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北师大版《用配方法求解一元二次方程》提升训练题
一．选择题（共14小题）
1．一元二次方程x2+4x﹣7＝0配方后可化为（ ）
A．（x﹣2）2＝4 B．（x+2）2＝4 C．（x﹣2）2＝11 D．（x+2）2＝11
2．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0配方后的方程是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣2）2＝5 D．（x+2）2＝5
3．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝29 B．（x﹣6）2＝29 C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝2
4．一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝8
5．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+3＝0，此方程可化为（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3
6．用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣1）2＝9
8．一元二次方程4y2﹣4y﹣3＝0配方后可化为（ ）
A． B．
C． D．
9．把方程x2﹣4x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是（ ）
A．2，5 B．4，3 C．﹣2，5 D．﹣4，3
10．若关于x的一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方后得到方程（x﹣4）2＝4c，则c的值为（ ）
A．﹣4 B． C．4 D．
11．一元二次方程x2+4x+5＝0经过配方变形为（x+2）2＝n，则n的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．4 D．9
12．用配方法将方程x2﹣4x﹣2＝0变形为（x﹣2）2＝m，则m＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
13．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的过程中，配方正确的是（ ）
A．（x+1）2＝1 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝4
14．一元二次方程x2﹣4x+m＝0可以通过配方转化为（x﹣p）2＝5的形式，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．9
二．填空题（共18小题）
15．定义：若4n3﹣3n﹣2（n为正整数，且0＜n＜500）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“幸运数”．则“幸运数”n的最小值为 ，最大值为 ．
16．方程（x﹣1）2＝1的根为 ．
17．已知M＝x2+x，N＝3x﹣2，则M，N的大小关系是M N（填“＞”、“＜”或“＝”）．
18．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为 ．
19．若一元二次方程x2+mx+1＝0经过配方，变形为（x+3）2＝n的形式，则mn的值为 ．
20．设x＝a+2b，y＝a+b2+1，则x和y的大小关系是：x y（填“＞”“≥”“＜”“≤”）
21．如果多项式p＝a2+4b2+2a+4b+2024，则p的最小值是 ．
22．用配方法解一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0时，将方程转化成（x+m）2＝n的形式为 ．
23．若实数x、y满足x2+xy+y2﹣3y+3＝0，则y的值为 ．
24．若a+1，则a2+b2﹣c2的最大值是 ．
25．已知a2+b2+4a+6b+13＝0，则ab的值为 ．
26．已知，则的值为 ．
27．若把代数式x2﹣2x+3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k＝ ．
28．老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流，总结出如下解答：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．
因为（x+2）2≥0，
所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0．
所以（x+2）2+1≥1，
所以当x＝﹣2时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
所以x2+4x+5的最小值是1．
根据以上方法，若x、y、z为实数，且，则代数式x2﹣3y2+z2的最大值是 ．
29．已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，则△ABC的周长为 ．
30．关于x的方程（x+h）2+k＝0（h，k均为常数）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程（x+h﹣3）2+k＝0的解是 ．
31．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+a）2＝1，则a+c的值为 ．
32．利用（a±b）2可求某些整式的最值．例如x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，由（x﹣1）2≥0知，当x＝1时，多项式x2﹣2x+2有最小值1．对于多项式x2+3x+2，当x＝ 时，有最小值是 ．
三．解答题（共28小题）
33．已知整式（a2+ab）﹣（★ab﹣b2﹣5），其中“★”处的系数被墨水污染了．当a＝3，b＝﹣2时，该整式的值为30．
（1）则★所表示的数字是多少？
（2）嘉淇说该代数式的值一定是正的，你认为嘉淇的说法对吗？说明理由．
34．王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程2x2﹣8x+3＝0的过程如下：
解：移项，得2x2﹣8x＝﹣3．第一步
二次项系数化为1，得x2﹣4x＝﹣3．第二步
配方，得x2﹣4x+4＝﹣3+4．第三步
因此（x﹣2）2＝1．第四步
由此得x﹣2＝1或x﹣2＝﹣1．第五步
解得x1＝3，x2＝1．第六步
（1）王明的解题过程从第 步开始出现了错误；
（2）请利用配方法正确地解方程2x2﹣8x+3＝0．
35．已知a、b、c是△ABC三边长，且a2﹣8a+b2﹣6b+c2﹣6c+34＝0，试判断△ABC的形状．
36．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2﹣10x+ ＝（x﹣ ）2；
（2）将x2﹣8x+2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣8x+2的最小值；
（3）若M＝4a2+9a+3，N＝3a2+11a﹣1，其中a为任意数，试比较M与N的大小，并说明理由．
37．若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c满足a2﹣6a+b2﹣8b+c2﹣10c+50＝0，求a，b，c的值，并判断△ABC的形状．
38．用配方法证明：无论x，y取何实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值总不小于2．
39．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式： ；
（2）若x2﹣4x+5可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），则mn＝ ；
（3）探究问题：已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，求x+y的值．
40．请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法，求代数式x2+2x﹣3的最小值．
x2+2x﹣3＝x2+2x+12﹣12﹣3＝（x+1）2﹣4，
∵（x+1）2≥0，∴当x＝﹣1时，x2+2x﹣3有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）x2+6x+10＝x2+2×3x+32﹣32+10＝（x+a）2+b，则a＝ ，b＝ ；
（2）求证：无论x取何值，代数式x2+2x+5的值都是正数；
（3）若代数式x2﹣2kx+7的最小值为3，求k的值．
41．阅读下列材料：“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
简单应用：
（1）填空：x2﹣4x+7＝（x﹣ ）2+ ；
深入探究：
（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；
灵活应用：
（3）比较代数式2x2﹣4x+5与x2+x﹣2的大小，并说明理由．
42．已知M＝x2﹣x+1．
（1）当M＝3时，求x的值；
（2）若M＝3x2+1，求M的值；
