元二次方程x2﹣2024x﹣3＝0的一个根，求的值．
51．先化简，再求值：，其中a是方程x2+x﹣4＝0的解．
52．先化简，再求值，其中x为方程x2+x﹣2＝0的根．
53．先化简，再求值：，其中a是方程a2﹣2a﹣3＝0的解．
54．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝﹣1，且a，b满足，求a，b，c的值．
55．阅读下列材料：
方程x2+3x﹣1＝0两边同时除以x（x≠0），得，即．因为，所以．
根据以上材料、解答下列问题：
（1）已知方程x2﹣4x﹣1＝0（x≠0），则 ； ．
（2）若m是方程2x2﹣7x+2＝0的根，求的值．
56．请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x所以．
把代入已知方程，得
化简，得y2+2y﹣4＝0
故所求方程为y2+2y﹣4＝0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，并写出系数a、c的取值范围．
57．先化简再求值，其中a是方程a2+2a﹣9＝0的根．
58．若a是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣9＝0的根，求代数式（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）的值．
59．已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1＝0的根，求代数式a2﹣2015a的值．
60．已知x是方程x2+2ax+a2的根，求代数式a（2a﹣1）+a2+3a的值．中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版《一元二次方程》同步提升训练题
一．选择题（共21小题）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0
C． D．（x﹣1）2+1＝x2
【思路点拔】据此即可判定求解．
解：A、当a＝0时，方程为bx+c＝0是一元一次方程，该选项不合题意；
B、方程x2＝0是一元二次方程，该选项符合题意；
C、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意；
D、方程（x﹣1）2+1＝x2整理为﹣2x+2＝0，是一元一次方程，该选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．若（m﹣3）x|m﹣1|﹣x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．
【思路点拔】根据一元二次方程的定义即可求出答案．
解：由题意可知：，
解得：m＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义，本题属于基础题型．
3．将一元二次方程x2＝﹣2x+8化为一般形式后，若二次项系数为1，则常数项为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣8 D．8
【思路点拔】先化成一元二次方程的一般形式，再找出常数项即可．
解：x2＝﹣2x+8，
x2+2x﹣8＝0，
常数项是﹣8．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式（一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0，其中a、b、c为常数，a≠0）是解此题的关键．
4．若m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，则2019﹣m2+5m的值是（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【思路点拔】根据一元二次方程解的定义得到m2﹣5m＝2，再由2019﹣m2+5m＝2019﹣（m2﹣5m），利用整体代入法求解即可．
解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的一个实数根，
∴m2﹣5m﹣2＝0，
∴m2﹣5m＝2，
∴2019﹣m2+5m＝2019﹣（m2﹣5m）＝2019﹣2＝2017，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程解的定义，熟练掌握一元二次方程定义是关键．
5．下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．x（x+6）＝0
C．a2x﹣5＝0 D．4x﹣x3＝2
【思路点拔】根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”进行分析即可．
解：A、该方程是分式方程，不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；
C、当a＝0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、该方程是关于x的一元三次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的一般形式．
6．把一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝3x化成一般形式，正确的是（ ）
A．x2﹣3x﹣1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．x2+3x﹣1＝0 D．x2+3x+1＝0
【思路点拔】先根据平方差公式进行计算，再移项，最后得出选项即可．
解：（x+1）（x﹣1）＝3x，
x2﹣1﹣3x＝0，
即x2﹣3x﹣1＝0，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程一般形式的特点是解此题的关键，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）．
7．关于x的方程是（a+2）x2﹣x+2＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a≠﹣2 B．a＞1 C．a＝﹣2 D．a≠0