（3）求证：M＞0．
43．我们知道“a2≥0”，其中a表示任何有理数，也可表示任意代数式．有时我们通过将某些代数式配成完全平方式进行恒等变形来解决符号判断、大小比较等问题，简称“配方法”．例如：x2+2x+2＝x2+2x+1+1＝（x+1）2+1．
∵（x+1）2≥0，
∴（x+1）2+1≥1．
即：x2+2x+2≥1．
试利用“配方法”解决以下问题：
（1）填空：x2﹣2x+4＝（A）2+B，则代数式A＝ ，常数B＝ ；
（2）已知a2+b2＝6a﹣4b﹣13，求ab的值；
（3）已知代数式M＝4x﹣5，N＝2x2﹣1，试比较M，N的大小．
44．阅读下列材料：
利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，
例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2 x 4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系，
∵x2﹣2x+3＝（x﹣ ）2+ ；
所以x2﹣2x+3 0（填“＞”、“＜”、“＝”）；
（2）将多项式x2+6x﹣9变形为（x+m）2+n的形式，并求出多项式的最小值；
（3）求证：x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．
45．配方法是中学数学中非常重要的内容．如，若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值时，可以用配方法：
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b＝4，c2﹣6c+ab+13＝0，求a+b+c的值．
46．（1）【特例探究】比较a2+b2与2ab的大小（用等号或不等号填空）：
当a＝1，b＝﹣1时，a2+b2 2ab，
当a＝0，b＝2时，a2+b2 2ab，
当a＝﹣3，b＝﹣3时，a2+b2 2ab；
（2）【猜想证明】无论a取何值，试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】已知a2+b2＝2，求ab的最大值．
47．解方程：
（1）x2﹣9＝0；
（2）x2+4x﹣1＝0．
48．解方程．
（1）x2﹣9＝0；
（2）x（x﹣1）＝3x+7．
49．用适当的方法解方程．
（1）（x+1）2﹣8＝0；
（2）2x2﹣1＝4x．
50．解下列方程：
（1）用直接开平方法解方程：2x2﹣24＝0
（2）用配方法解方程：x2+4x+1＝0．
51．解方程（1）（2x﹣1）2﹣16＝0；
（2）x2﹣2x+1＝0（用配方法解）
52．解方程：
（1）（x﹣3）2﹣9＝0；
（2）9y2﹣6y+1＝3．
53．解下列方程：
（1）9x2﹣25＝0；
（2）x2+8x﹣9＝0；
（3）4（3x﹣1）2﹣9（3x+1）2＝0；
（4）3x2﹣6x+4＝0．
54．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如：
求a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8
＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1，
∵（a+3）2≥0，
∴（a+3）2﹣1≥﹣1，
即a2+6a+8的最小值为﹣1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ ．
（2）求﹣x2+4x+5的最大值．
（3）已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，求x+y的值．
55．先阅读下面的例题，再解决问题：
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，
∴m+n＝0，n﹣3＝0，
∴n＝3，m＝﹣3．
问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求x和y的值．
（2）试探究关于x、y的代数式5x2+y2﹣4xy﹣6x+2033是否有最小值？若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由．
56．根据完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做“配方法”．例如把x2﹣2x+9配方如下：x2﹣2x+9＝x2﹣2x+1+8＝（x﹣1）2+8．请完成下列问题：
（1）填空：配方多项式x2﹣4x+1的结果为 ；
（2）当x等于多少时，代数式x2+6x+6的值最小？
（3）用一根长为12米的绳子围成一个长方形，请问长方形的边长为多少时，围成的长方形面积最大？最大面积是多少？
57．先阅读下面的例题，再按要求解答问题：
求代数式x2+6x+10的最小值．
解：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1，
（x+3）2≥0，∴（x+3）2+1≥1
∴x2+6x+10的最小值是1．
请利用以上方法，解答下列问题：
（1）求代数式y2+10y+27的最小值 .；
（2）若代数式x2+2kx+7有最小值是6，求k的值 ；
（3）判断代数式8﹣m2+4m有最大值还是有最小值，并求出该最值；
（4）已知a，b为任意值，试比较4a2+b2+11与12a﹣2b的大小关系，并说明理由．
58．（1）当x＝ 时，多项式x2﹣6x+12的最小值为 ．
（2）当x＝ 时，多项式﹣x2+2x﹣3的最大值为 ．
（3）当x、y为何值时，多项式2x2﹣4xy+6y2﹣12y+19取最小值？并求出这个最小值．
59．先阅读下面的例题，再解决问题：例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值，解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，
∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0，
∴m+n＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣3，n＝3．
问题：
（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求x和y的值．
（2）试探究关于x、y的代数式5x2+y2﹣4xy﹣6x+2028是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由．
60．阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值，
我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．
解：∵x2+6x+5＝x2+2×（3x）+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4，
∵（x+3）2≥0，
∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）若x2+4x+5＝（x+a）2+b，则a＝ ；b＝ ；
（2）求代数式2x2+4x﹣1的最值；
（3）若代数式﹣x2+kx+7的最大值为8，求k的值．中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版《用配方法求解一元二次方程》提升训练题
一．选择题（共14小题）
1．一元二次方程x2+4x﹣7＝0配方后可化为（ ）
A．（x﹣2）2＝4 B．（x+2）2＝4 C．（x﹣2）2＝11 D．（x+2）2＝11
【思路点拔】常数项移到方程的右边后，两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式即可．
解：x2+4x﹣7＝0，
x2+4x＝7，
x2+4x+4＝7+4，
（x+2）2＝11，
故选：D．
【点评】本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式和配方法的基本步骤是解题的关键．
2．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0配方后的方程是（ ）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣2）2＝5 D．（x+2）2＝5
【思路点拔】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
解：方程移项得：x2﹣4x＝﹣1，
配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3．
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0配方后得到的方程是（ ）
A．（x+6）2＝29 B．（x﹣6）2＝29 C．（x+3）2＝2 D．（x﹣3）2＝2
【思路点拔】方程两边同时加上一次项系数一半的平方计算即可．
解：∵x2﹣6x+7＝0，
∴x2﹣6x＝﹣7
∴x2﹣6x+32＝﹣7+9，
∴（x﹣3）2＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键．
4．一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+3）2＝10 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝10 D．（x﹣3）2＝8
【思路点拔】根据配方法即可求出答案．
解：∵x2﹣6x﹣1＝0，
∴x2﹣6x＝1，
∴x2﹣6x+9＝10，
∴（x﹣3）2＝10，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
5．用配方法解一元二次方程x2﹣4x+3＝0，此方程可化为（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x+2）2＝1 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3
【思路点拔】把常数项3移项后，在左右两边同时加上一次项系数一半的平方即可．
解：x2﹣4x+3＝0，
x2﹣4x＝﹣3，
x2﹣4x+4＝﹣3+4
（x﹣2）2＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟知配方法的一般步骤是解题的关键．
6．用配方法解一元二次方程2x2﹣2x﹣1＝0，下列配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
解：方程2x2﹣2x﹣1＝0，
整理得：x2﹣x，
配方得：x2﹣x，即（x）2．
故选：C．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程变形为（ ）
A．（x+1）2＝6 B．（x﹣1）2＝6 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣1）2＝9
【思路点拔】首先把常数项移到右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，即可得解．
解：x2﹣2x﹣5＝0，
x2﹣2x＝5，
x2﹣2x+1＝5+1，
∴（x﹣1）2＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是关键．
8．一元二次方程4y2﹣4y﹣3＝0配方后可化为（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拔】利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答．
解：4y2﹣4y﹣3＝0，
y2﹣y0，
y2﹣y，
y2﹣y，
（y）2＝1，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
9．把方程x2﹣4x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是（ ）
A．2，5 B．4，3 C．﹣2，5 D．﹣4，3
【思路点拔】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5，
∴m＝﹣2，m＝5，
故选：C．
【点评】本题主要考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握解一元二次方程—配方法是解题的关键．
10．若关于x的一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方后得到方程（x﹣4）2＝4c，则c的值为（ ）
A．﹣4 B． C．4 D．
【思路点拔】利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，从而根据题意可得：﹣c+16＝4c，然后进行计算即可解答．
解：x2﹣8x+c＝0，
x2﹣8x＝﹣c，
x2﹣8x+16＝﹣c+16，
（x﹣4）2＝﹣c+16，
由题意得：﹣c+16＝4c，
解得：c，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
11．一元二次方程x2+4x+5＝0经过配方变形为（x+2）2＝n，则n的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．4 D．9
【思路点拔】利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答．
解：x2+4x+5＝0，
x2+4x＝﹣5，
x2+4x+4＝﹣5+4，
（x+2）2＝﹣1，
∴n＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
12．用配方法将方程x2﹣4x﹣2＝0变形为（x﹣2）2＝m，则m＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拔】将方程的常数项移到右边，两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
解：∵x2﹣4x﹣2＝0，
∴x2﹣4x＝2，
则x2﹣4x+4＝2+4，即（x﹣2）2＝6，
∴m＝6．
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知用配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．
13．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的过程中，配方正确的是（ ）
A．（x+1）2＝1 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝4
【思路点拔】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
解：x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
14．一元二次方程x2﹣4x+m＝0可以通过配方转化为（x﹣p）2＝5的形式，则m的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．9
【思路点拔】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．
解：∵x2﹣4x+m＝0，
∴x2﹣4x＝﹣m，
则x2﹣4x+4＝﹣m+4，即（x﹣2）2＝﹣m+4，
∴p＝2，﹣m+4＝5，
∴m＝﹣1，
故选：A．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
二．填空题（共18小题）
15．定义：若4n3﹣3n﹣2（n为正整数，且0＜n＜500）等于两个连续正奇数的乘积，则称n为“幸运数”．则“幸运数”n的最小值为 401 ，最大值为 485 ．
【思路点拔】由题意可知，4n3﹣3n﹣2（n为正整数，且0＜n＜500）等于两个连续正奇数的乘积，设较小的正奇数为m，则另一个正奇数为m+2（m＞0），利用求根公式解答，分情况讨论即可．
解：∵4n3﹣3n﹣2（n为正整数，且0＜n＜500）等于两个连续正奇数的乘积，设较小的正奇数为m，则另一个正奇数为m+2（m＞0），
∴4n3﹣3n﹣2＝m（m+2），
∴4n3﹣3n﹣2＝m2+2m，
∴m2+2m﹣（4n3﹣3n﹣2）＝0，
∴m
，
∴m或m0（舍去），
∴当m为正整数时，n为“幸运数”，
∵4n3﹣3n﹣1＝4n3﹣4n+n﹣1
＝4n（n2﹣1）+（n﹣1）
＝4n（n+1）（n﹣1）+（n﹣1）
＝（n﹣1）（4n2+4n+1）
＝（n﹣1）（2n+1）2，
∴m
＝（2n+1）1，
∵m为正奇数，
∴m为整数，
∴也必须是整数，
令p，
∴p2＝n﹣1，
∴n＝p2+1，
当p＝20时，n＝401，
当p＝21时，n＝442，
当p＝22时，n＝485，
当p＝23时，n＝530，
∵0＜n＜500，
∴“幸运数”n的最小值为401，最大值为485．
故答案为：401，485．
【点评】本题考查了因式分解的应用，配方的应用，解题的关键是理解题意，掌握学会用方程解决问题，
16．方程（x﹣1）2＝1的根为 x1＝2，x2＝0 ．
【思路点拔】利用直接开平方法求解即可．
解：∵（x﹣1）2＝1，
∴x﹣1＝±1，
则x1＝2，x2＝0，
故答案为：x1＝2，x2＝0．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
17．已知M＝x2+x，N＝3x﹣2，则M，N的大小关系是M ＞ N（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【思路点拔】利用求差法比较大小即可．
解：M﹣N＝x2+x﹣（3x﹣2）
＝x2﹣2x+2
＝（x﹣1）2+1，
∵（x﹣1）2≥0，
∴M﹣N＞0，
∴M＞N．
故答案为：＞．
【点评】本题考查整式的加减，配方法的应用，非负数的性质：偶次方等知识，解题的关键是学会利用求差法比较大小．
18．用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0时，将它化为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为 5 ．
【思路点拔】根据配方法的步骤：①把常数项移到等号的右边；②等式两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数项，由此可得出a，b的值，即可得出答案．
解：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x＝5，
∴x2﹣2x+1＝5+1，
∴（x﹣1）2＝6，
∴a＝﹣1，b＝6，