【思路点拔】根据二次项系数不为0列式求解即可得到答案．
解：∵关于x的方程是（a+2）x2﹣x+2＝0是一元二次方程，
∴a+2≠0，
解得：a≠﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
8．若关于x的方程（m+2）x2﹣3x+1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠0 B．m＞﹣2 C．m≠﹣2 D．m＞0
【思路点拔】直接利用只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，进而得出答案．
解：∵关于x的方程（m+2）x2﹣3x+1＝0是一元二次方程，
∴m+2≠0，
解得：m≠﹣2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
9．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A．2（x2+2x）＝2x2﹣1 B．ax2+bx+c＝0
C．（x+1）2＝2x+1 D．x+1＝0
【思路点拔】根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
解：A、该方程化简后可得4x+1＝0，是一元一次方程，不符合题意；
B、当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，不符合题意；
C、该方程是一元二次方程，符合题意；
D、该方程是分式方程，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
10．下列方程中，为一元二次方程的是（ ）
A．x2＝3 B．x+3＝7
C． D．2x2﹣3y+5＝0
【思路点拔】只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次幂时2次的整式方程叫做一元二次方程，据此进行判断即可．
解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、不是整式方程，不符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、含有2个未知数，不符合题意；
故选：A．
【点评】此题考查的是一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
11．将一元二次方程x（x﹣9）＝﹣3化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（ ）
A．9，3 B．9，﹣3 C．﹣9，﹣3 D．﹣9，3
【思路点拔】先化成一元二次方程的一般形式，再根据方程的特点得出一次项系数和常数项即可．
解：x（x﹣9）＝﹣3，
x2﹣9x+3＝0，
所以一次项系数、常数项分别为﹣9、3，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，把方程换成一般形式是解此题的关键，注意：说各个项的系数带着前面的符号．
12．一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项系数是（ ）
A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3
【思路点拔】根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）中，ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的一次项为﹣2x，
∴一次项系数为﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
13．方程2x2﹣6x﹣15＝0的一次项系数和常数项分别是（ ）
A．2，15 B．﹣6，15 C．6，﹣15 D．﹣6，﹣15
【思路点拔】找出一元二次方程一次项系数和常数项即可．
解：方程2x2﹣6x﹣15＝0的一次项系数和常数项分别是﹣6，﹣15．
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0），a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．
14．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的常数项是0，则a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．
【思路点拔】根据一元二次方程的定义和题意列出a满足的条件求解即可．
解：由题意，，
解得：a＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的定义和解法，掌握一元二次方程的定义与基本解法是解题关键．
15．已知2是关于x的方程x2+ax﹣3a＝0的根，则a的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．2 D．
【思路点拔】根据题意把x＝2代入方程，即可求出a的值，从而选出选项．
解：∵2是关于x的方程x2+ax﹣3a＝0的一个根，
∴把x＝2代入得：22+2a﹣3a＝0，
解得：a＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了对一元一次方程的解及解法的理解和掌握，把2代入方程，求出关于a的方程的解是解此题的关键．
16．关于x的方程x2﹣2mx+m2﹣4＝0的两个根x1，x2满足x1＝2x2+3，且x1＞x2，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．1 C．3 D．9
【思路点拔】因式分解法可求x1＝m+2，x2＝m﹣2，再根据x1＝2x2+3，可得关于m的方程，解方程可求m的值．
解：∵x2﹣2mx+m2﹣4＝0，
∴（x﹣m+2）（x﹣m﹣2）＝0，
∴x﹣m+2＝0或x﹣m﹣2＝0，
∵x1＞x2，
∴x1＝m+2，x2＝m﹣2，
∵x1＝2x2+3，
∴m+2＝2（m﹣2）+3，
解得m＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，关键是根据因式分解法求得x1＝m+2，x2＝m﹣2．