∴a+b＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查解一元二次方程﹣配方法，能够将一元二次方程正确配方是解答本题的关键．
19．若一元二次方程x2+mx+1＝0经过配方，变形为（x+3）2＝n的形式，则mn的值为 48 ．
【思路点拔】利用完全平方公式进行计算可得：x2+6x+9＝n，从而可得x2+6x+9﹣n＝0，进而可得m＝6，9﹣n＝1，然后求出n的值，从而代入式子中进行计算即可解答．
解：∵（x+3）2＝n，
∴x2+6x+9＝n，
x2+6x+9﹣n＝0，
∵x2+mx+1＝0，
∴m＝6，9﹣n＝1，
解得：n＝8，
∴mn＝6×8＝48，
故答案为：48．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握解一元二次方程﹣配方法是解题的关键．
20．设x＝a+2b，y＝a+b2+1，则x和y的大小关系是：x ≤ y（填“＞”“≥”“＜”“≤”）
【思路点拔】先求出x﹣y＝a+2b﹣（a+b2+1），结合整式的加减运算法则及因式分解得x﹣y＝﹣（b﹣1）2，最后根据平方的非负性及不定式的性质可得结论．
解：∵x＝a+2b，y＝a+b2+1，
∴x﹣y＝a+2b﹣（a+b2+1）
＝2b﹣b2﹣1
＝﹣（b2﹣2b+1）
＝﹣（b﹣1）2≤0，
∴x≤y．
故答案为：≤．
【点评】本题考查了配方法的应用、非负数的性质﹣偶次方，判断出x﹣y≤0是解题的关键．
21．如果多项式p＝a2+4b2+2a+4b+2024，则p的最小值是 2022.75 ．
【思路点拔】先把代数式进行配方，再根据非负数的性质求解．
解：∵p＝a2+4b2+2a+4b+2024＝（a+1）2+（2b+1）2+2022≥2022，
故答案为：2022．
【点评】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式和非负数的性质是解题的关键．
22．用配方法解一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0时，将方程转化成（x+m）2＝n的形式为 ．
【思路点拔】在本题中，把常数项﹣4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣3的一半的平方．
解：x2﹣3x﹣4＝0，
x2﹣3x＝4，
x2﹣3x4，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
23．若实数x、y满足x2+xy+y2﹣3y+3＝0，则y的值为 2 ．
【思路点拔】已知等式变形后，利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值．
解：x2+xy+y2﹣3y+3＝0，
x2+xyy2y2﹣3y+3＝0，
（xy）2+3（1）2＝0，
∴xy＝0，1＝0
∴x＝﹣1，y＝2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了配方法的应用、非负数的性质，解题的关键是对方程的左边进行配方，难度不大．
24．若a+1，则a2+b2﹣c2的最大值是 41 ．
【思路点拔】根据连等，用含a的代数式表示出b、c，代入a2+b2﹣c2中，利用配方的办法求出其最大值．
解：∵a+1，
则b＝2a+3，c＝3a﹣2
∴a2+b2﹣c2＝a2+（2a+3）2﹣（3a﹣2）2
＝a2+4a2+12a+9﹣9a2+12a﹣4
＝﹣4a2+24a+5
＝﹣4a2+24a﹣36+36+5
＝﹣4（a﹣3）2+41
∵（a﹣3）2≥0
∴当a＝3时，a2+b2﹣c2＝41
即a2+b2﹣c2最大值是41．
故答案为：41．
【点评】本题考查了代数式的变形及配方法确定极值．掌握配方法是解决本题的关键．
25．已知a2+b2+4a+6b+13＝0，则ab的值为 ．
【思路点拔】首先利用已知配方得出a，b的值，进而代入求出即可．
解：∵a2+b2+4a+6b+13＝0
∴（a+2）2+（b+3）2＝0，
∴a＝﹣2，b＝﹣3，
∴ab＝（﹣2）﹣3．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了整式的化简求值，正确配方得出是解题关键．
26．已知，则的值为 4 ．
【思路点拔】将原方程进行变形，把含a的放一块，含b的放一块，配成完全平方公式的形式，进而求得a，b的值，最后求出代数式的值．
解：∵已知，
∴（a2﹣2a+1）+（ b2+b+1）＝0，
∴（a﹣1）2+（ b+1）2＝0，
∵（a﹣1）2≥0，（ b+1）2≥0，
∴a﹣1＝0，b+1＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，
∴3×1（﹣2）
＝3+1
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了配方法的应用，对原方程进行正确变形是解题的关键．
27．若把代数式x2﹣2x+3化为（x﹣m）2+k的形式，其中m，k为常数，则m+k＝ 3 ．
【思路点拔】根据配方法的步骤把x2﹣2x+3变形为（x﹣1）2+2，得出m＝1，k＝2，即可得出结论．
解：∵x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1+2＝（x﹣1）2+2，
∴m＝1，k＝2，
∴m+k＝3，
故答案为：3．
【点评】此题考查了配方法的应用，把x2﹣2x+3变形为（x﹣1）2+2是解题的关键．
28．老师在讲完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式x2+4x+5的最小值．同学们经过交流，总结出如下解答：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．
因为（x+2）2≥0，
所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0．
所以（x+2）2+1≥1，
所以当x＝﹣2时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
所以x2+4x+5的最小值是1．
根据以上方法，若x、y、z为实数，且，则代数式x2﹣3y2+z2的最大值是 26 ．
【思路点拔】现根据方程组用z表示出x和y，再利用配方法把代数式变形，再根据偶次方的非负性解答即可．
解：，
解得，
∴x2﹣3y2+z2＝（2﹣z）2﹣3（1+z）2+z2＝﹣z2﹣10z+1＝﹣（z+5）2+26，
∵（z+5）2≥0，
∴﹣（z+5）2≤0，
∴﹣（z+5）2+26≤26，
∴当z＝﹣5时，﹣（z+5）2+26的值最大，最大值为26，
∴x2﹣3y2+z2的最大值是26．
故答案为：26．
【点评】本题考查的是配方法的应用，正确利用配方法变形代数式是解题的关键．
29．已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，则△ABC的周长为 11 ．
【思路点拔】依据题意，由2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，可得2a2﹣4a+2+b2﹣10b+25＝0，从而2（a﹣1）2+（b﹣5）2＝0，故可得a＝1，b＝5，再由三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求出c，进而计算可以得解．
解：由题意，∵2a2+b2﹣4a﹣10b+27＝0，
∴2a2﹣4a+2+b2﹣10b+25＝0．
∴2（a﹣1）2+（b﹣5）2＝0．
∴a﹣1＝0，b﹣5＝0．
∴a＝1，b＝5．
由三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
∴5﹣1＜c＜5+1．
∴4＜c＜6．
又∵c是正整数，
∴c＝5．
∴△ABC的周长为：1+5+5＝11．
故答案为：11．
【点评】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质、三角形三边关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
30．关于x的方程（x+h）2+k＝0（h，k均为常数）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程（x+h﹣3）2+k＝0的解是 x1＝0，x2＝5 ．
【思路点拔】仿照已知方程的解确定出所求方程的解即可．
解：∵关于x的方程（x+h）2+k＝0（h，k均为常数）的解是x1＝﹣3，x2＝2，
∴（x+h﹣3）2+k＝0的解是x﹣3＝﹣3或x﹣3＝2，即x1＝0，x2＝5．
故答案为：x1＝0，x2＝5．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，熟练掌握平方根定义是解本题的关键．
31．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+a）2＝1，则a+c的值为 11 ．
【思路点拔】先把常数项移到等号的另一边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方后得新方程，根据题目中两个方程相等确定a、c，最后求出a+c．
解：x2+6x+c＝0，
移项，得x2+6x＝﹣c，
配方，得x2+6x+9＝9﹣c．
∴（x+3）2＝9﹣c．
∵一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+a）2＝1，
∴a＝3，9﹣c＝1．
∴c＝8．
∴a+c＝3+8＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查了配方法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解决本题的关键．
32．利用（a±b）2可求某些整式的最值．例如x2﹣2x+2＝（x2﹣2x+1）+1＝（x﹣1）2+1，由（x﹣1）2≥0知，当x＝1时，多项式x2﹣2x+2有最小值1．对于多项式x2+3x+2，当x＝ 时，有最小值是 ．
【思路点拔】将多项式配成完全平方的形式，然后令平方项为0，求最值即可．
解：x2+3x+2＝（x2x）+2＝[x2+3x+（）2﹣（）2）+2＝（x）2．
∴当x时，x2+3x+2有最小值．
故答案为：，．
【点评】本题考查配方法的应用，非负数的性质偶次方，必须熟练掌握相关知识点，灵活运用是解关键．
三．解答题（共28小题）
33．已知整式（a2+ab）﹣（★ab﹣b2﹣5），其中“★”处的系数被墨水污染了．当a＝3，b＝﹣2时，该整式的值为30．
（1）则★所表示的数字是多少？
（2）嘉淇说该代数式的值一定是正的，你认为嘉淇的说法对吗？说明理由．
【思路点拔】（1）把a＝3，b＝﹣2代入整式得（9﹣6）﹣[★（﹣6）﹣4﹣5]＝30，解之即可求解；
（2）把（1）中所得的结果代入整式，化简后再利用完全平方公式即可求解．
解：（1）将a＝3，b＝﹣2代入（a2+ab）﹣（★ab﹣b2﹣5）得，
（9﹣6）﹣[★（﹣6）﹣4﹣5]＝30，
即3+6★+9＝30，
解得★＝3；
（2）嘉淇的说法是正确的，理由如下：
由（1）求得的结果可得该整式为
（a2+ab）﹣（3ab﹣b2﹣5）＝a2﹣2ab+b2+5＝（a﹣b）2+5，
∵（a﹣b）2≥0，
∴（a﹣b）2+5＞0，
∴嘉淇的说法是正确的．
【点评】本题考查了整式的运算，配方法的应用，掌握整式的运算法则是解题的关键．
34．王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程2x2﹣8x+3＝0的过程如下：
解：移项，得2x2﹣8x＝﹣3．第一步
二次项系数化为1，得x2﹣4x＝﹣3．第二步
配方，得x2﹣4x+4＝﹣3+4．第三步
因此（x﹣2）2＝1．第四步
由此得x﹣2＝1或x﹣2＝﹣1．第五步
解得x1＝3，x2＝1．第六步
（1）王明的解题过程从第 二 步开始出现了错误；
（2）请利用配方法正确地解方程2x2﹣8x+3＝0．
【思路点拔】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
（1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤；
（2）由配方法解一元二次方程即可得到答案．
解：（1）解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的﹣3未除以2，
故答案为：二；
（2）2x2﹣8x+3＝0．
移项，得：2x2﹣8x＝﹣3，
二次项系数化为1，得：x2﹣4x，
配方，得：x2﹣4x+44，
因此（x﹣2）2，
由此得：x﹣2或x﹣2，
解得：x1＝2．
【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
35．已知a、b、c是△ABC三边长，且a2﹣8a+b2﹣6b+c2﹣6c+34＝0，试判断△ABC的形状．
【思路点拔】先利用完全平方公式把等式左边分解因式从而得到（a﹣4）2+（b﹣3）2+（c﹣3）2＝0，再由非负数的性质得到a﹣4＝0，b﹣3＝0，c﹣3＝0，则a＝4，b＝c＝3，由此可得结论．
解：∵a2﹣8a+b2﹣6b+c2﹣6c+34＝0，
∴（a2﹣8a+16）+（b2﹣6b+9）+（c2﹣6c+9）＝0，
∴（a﹣4）2+（b﹣3）2+（c﹣3）2＝0，
∵（a﹣4）2≥0，（b﹣3）2≥0，（c﹣3）2≥0，
∴（a﹣4）2＝（b﹣3）2＝（c﹣3）2＝0，
∴a﹣4＝0，b﹣3＝0，c﹣3＝0，
∴a＝4，b＝c＝3，
∴△ABC为等腰三角形．
【点评】本题主要考查了配方法的应用，等腰三角形的定义，非负数的性质，掌握配方法是关键．
36．把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法求最小值，求a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1，因为不论a取何值，（a+3）2总是非负数，即（a+3）2≥0．所以（a+3）2﹣1≥﹣1，所以当a＝﹣3时，a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．
根据上述材料，解答下列问题：
（1）填空：x2﹣10x+ 25 ＝（x﹣ 5 ）2；
（2）将x2﹣8x+2变形为（x+m）2+n的形式，并求出x2﹣8x+2的最小值；
（3）若M＝4a2+9a+3，N＝3a2+11a﹣1，其中a为任意数，试比较M与N的大小，并说明理由．
【思路点拔】（1）根据完全平方公式求解；
（2）利用配方法求最小值即可；
（3）利用作差法比较大小．
解：（1）x2﹣10x+25＝（x﹣5）2，
故答案为：25，5；
（2）x2﹣8x+2
＝x2﹣8x+16﹣16+2
＝（x﹣4）2﹣14，
∵不论x取何值，（x﹣4）2总是非负数，
即（x﹣4）2≥0，
∴（x﹣4）2﹣14≥﹣14，
∴当x＝4时，x2﹣8x+2有最小值，最小值是﹣14；
（3）M＞N．理由如下：
M﹣N
＝4a2+9a+3﹣（3a2+11a﹣1）
＝4a2+9a+3﹣3a2﹣11a+1
＝a2﹣2a+4
＝a2﹣2a+1﹣1+4
＝（a﹣1）2+3，
∵（a﹣1）2≥0，
∴（a﹣1）2+3＞0，
∴M﹣N＞0，
∴M＞N．
【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，利用作差法比较大小是解题的关键．
37．若a，b，c为△ABC的三边长，且a，b，c满足a2﹣6a+b2﹣8b+c2﹣10c+50＝0，求a，b，c的值，并判断△ABC的形状．
【思路点拔】利用一次项的系数分别求出常数项，把50分成9、16、25，然后配成完全平方公式a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，即为（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，再利用非负数的性质，可分别求出a、b、c的值；然后根据a、b、c的值可得a2+b2＝c2，利用勾股定理的逆定理即可得出结果．
解：∵a2﹣6a+b2﹣8b+c2﹣10c+50＝0，
∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0，
即（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5．
∴a2+b2＝25，c2＝25，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
【点评】本题考查了配方法的应用、勾股定理的逆定理，解题时应注意在配方变形的过程中不要改变式子的值．
38．用配方法证明：无论x，y取何实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值总不小于2．
【思路点拔】（x+1）2和（y﹣2）2是非负数，则（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0．
证明：x2+y2+2x﹣4y+7＝（x+1）2+（y﹣2）2+2，
∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，
∴无论x，y为何实数时，x2+y2+2x﹣4y+7的值总不小于2．
【点评】本题主要考查了配方法的应用，关键是掌握用配方法求二次函数的最值，难度适中．
39．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成a2+b2（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如，5是“完美数”，理由：因为5＝12+22，所以5是“完美数”．
解决问题：
（1）已知29是“完美数”，请将它写成a2+b2（a，b为整数）的形式： 29＝52+22 ；
（2）若x2﹣4x+5可配方成（x﹣m）2+n（m，n为常数），则mn＝ 2 ；
（3）探究问题：已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，求x+y的值．
【思路点拔】（1）把29化为两个整数的平方即可；
（2）原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出mn的值；
（3）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出x与y的值，即可求出x+y的值．
解：（1）根据题意得29＝52+22，
故答案为：29＝52+22．
（2）x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，
∴m＝2，n＝1，
∴mn＝2．
故答案为：2．
（3）（x2﹣2x+1）+（y2+4y+4）＝0（x﹣1）2+（y+2）2＝0
又∵（x﹣1）2≥0，（y+2）2≥0，
∴x﹣1＝0，y+2＝0，
∴x＝1，y＝﹣2，
∴x+y＝﹣1．
【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