17．若m是方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，则的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
【思路点拔】根据一元二次方程的解的定义求得m2﹣3m＝2；然后把m2﹣3m＝2代入化简后的进行计算即可．
解：∵m是方程x2﹣3x﹣2＝0的一个根，
∴m2﹣3m﹣2＝0．
∴m2﹣3m＝2．
∴m（m﹣3）＝2．
∴
（m﹣3）
＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，分式的化简求值．解答该题时，采用了整体代入的方法求得所求代数式的值．
18．若关于x的方程（m﹣2）x2+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A．m≠2 B．m＝2 C．m≥2 D．m≠0
【思路点拔】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：由题意，得
m﹣2≠0，
m≠2，
故选：A．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
19．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．x2+xy＝1 B．2x﹣1＝x+2 C．2x2﹣3x＝4 D．
【思路点拔】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
解：A、该方程中含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、该方程中未知数x的最高次数是1，不属于一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、该方程属于一元二次方程，故本选项符合题意；
D、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题利用了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．
20．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B．x2﹣4+2y＝4 C．5x2+3x＝0 D．x﹣5＝0
【思路点拔】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可．
解：A、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
B、x2﹣4+2y＝4含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
C、5x2+3x＝0是一元二次方程，符合题意；
D、x﹣5＝0未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是理解一元二次方程的定义．
21．已知k是方程x2+3x﹣2＝0的一个实数根，则代数式的值为（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3
【思路点拔】由k是方程x2+3x﹣2＝0的一个实数根可得k2+3k与的值，然后整体代入所求式子计算即可．
解：∵k是方程x2+3x﹣2＝0的一个实数根，
∴k2+3k﹣2＝0，显然k≠0，两边同时除以k，得：，
∴k2+3k＝2，，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了方程的解的概念、代数式的变形和整体代入的数学思想方法，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
二．填空题（共22小题）
22．若方程（m﹣3）x2+3x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 m≠3 ．
【思路点拔】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这个式子是一元二次方程的条件是m﹣3≠0，即可求得m的范围．
解：由一元二次方程的定义可知m﹣3≠0，即m≠3．
故答案为：m≠3．
【点评】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
23．将一元二次方程2x2＝4+3x化成一般形式之后，若二次项的系数是2，则一次项系数为 ﹣3 ．
【思路点拔】根据题意正确得出一般式，即可得到答案．
解：∵一元二次方程2x2＝4+3x化成一般形式之后，二次项的系数是2，
∴化成的一般形式为2x2﹣3x﹣4＝0，
∴一次项系数为﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．
24．若（m+1）x|m|+1+2x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 1 ．
【思路点拔】根据未知数的次数为2和二次项系数不为0列方程和不等式求解即可．
解：∵（m+1）x|m|+1+2x﹣1＝0是关于x的一元二次方程，
∴|m|+1＝2，m+1≠0，
解得，m＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解题关键是根据一元二次方程的定义列出方程，注意：二次项系数不为0．
25．已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，则m2﹣m+2022的值为 2024 ．
【思路点拔】根据题意可得：m2﹣m﹣2＝0，从而可得m2﹣m＝2，然后代入式子中进行计算，即可解答．
解：∵m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个根，
∴m2﹣m﹣2＝0，
∴m2﹣m＝2，
∴m2﹣m+2022＝2+2022＝2024，
故答案为：2024．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
26．若a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式﹣3a2+9a﹣5的值为 ﹣23 ．
【思路点拔】先根据一元二次方程根的定义得到a2﹣3a＝6，则﹣3a2+9a﹣5＝﹣3（a2﹣3a）﹣5，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，
∴a2﹣3a﹣6＝0，
∴a2﹣3a＝6，
∴﹣3a2+9a﹣5＝﹣3（a2﹣3a）﹣5＝﹣3×6﹣5＝﹣23．
故答案为：﹣23．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
27．若（m+1）2x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m＝ 1 ．
【思路点拔】根据一元二次方程的定义，列方程和不等式解答．
解：因为原式是关于x的一元二次方程，
所以m2+1＝2，
解得m＝±1．
又因为m+1≠0，
所以m≠﹣1，
于是m＝1．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．本题容易忽视的条件是m+1≠0．
28．若方程（m﹣1）x2﹣4x+3＝0是一元二次方程，当m满足条件 m≠1 ．
【思路点拔】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0，（a≠0），据此即可求解．
解：根据题意得：m﹣1≠0
解得m≠1．
【点评】本题容易忽视的问题是m﹣1≠0．
29．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ﹣2 ．
【思路点拔】根据一元二次方程的定义得出a﹣2≠0且a2﹣2＝2，再求出答案即可．
解：∵方程是关于x的一元二次方程，
∴a﹣2≠0且a2﹣2＝2，
解得：a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出a﹣2≠0且a2﹣2＝2是解此题的关键．
30．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为 ﹣1 ．
【思路点拔】直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
解：∵方程ax＝2是关于x的一元二次方程，
∴a2+1＝2，a﹣1≠0，
解得：a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
31．若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣2x+a2﹣4＝0有一个根是0，则a的值为 2 ．
【思路点拔】把x＝0代入方程计算，检验即可求出a的值．
解：把x＝0代入方程（a+2）x2﹣2x+a2﹣4＝0得：a2﹣4＝0，（a+2）（a﹣2）＝0，
可得a+2＝0或a﹣2＝0，
解得：a＝﹣2或a＝2，
当a＝﹣2时，a+2＝0，此时方程不是一元二次方程，a＝﹣2舍去；
则a的值为2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
32．若关于x的一元二次方程x2+2x+a﹣5＝0的一个根是1，则a的值是 2 ．
【思路点拔】将x＝1代入方程，求解即可．
解：把x＝1代入x2+2x+a﹣5＝0得1+2+a﹣5＝0，
解得a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查一元二次方程的解．熟练掌握方程的解，是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．
33．若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣4＝0的一个根是x＝1，则代数式8﹣a﹣b的值为 4 ．
【思路点拔】把x＝1代入一元二次方程ax2+bx﹣4＝0可得到a+b＝4，再把8﹣a﹣b变形为8﹣（a+b），然后利用整体代入的方法计算．
解：把x＝1代入一元二次方程ax2+bx﹣4＝0得a+b﹣4＝0，
所以a+b＝4，
所以8﹣a﹣b＝8﹣（a+b）＝8﹣4＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
34．关于x的一元二次方程a1（x﹣m）2+k＝0与a2（x﹣m）2+k＝0称为“同族二次方程”．如2（x﹣3）2+4＝0与3（x﹣3）2+4＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，那么代数式ab的值为 ﹣50 ．
【思路点拔】根据同族二次方程的定义把式子进行变形，然后列出二元一次方程组，即可求出a与b的值，进一步求出ab的值．
解：∵2（x﹣1）2+1＝0与（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝0是“同族二次方程”，
∴（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）（x﹣1）2+1，
即（a+2）x2+（b﹣4）x+8＝（a+2）x2﹣2（a+2）x+a+3，
∴，
解得：．
∴ab＝﹣50．
故答案为：﹣50．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的知识、二元一次方程组的知识、代数式求值的知识，难度不大．解题关键是列出二元一次方程组．
35．如果一元二次方程（m﹣3）x2+4x+m2﹣9＝0有一个根为0，则m的值为 ﹣3 ．
【思路点拔】根据题意可得：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+4x+m2﹣9＝0中得：m2﹣9＝0，从而可得：m＝±3，然后根据一元二次方程的定义可得m﹣3≠0，从而进行计算即可解答．
解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+4x+m2﹣9＝0中得：m2﹣9＝0，
解得：m＝±3，
∵m﹣3≠0，
∴m≠3，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键．
36．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，则2m2﹣4m+2＝ 8 ．
【思路点拔】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m值，本题得以解决．