40．请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法，求代数式x2+2x﹣3的最小值．
x2+2x﹣3＝x2+2x+12﹣12﹣3＝（x+1）2﹣4，
∵（x+1）2≥0，∴当x＝﹣1时，x2+2x﹣3有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）x2+6x+10＝x2+2×3x+32﹣32+10＝（x+a）2+b，则a＝ 3 ，b＝ 1 ；
（2）求证：无论x取何值，代数式x2+2x+5的值都是正数；
（3）若代数式x2﹣2kx+7的最小值为3，求k的值．
【思路点拔】（1）将x2+6x+10配方，然后与x2+6x+10＝（x+a）2+b比较，可得a与b的值，则问题得解；
（2）先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解；
（3）二次项系数为1的二次三项式配方时，常数项为一次项系数一半的平方，故先将代数式配方，然后根据代数式x2﹣2kx+7的最小值为3，可得关于k的方程，求解即可．
解：（1）x2+6x+10
＝x2+2×3x+32﹣32+10
＝（x+3）2+1，
∴（x+3）2+1＝（x+a）2+b，
∴a＝3，b＝1
故答案为：3，1；
（2）证明：
，
∵，
∴，
∴无论x取何值，代数式的值都是正数；
（3）x2﹣2kx+7
＝x2﹣2kx+k2﹣k2+7
＝（x﹣k）2﹣k2+7，
∵（x﹣k）2≥0，
∴x2﹣2kx+7的最小值为﹣k2+7，
又∵代数式x2﹣2kx+7的最小值为3，
∴﹣k2+7＝3，解得k＝2或﹣2．
【点评】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．配方法的关键是：先将二次项系数化为1，然后加上一次项系数一半的平方再减去一次项系数一半的平方即可完成配方．
41．阅读下列材料：“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：
简单应用：
（1）填空：x2﹣4x+7＝（x﹣ ﹣2 ）2+ 3 ；
深入探究：
（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；
灵活应用：
（3）比较代数式2x2﹣4x+5与x2+x﹣2的大小，并说明理由．
【思路点拔】（1）根据配方法的方法配方即可；
（2）先配方得到非负数和的形式，再根据非负数的性质得到x、y的值，再代入得到x+y的值；
（3）将两式相减，再配方即可作出判断．
解：（1）x2﹣4x+7
＝x2﹣4x+4+3
＝（x﹣2）2+3．
故答案为：﹣2，3；
（2）∵x2﹣4x+y2+2y+5＝0，
∴x2﹣4x+4+y2+2y+1＝0，
∴（x﹣2）2+（y+1）2＝0，
则x﹣2＝0，y+1＝0，
解得x＝2，y＝﹣1，
则x+y＝2﹣1＝1；
（3）2x2﹣4x+5﹣（x2+x﹣2）
＝2x2﹣4x+5﹣x2﹣x+2
＝x2﹣5x+7
＝x2﹣5x7
＝（x）2，
∵（x）2≥0，
∴（x）20，
∴2x2﹣4x+5＞x2+x﹣2．
【点评】本题考查了配方法的综合应用，配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
42．已知M＝x2﹣x+1．
（1）当M＝3时，求x的值；
（2）若M＝3x2+1，求M的值；
（3）求证：M＞0．
【思路点拔】（1）将M＝3的值代入，解一元二次方程即可；
（2）令M相等，解一元二次方程即可；
（3）将M配方，即可得．
解：（1）当M＝3时，
x2﹣x+1＝3，
即x2﹣x﹣2＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1，
（2）若M＝3x2+1，
则x2﹣x+1＝3x2+1，
即2x2+x＝0，
解得x1＝0，x2，
当x1＝0时，M＝1，
当x2时，M＝3×（）2+1＝1；
（3）M＝x2﹣x+1＝（x）2，
∵（x）2≥0，
∴（x）2，
∴M＞0．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，配方法的应用和偶次幂为非负数等知识，解题的关键是根据题意列出方程．
43．我们知道“a2≥0”，其中a表示任何有理数，也可表示任意代数式．有时我们通过将某些代数式配成完全平方式进行恒等变形来解决符号判断、大小比较等问题，简称“配方法”．例如：x2+2x+2＝x2+2x+1+1＝（x+1）2+1．
∵（x+1）2≥0，
∴（x+1）2+1≥1．
即：x2+2x+2≥1．
试利用“配方法”解决以下问题：
（1）填空：x2﹣2x+4＝（A）2+B，则代数式A＝ x﹣1 ，常数B＝ 3 ；
（2）已知a2+b2＝6a﹣4b﹣13，求ab的值；
（3）已知代数式M＝4x﹣5，N＝2x2﹣1，试比较M，N的大小．
【思路点拔】（1）根据题干的例题配方即可；
（2）对这个等式进行变形，求出a，b，再求ab的值；
（3）通过作差法比较大小．
解：（1）x2﹣2x+4
＝x2﹣2x+1+3
＝（x﹣1）2+3，
故答案为：x﹣1；3；
（2）∵a2+b2＝6a﹣4b﹣13，
∴a2﹣6a+9+b2+4b+4＝0，
∴（a﹣3）2+（b+2）2＝0，
∵（a﹣3）2≥0，（b+2）2≥0，
∴a﹣3＝0，b+2＝0，
∴a＝3，b＝﹣2，
∴ab＝3﹣2；
（3）∵N﹣M＝2x2﹣1﹣（4x﹣5）
＝2x2﹣1﹣4x+5
＝2x2﹣4x+4
＝2（x2﹣2x+1）+2
＝2（x﹣1）2+2，
∵2（x﹣1）2≥0，
∴2（x﹣1）2+2＞0，
∴N﹣M＞0，
∴N＞M，
∴M＜N．
【点评】本题考查了配方法的应用，利用作差法比较大小是本题的关键．
44．阅读下列材料：
利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式，
例如：x2﹣8x+17＝x2﹣2 x 4+42﹣42+17＝（x﹣4）2+1．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）填空：将多项式x2﹣2x+3变形为（x+m）2+n的形式，并判断x2﹣2x+3与0的大小关系，
∵x2﹣2x+3＝（x﹣ 1 ）2+ 2 ；
所以x2﹣2x+3 ＞ 0（填“＞”、“＜”、“＝”）；
（2）将多项式x2+6x﹣9变形为（x+m）2+n的形式，并求出多项式的最小值；
（3）求证：x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．
【思路点拔】（1）模仿题干的例题配方即可，利用平方的非负性与0比较大小；
（2）将多项式配方，根据平方的非负性求出多项式的最小值；
（3）对多项式进行配方即可证明多项式的值总为正数．
解：（1）x2﹣2x+3
＝x2﹣2x+1+2
＝（x﹣1）2+2，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+2＞0，
∴x2﹣2x+3＞0，
故答案为：1；2；＞；
（2）x2+6x﹣9
＝x2+6x+9﹣18
＝（x+3）2﹣18，
∵（x+3）2≥0，
∴当x＝﹣3时，x2+6x﹣9有最小值，最小值为﹣18；
（3）证明：x2+y2﹣4x+2y+6
＝x2﹣4x+4+y2+2y+1+1
＝（x﹣2）2+（y+1）2+1，
∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，
∴（x﹣2）2+（y+1）2+1＞0，
∴x、y取任何实数时，多项式x2+y2﹣4x+2y+6的值总为正数．
【点评】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．
45．配方法是中学数学中非常重要的内容．如，若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值时，可以用配方法：
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1＝0，求2x+y的值；
（2）已知a﹣b＝4，c2﹣6c+ab+13＝0，求a+b+c的值．
【思路点拔】（1）先配方，再根据非负数的性质求解；
（2）先把a﹣b＝4变形代入，再配方，根据非负数的性质求解．
解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1＝（x+y）2+（y+1）2＝0，
∴x＝1，y＝﹣1．
∴2x+y＝2﹣1＝1；
（2）∵a﹣b＝4，
∴a＝b+4，
∵c2﹣6c+ab+13＝c2﹣6c+b（b+4）+13＝c2﹣6c+b2+4b+13＝（c﹣3）2+（b+2）2＝0，
∴c＝3，b＝﹣2，
∴a＝2，
∴a+b+c＝2+（﹣2）+3＝3．
【点评】本题考查了配方法的应用，掌握非负数的性质是解题的关键．
46．（1）【特例探究】比较a2+b2与2ab的大小（用等号或不等号填空）：
当a＝1，b＝﹣1时，a2+b2 ＞ 2ab，
当a＝0，b＝2时，a2+b2 ＞ 2ab，
当a＝﹣3，b＝﹣3时，a2+b2 ＝ 2ab；
（2）【猜想证明】无论a取何值，试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；
（3）【拓展应用】已知a2+b2＝2，求ab的最大值．
【思路点拔】（1）根据有理数的运算法则求解；
（2）根据作差法求解；
（3）根据（2）的结论求解．
解：（1）当a＝1，b＝﹣1时，a2+b2＝2，2ab＝﹣2，
∴a2+b2＞2ab，
当a＝0，b＝2时，a2+b2＝4，2ab＝0，
∴a2+b2＞2ab，