解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m2﹣2m＝3，
∴2m2﹣4m+2＝6+2＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
37．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x﹣a2+1＝0有一个根为0，则方程的另一个根为 ﹣0.5 ．
【思路点拔】将x＝0代入关于x的方程中，求出a的值，再对所得方程进行求解即可．
解：将x＝0代入（a+1）x2+x﹣a2+1＝0得，
﹣a2+1＝0，
解得a＝±1，
因为a+1≠0，
所以a≠﹣1，
则a＝1，
所以原方程为2x2+x＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣0.5，
所以方程的另一个根为﹣0.5．
故答案为：﹣0.5．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程解得定义是解题的关键．
38．已知a是方程x2+5x﹣1＝0的根，则代数式a2+5a+2024的值为 2025 ．
【思路点拔】先根据一元二次方程的解的定义得出a2+5a＝1，然后整体代入即可求值．
解：∵a是方程x2+5x﹣1＝0的根，
∴a2+5a﹣1＝0，
∴a2+5a＝1，
∴a2+5a+2024＝1+2024＝2025，
故答案为：2025．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟知方程的解的定义是解题的关键．
39．已知a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个解，则代数式2a2﹣4a+7的值为 13 ．
【思路点拔】根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2a＝3，变形2a2﹣4a＝6，然后利用整体代入的方法计算即可．
解：∵a是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个解，
∴a2﹣2a＝3，
∴2a2﹣4a＝6，
2a2﹣4a+7＝6+7＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：关键是理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
40．若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式的值是 2027 ．
【思路点拔】根据题意可得：a2+a﹣1＝0，从而可得a1，然后利用完全平方公式进行计算，即可解答．
解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴a2+a﹣1＝0，
∴a+10，
∴a1，
∴（a）2＝1，
∴a2﹣21，
∴a23，
∴2024+3＝2027，
故答案为：2027．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，完全平方公式，分式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
41．已知a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，则 ﹣2024 ．
【思路点拔】由题意得，把x＝a代入得，a2﹣2024a+1＝0，即a2+1＝2024a，，a2﹣2024a＝﹣1，再把式子代入求解即可．
解：∵a是方程x2﹣2024x+1＝0的一个根，
把x＝a代入得，a2﹣2024a+1＝0，
∴a2﹣2024a＝﹣1，，即，a2+1＝2024a，
∴，
故答案为：﹣2024．
【点评】本题考查一元二次方程的解、分式的化简求值，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．
42．把一元二次方程（x+1）（1﹣x）＝2x化成一般形式后得到二次项系数是 1 ，一次项系数是 2 ，常数项是 ﹣1 ．
【思路点拔】首先利用平方差公式进行计算，再整理得到x2+2x﹣1＝0，然后再确定二次项、一次项系数和常数项．
解：方程（x+1）（1﹣x）＝2x整理为一般形式为x2+2x﹣1＝0，
∴二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是﹣1，
故答案为：1，2，﹣1．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
43．若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0有一个根是x＝1，则a的值为 ﹣1 ．
【思路点拔】把x＝1代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程求得a的值即可．
解：把x＝1代入（a﹣1）x2+a2x﹣a＝0，得
a﹣1+a2﹣a＝0，
解得：a1＝1，a2＝﹣1，
∵a﹣1≠0，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根一定满足该方程的解析式．
三．解答题（共17小题）
44．已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，求代数式a（2a﹣7）+5的值．
【思路点拔】根据一元二次方程的解的定义得到2a2﹣7a﹣1＝0，则2a2﹣7a＝1，再把a（2a﹣7）+5变形为2a2﹣7a+5，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，
∴2a2﹣7a﹣1＝0，
∴2a2﹣7a＝1，
∴a（2a﹣7）+5＝2a2﹣7a+5＝1+5＝6．
【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
45．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a+2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．
（1）判断方程2x2﹣x﹣4＝0是否为波浪方程，并说明理由．