当a＝﹣3，b＝﹣3时，a2+b2＝18，2ab＝18，
∴a2+b2＝2ab；
故答案为：＞，＞，＝；
（2）a2+b2≥2ab；
理由：∵a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，
∴a2+b2≥2ab；
（3）∵a2+b2≥2ab，a2+b2＝2，
∴2ab≤2，
∴ab≤1，
∴ab的最大值为1．
【点评】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．
47．解方程：
（1）x2﹣9＝0；
（2）x2+4x﹣1＝0．
【思路点拔】（1）先移项，然后利用直接开平方法解方程；
（2）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解．
解：（1）由原方程，得
x2＝9，
开方，得
x1＝3，x2＝﹣3；
（2）由原方程，得
x2+4x＝1，
配方，得
x2+4x+22＝1+22，即（x+2）2＝5，
开方，得
x+2＝±，
解得 x1＝﹣2，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法、直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
48．解方程．
（1）x2﹣9＝0；
（2）x（x﹣1）＝3x+7．
【思路点拔】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）整理后用配方法求解即可．
解：（1）x2﹣9＝0，
x2＝9，
x1＝3，x2＝﹣3；
（2）x（x﹣1）＝3x+7，
整理，得
x2﹣4x＝7，
∴x2﹣4x+4＝7+4，
∴（x﹣2）2＝11，
∴x﹣2＝±，
∴x1＝2，x2＝2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
49．用适当的方法解方程．
（1）（x+1）2﹣8＝0；
（2）2x2﹣1＝4x．
【思路点拔】（1）方程移项后，开方即可求出解；
（2）方程整理后，利用配方法求出解即可．
解：（1）（x+1）2﹣8＝0，
移项得：（x+1）2＝8，
开方得：x+1＝±2，
解得：x1＝﹣1+2，x2＝﹣1﹣2；
（2）方程整理得：x2﹣2x，
配方得：x2﹣2x+1，即（x﹣1）2，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1，x2＝1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，以及直接开平方法，熟练掌握各种的解法是解本题的关键．
50．解下列方程：
（1）用直接开平方法解方程：2x2﹣24＝0
（2）用配方法解方程：x2+4x+1＝0．
【思路点拔】（1）先将常数项移到等式的右边，然后化未知数的系数为1，通过直接开平方求得该方程的解即可；
（2）先将常数项1移到等式的右边，然后在等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，即利用配方法解方程．
解：（1）由原方程，得
2x2＝24，
∴x2＝12，
直接开平方，得
x＝±2，
∴x1＝2，x2＝﹣2；
（2）由原方程，得
x2+4x＝﹣1，
等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2+4x+4＝3，即（x+2）2＝3；
∴x+2＝±，
∴x1＝﹣2，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法、直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
51．解方程（1）（2x﹣1）2﹣16＝0；
（2）x2﹣2x+1＝0（用配方法解）
【思路点拔】（1）将16转化为完全平方形式，然后通过移项、直接开平方解方程即可；
（2）利用配方法解方程．
解：（1）由原方程，移项得
（2x﹣1）2＝42，
直接开平方，得
2x﹣1＝±4，
解得，（4分）
（2）化二次项系数为1，得
x2﹣6x+3＝0，
移项，得
x2﹣6x＝﹣3，
等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得
x2﹣6x+9＝6，即（x﹣3）2＝6，
∴x﹣3＝±
解得，（4分）
【点评】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2＝a（a≥0）；ax2＝b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2＝b（b≥0）；a（x+b）2＝c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平 方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
52．解方程：
（1）（x﹣3）2﹣9＝0；
（2）9y2﹣6y+1＝3．
【思路点拔】（1）先变形得到（x﹣3）2＝9，然后利用直接开平方法求解；
（2）先利用配方法得到（3y﹣1）2＝3，然后利用直接开平方法求解．
解：（1）（x﹣3）2＝9，
x﹣3＝±3，
所以x1＝6，x2＝0；
（2）（3y﹣1）2＝3，
3y﹣1＝±，
所以y1，x2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
53．解下列方程：
（1）9x2﹣25＝0；
（2）x2+8x﹣9＝0；
（3）4（3x﹣1）2﹣9（3x+1）2＝0；
（4）3x2﹣6x+4＝0．
【思路点拔】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答；
（4）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答．
解：（1）9x2﹣25＝0，
移项，得9x2＝25，
∴x2，
直接开平方，得x1，x2；
（2）x2+8x﹣9＝0，
移项，得：x2+8x＝9，
配方，得（x+4）2＝25，
∴x+4＝±5，
∴x1＝1，x2＝﹣9；
（3）4（3x﹣1）2﹣9（3x+1）2＝0，
移项，得4（3x﹣1）2＝9（3x+1）2，
直接开平方，得2（3x﹣1）＝±3（3x+1），
∴2（3x﹣1）＝3（3x+1）或2（3x﹣1）＝﹣3（3x+1），
∴x1，x2；
（4）3x2﹣6x+4＝0，
整理，得x2﹣2x，
配方，得（x﹣1）20，
∴此方程无实数解．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，直接开平方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
54．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如：
求a2+6a+8的最小值．
解：a2+6a+8
＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1，
∵（a+3）2≥0，
∴（a+3）2﹣1≥﹣1，
即a2+6a+8的最小值为﹣1．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+ 4 ．
（2）求﹣x2+4x+5的最大值．
（3）已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，求x+y的值．
【思路点拔】（1）根据完全平方式结构直接添加常数项即可求解．
（2）利用配方法配方即可解决问题；
（3）利用配方法配方，然后求出最大值．
解：（1）根据题意，直接计算a2+4a+4＝（a+2）2；
∴故答案为：4．
（2）﹣x2+4x+5＝﹣（x2﹣4x+4﹣4）+5
＝﹣（x﹣2）2+9，
∵（x﹣2）2≥0
∴﹣（x﹣2）2≤0，
∴﹣（x﹣2）2+9≤9，
即﹣x2+4x+5的最大值为9．
（3）原式可化为x2﹣2x+1+y2+4y+4＝0，
即（x﹣1）2+（y+2）2＝0，
∵（x﹣1）2≥0，（y+2）2≥0，
∴x＝1，y＝﹣2，
∴x+y＝﹣1．
【点评】本题考查配方法的应用，非负数的性质等知识，解题的关键是掌握配方法解决问题．
55．先阅读下面的例题，再解决问题：
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，
∴m+n＝0，n﹣3＝0，
∴n＝3，m＝﹣3．
问题：（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求x和y的值．
（2）试探究关于x、y的代数式5x2+y2﹣4xy﹣6x+2033是否有最小值？若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由．
【思路点拔】（1）将x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0左边分组配方，根据偶次方的非负性可得x与y的值，则问题可解；
（2）将5x2+y2﹣4xy﹣6x+2023分组配方，写成两个完全平方式加2024的形式，根据偶次方的非负性可得x与y的值，可得答案．
解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，
∴（x﹣y）2+（y+2）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+2＝0，
∴x＝y＝﹣2．
（2）原式＝（4x2+4y2﹣4xy）+（x2﹣6x+9）+2024