（2）已知关于x的波浪方程ax2﹣2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个波浪方程．
【思路点拔】（1）根据波浪方程的定义对所给方程进行判断即可．
（2）根据波浪方程的定义，结合方程的一个根为﹣1，得到关于a，c的方程组即可解决问题．
解：（1）是波浪方程．
∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣4，
∴3a+2b+c＝6+（﹣2）+（﹣4）＝0．
故此方程为波浪方程．
（2）将x＝﹣1代入原方程得，
a+2+c＝0①，
∵此方程为波浪方程，
∴3a+（﹣4）+c＝0②，
由①②得，
，
∴这个波浪方程为3x2﹣2x﹣5＝0．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，理解题中所给波浪方程的定义及熟知一元二次方程解得定义是解题的关键．
46．先化简，再求值：；其中x是方程x2﹣x﹣6＝0的根．
【思路点拔】先计算括号，分子分母因式分解，除法转化为乘法计算即可．
解：原式
．
解方程x2﹣x﹣6＝0，可得x＝﹣2（舍去）或x＝3．
∴原式．
【点评】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
47．定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程．
（1）已知关于x的方程x2+x+c＝0是常数根一元二次方程，则c的值为 0或﹣2 ；
（2）如果关于x的方程x2+2mx+m+1＝0是常数根一元二次方程，则m的值；
（3）若关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中不含零根，求证：关于y的方程acy2+by+1＝0是常数根一元二次方程．
【思路点拔】（1）根据常数根一元二次方程的定义，把x＝c代入方程，解关于c的方程即可；
（2）根据常数根一元二次方程的定义，把x＝m+1代入方程，解关于m的方程即可；
（3）根据常数根一元二次方程的定义，把x＝c代入方程，得到ac+b+1＝0，因此y＝1是关于y的方程acy2+by+1＝0的一个根，从而得证结论．
解：（1）∵关于x的方程x2+x+c＝0是常数根一元二次方程，
∴方程的一个根为x＝c，
代入方程得，c2+2c＝0，
解得c＝0或﹣2；
故答案为：0或﹣2；
（2）∵关于x的方程x2+2mx+m+1＝0是常数根一元二次方程，
∴方程的一个根为x＝m+1，
代入方程得，（m+1）2+2m（m+1）+m+1＝0，
整理得，3m2+5m+2＝0，
解得或﹣1．
（3）∵关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中不含零根，
∴方程的一个根为x＝c，且c≠0，
代入方程，得ac2+bc+c＝0，即c（ac+b+1）＝0，
∵c≠0，
∴ac+b+1＝0，
∴把y＝1代入方程acy2+by+1＝0，得左边＝ac+b+1＝0＝右边，
∴y＝1是关于y的方程acy2+by+1＝0的一个根，
∴关于y的方程acy2+by+1＝0是常数根一元二次方程．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程以及新定义，解题的关键是利用常数根一元二次方程的定义，得出关于c或m的方程．
48．若（m2﹣2m）x|m﹣2|﹣mx﹣3＝0是关于x的一元二次方程，求m的值．
【思路点拔】根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．
解：由题意得：
|m﹣2|＝2且m2﹣2m≠0，
解得m＝4．
即m的值为4．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
49．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
【思路点拔】（1）由一元二次方程的定义可得m2+1＝2且m+1≠0，求出m的值即可；
（2）由一元一次方程的定义可得分m2+1＝1、m+1＝0两种情况进行讨论得到符合题意的m的值，进而得到一元一次方程，进行求解即可解答本题．
解：（1）存在．
∵方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0是一元二次方程，
∴m2+1＝2且m+1≠0，
解得m＝1；
（2）存在．
∵方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0是一元一次方程
当m2+1＝1时，解得m＝0，此时一元一次方程为x﹣2x﹣1＝0，解得x＝﹣1；
当m+1＝0时，解得m＝﹣1，此时一元一次方程为﹣3x﹣1＝0，解得x．
【点评】本题考查一元二次方程和一元一次方程的知识，解题的关键是掌握两种方程的定义及其区别．
50．已知x＝a是一元二次方程x2﹣2024x﹣3＝0的一个根，求的值．
【思路点拔】根据a是一元二次方程x2﹣2024x﹣3＝0的一个根，得出a2﹣3＝2024a，a2﹣2024a＝3，再整体代入求解即可．
解：由题意，将x＝a代入方程x2﹣2024x﹣3＝0，
得a2﹣2024a﹣3＝0，
∴a2﹣3＝2024a，a2﹣2024a＝3，
∴
＝a2﹣2023a﹣a﹣1，
＝a2﹣2024a﹣1
＝2
∴的值为2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握整体代入是关键．
51．先化简，再求值：，其中a是方程x2+x﹣4＝0的解．
【思路点拔】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据方程的解可得：a2+a＝4，整体代入计算可得．
解：原式（）
；
∵a是方程x2+x﹣4＝0的解，
∴a2+a﹣4＝0．
∴a2+a＝4．
∴原式．
【点评】本题主要考查分式的化简求值和一元二次方程的解，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则及整体思想的运用．
52．先化简，再求值，其中x为方程x2+x﹣2＝0的根．
【思路点拔】先对分式进行化简，然后求出一元二次方程的解，进而代值求解即可．
解：
，
，
由x2+x﹣2＝0得，x＝﹣2或x＝1，
∵当x＝2，﹣1或1时，原分式无意义，，
∴x只能为﹣2，
当x＝﹣2时，原式．