＝（2x﹣y）2+（x﹣3）2+2024，
∵（2x﹣y）2≥0，（x﹣3）2≥0，
∴（2x﹣y）2+（x﹣3）2+2024≥2024，
∴当2x﹣y＝0，x﹣3＝0时，即当x＝3，y＝6时，
代数式5x2+y2﹣4xy﹣6x+2023有最小值2024．
【点评】本题考查了完全平方式在代数式求值中的应用，熟练运用配方法并根据偶次方的非负性得出未知数的值是解题的关键．
56．根据完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，把形如ax2+bx+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做“配方法”．例如把x2﹣2x+9配方如下：x2﹣2x+9＝x2﹣2x+1+8＝（x﹣1）2+8．请完成下列问题：
（1）填空：配方多项式x2﹣4x+1的结果为 （x﹣2）2﹣3或（x﹣1）2﹣2x ；
（2）当x等于多少时，代数式x2+6x+6的值最小？
（3）用一根长为12米的绳子围成一个长方形，请问长方形的边长为多少时，围成的长方形面积最大？最大面积是多少？
【思路点拔】（1）依据题意得，x2﹣4x+1＝x2﹣4x+4﹣3＝（x﹣2）2﹣3，x2﹣4x+1＝x2﹣2x+1﹣2x＝（x﹣1）2﹣2x，进而可以得解；
（2）依据题意得，x2+6x+6＝x2+6x+9﹣3＝（x+3）2﹣3，又无论x取何值时，都有（x+3）2≥0，结合当x＝﹣3时，（x+3）2取最小值0，进而可以判断得解；
（3）依据题意，设该长方形的一边长为x米，则其相邻边长为（6﹣x）米，面积为y平方米，从而可得y＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x2﹣6x+9﹣9）＝﹣（x﹣3）2+9，进而可以判断得解．
解：（1）由题意得，x2﹣4x+1＝x2﹣4x+4﹣3＝（x﹣2）2﹣3，x2﹣4x+1＝x2﹣2x+1﹣2x＝（x﹣1）2﹣2x．
故答案为：（x﹣2）2﹣3或（x﹣1）2﹣2x．
（2）由题意得，x2+6x+6＝x2+6x+9﹣3＝（x+3）2﹣3．
又无论x取何值时，都有（x+3）2≥0，
∴当x＝﹣3时，（x+3）2取最小值0．
∴当x＝﹣3时，代数式x2+6x+6的值最小．
（3）设该长方形的一边长为x米，则其相邻边长为（6﹣x）米，面积为y平方米，根据题意，得
y＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x＝﹣（x2﹣6x+9﹣9）＝﹣（x﹣3）2+9，
∴当x＝3时，y取最大值为9．
∴当该长方形的相邻两边长均为3米时，围成的长方形面积最大，最大面积是9平方米．
【点评】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
57．先阅读下面的例题，再按要求解答问题：
求代数式x2+6x+10的最小值．
解：x2+6x+10＝x2+6x+9+1＝（x+3）2+1，
（x+3）2≥0，∴（x+3）2+1≥1
∴x2+6x+10的最小值是1．
请利用以上方法，解答下列问题：
（1）求代数式y2+10y+27的最小值 2 .；
（2）若代数式x2+2kx+7有最小值是6，求k的值 ±1 ；
（3）判断代数式8﹣m2+4m有最大值还是有最小值，并求出该最值；
（4）已知a，b为任意值，试比较4a2+b2+11与12a﹣2b的大小关系，并说明理由．
【思路点拔】（1）先进行配方，再根据非负数的性质求解；
（2）先进行配方，再根据非负数的性质列方程求解；
（3）先进行配方，再根据非负数的性质求解；
（4）根据作差法求解．
解：（1）∵y2+10y+27＝（y+5）2+2≥2，
故答案为：2；
（2）∵x2+2kx+7＝（x+k）2+7﹣k2≥7﹣k2，
∴7﹣k2＝6，
解得：k＝±1，
故答案为：±1；
（3）∵8﹣m2+4m＝﹣（m2﹣4m+4）+8+4＝﹣（m﹣2）2+12≤12，
∴8﹣m2+4m有最大值，该最大值为12；
（4）4a2+b2+11＞12a﹣2b．
理由：∵4a2+b2+11﹣（12a﹣2b）＝4a2﹣12a+b2+2b+11＝（2a﹣3）2+（b+1）2+1≥1，
∴4a2+b2+11＞12a﹣2b．
【点评】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式及非负数的性质是解题的关键．
58．（1）当x＝ 3 时，多项式x2﹣6x+12的最小值为 3 ．
（2）当x＝ 1 时，多项式﹣x2+2x﹣3的最大值为 ﹣2 ．
（3）当x、y为何值时，多项式2x2﹣4xy+6y2﹣12y+19取最小值？并求出这个最小值．
【思路点拔】（1）由配方可知x2﹣6 x+12＝（x﹣3）2+3，然后根据非负数的性质，判断出x的值，然后进行计算即可；
（2）由配方可知﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，然后根据非负数的性质，判断出x的值，然后进行计算即可；
（3）由配方可知2x2﹣4xy+6y2﹣12y+19＝2（x﹣y）2+（2y﹣3）2+10，然后根据非负数的性质，判断出x和y的取值，然后进行计算即可．
解：（1）x2﹣6x+12＝x2﹣6x+9+3＝（x﹣3）2+3，
∵（x﹣3）2≥0，
∴当x＝3时，多项式x2﹣6 x+12取最小值，且最小值为3；
故答案为：3，3．
（2）﹣x2+2x﹣3＝﹣（x2﹣2x+1）﹣2＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∵（x﹣1）2≥0，
∴当x＝1时，多项式﹣x2+2x﹣3取最大值，且最大值为﹣2；
故答案为：1，﹣2；
（3）2 x2﹣4 x y+6 y2﹣1 2 y+1 9
＝2（x2﹣2xy+y2）+（4y2﹣12y+9）+10
＝2（x﹣y）2+（2y﹣3）2+10，
∵（x﹣y）2≥0，（2y﹣3）2≥0，
∴当x﹣y＝0且2y﹣3＝0，即时，多项式2 x2﹣4 x y+6 y2﹣1 2 y+1 9取最小值，并且最小值为10．
，，最小值是10．
【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
59．先阅读下面的例题，再解决问题：例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，求m和n的值，解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9＝0，
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9＝0，
∴（m+n）2+（n﹣3）2＝0，
∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0，
∴m+n＝0，n﹣3＝0，
∴m＝﹣3，n＝3．
问题：
（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，求x和y的值．
（2）试探究关于x、y的代数式5x2+y2﹣4xy﹣6x+2028是否有最小值，若存在，求出最小值及此时x、y的值；若不存在，说明理由．
【思路点拔】（1）将x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0左边分组配方，根据偶次方的非负性可得x与y的值，则问题可解；
（2）将5x2+y2﹣4xy﹣6x+2028分组配方，写成两个完全平方式加2019的形式，根据偶次方的非负性可得x与y的值，可得答案．
解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4＝0，
∴（x﹣y）2+（y+2）2＝0，
∴x﹣y＝0，y+2＝0，
x＝y＝﹣2；
（2）∵5x2+y2﹣4xy﹣6x+2028
＝（4x2+y2﹣4xy）+（x2﹣6x+9）+2019
＝（2x﹣y）2+（x﹣3）2+2019．
∵（2x﹣y）2≥0，（x﹣3）2≥0，
∴（2x﹣y）2+（x﹣3）2+2019≥2019．
∴当2x﹣y＝0，x﹣3＝0时，
即当x＝3，y＝6时，代数式5x2+y2﹣4xy﹣6x+2028有最小值2019．
【点评】本题考查了完全平方式在代数式求值中的应用，熟练运用配方法并根据偶次方的非负性得出未知数的值是解题的关键．
60．阅读下列材料：配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值，
我们可以通过以下方法求代数式x2+6x+5的最小值．
解：∵x2+6x+5＝x2+2×（3x）+32﹣32+5＝（x+3）2﹣4，
∵（x+3）2≥0，
∴当x＝﹣3时，x2+6x+5有最小值﹣4．
请根据上述方法，解答下列问题：
（1）若x2+4x+5＝（x+a）2+b，则a＝ 2 ；b＝ 1 ；
（2）求代数式2x2+4x﹣1的最值；
（3）若代数式﹣x2+kx+7的最大值为8，求k的值．
【思路点拔】（1）根据题意配方即可得到本题答案；
（2）先提出2，再配方即可求最值；
（3）将代数式提出﹣1后再进行配方，使得代数式结果有最大值8，即可得到本题答案．
解：（1）∵x2+4x+5＝（x+a）2+b，
∴x2+4x+5＝x2+2×（2x）+22﹣22+5＝（x+2）2+1，
∴a＝2，b＝1，
故答案为：2，1
（2）∵，
∵（x+1）2≥0，
∴当x＝﹣1时，2x2+4x﹣1有最小值﹣3，无最大值；
（3）∵，
即：，
∵，
∴，即代数式有最大值，
∵代数式﹣x2+kx+7的最大值为8，
∴当时，即，解得：k＝±2．
【点评】本题考查配方法的应用，非负数的性质—偶次方．熟练掌握配方法是关键．