【点评】本题考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，解题的关键是熟练掌握运算法则和运算顺序．
53．先化简，再求值：，其中a是方程a2﹣2a﹣3＝0的解．
【思路点拔】先利用十字相乘法把方程的左边分解因式，化成一元一次方程，解方程求出a，再把括号里面的1写成分母是a+2的分式，按照混合运算法则先算括号里面的，再按照同分母分式相加法则进行计算，再分解因式和约分，最后把a的值代入化简后的式子进行计算即可．
解：a2﹣2a﹣3＝0，
（a﹣3）（a+1）＝0，
a﹣3＝0，a+1＝0，
a＝3或﹣1，
＝a﹣1，
当a＝3时，原式＝3﹣1＝2；
当a＝﹣1时，原式＝﹣1﹣1＝﹣2；
∴原式＝±3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解和分式的化简求值，解题关键是熟练掌握几种常见的解一元二次方程的方法和分式的通分与约分．
54．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个根是x＝﹣1，且a，b满足，求a，b，c的值．
【思路点拔】由二次根式有意义的条件可得a，进而可求b；将x＝﹣1代入方程即可求c．
解：由题意得：a﹣3≥0，3﹣a≥0，
∴a＝3，
∴，
故方程为：3x2﹣2x+c＝0，
将x＝﹣1代入方程得：3+2+c＝0，
∴c＝﹣5．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件、一元二次方程的解．确定a的值是解题关键．
55．阅读下列材料：
方程x2+3x﹣1＝0两边同时除以x（x≠0），得，即．因为，所以．
根据以上材料、解答下列问题：
（1）已知方程x2﹣4x﹣1＝0（x≠0），则 4 ； 18 ．
（2）若m是方程2x2﹣7x+2＝0的根，求的值．
【思路点拔】（1）根据阅读材料，利用完全平方公式求解即可；
（2）根据阅读材料，结合（1）的方法利用完全平方公式求解即可．
解：（1）方程x2﹣4x﹣1＝0（x≠0）两边同时除以x，得x﹣40，
∴4；
因为，
所以（x）2+2＝18，
故答案为：4，18；
（2）∵m是方程2x2﹣7x+2＝0的根，
∴2m2﹣7m+2＝0，
方程两边同时除以2m，得m0，
∴m，
∵（m）2＝m22，
∴（m）2+2＝（）2+22．
【点评】本题考查一元一次方程的解，换元法解分式方程，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
56．请阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x所以．
把代入已知方程，得
化简，得y2+2y﹣4＝0
故所求方程为y2+2y﹣4＝0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，并写出系数a、c的取值范围．
【思路点拔】（1）利用换根法，将所求新方程的根换元为原方程根的相反数，代入原方程化简即求出新方程；
（2）利用换根法，将所求新方程的根换元为原方程根的倒数，代入原方程化简即求出新方程；根据一元二次方程根的特点，可以求出系数a、c的取值范围．
解：（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x，
∴x＝﹣y，
将x＝﹣y代入已知方程，可得（﹣y）2+（﹣y）﹣2＝0，
化简方程，得y2﹣y﹣2＝0，
故所求方程为y2﹣y﹣2＝0．
（2）设所求方程的非零实根为y，则，
∴，
将代入已知方程，可得，
化简方程，得cy2+by+a＝0，
故所求方程为cy2+by+a＝0，
∵新方程和原方程分别有两个非零实数根，
∴a≠0，c≠0．
【点评】本题主要考查了有理数的有关概念及一元二次方程的一般性质和特点，理解掌握一元二次方程的特点是解本题的关键．
57．先化简再求值，其中a是方程a2+2a﹣9＝0的根．
【思路点拔】先根据分式的混合运算法则化简，然后利用整体代入的思想解决问题即可．
解：
∵a是方程a2+2a﹣9＝0的根
∴a2+2a＝9
∴原式．
【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是用整体代入的思想解决问题．
58．若a是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣9＝0的根，求代数式（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）的值．
【思路点拔】将x＝a代入x2﹣3x﹣9＝0得a2﹣3a﹣9＝0，由（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）＝a2﹣3a﹣13即可求解．
解：将x＝a代入x2﹣3x﹣9＝0得a2﹣3a﹣9＝0，
∴a2﹣3a＝9，
（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）
＝a2﹣16﹣3a+3
＝a2﹣3a﹣13
＝9﹣13
＝﹣4．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，根据所求代数式进行变换求解是解题的关键．
59．已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1＝0的根，求代数式a2﹣2015a的值．
【思路点拔】方程的解a满足方程x2﹣2016x+1＝0．用2016a替换a2+1对a2﹣2015a的进行化简．
解：∵a是方程x2﹣2016x+1＝0的一个根，
∴a2﹣2016a+1＝0，
∴a2+1＝2016a，a2﹣2015a＝a﹣1，
∴a2﹣2015a的＝﹣1+a﹣a＝﹣1．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义，属于中考常考题型．
60．已知x是方程x2+2ax+a2的根，求代数式a（2a﹣1）+a2+3a的值．
【思路点拔】先把代入，求出3a2+2a的值，再把所求代数式进行化简，最后整体代入求值即可．
解：把代入得：
，
3a2+2a﹣3＝0，
3a2+2a＝3，
∴a（2a﹣1）+a2+3a
＝2a2﹣a+a2+3a
＝3a2+2a
＝3．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程解的定义和合并同类项法则．
